廖春艷 晏玉梅 劉春梅

問(wèn)題引導(dǎo)下的探究式課堂教學(xué)的實(shí)踐與探索——以格林公式的教學(xué)為例

廖春艷 晏玉梅 劉春梅

(湖南科技學(xué)院 理學(xué)院，湖南 永州 425199)

探討問(wèn)題引導(dǎo)下的探究式課堂教學(xué)模式。通過(guò)實(shí)際背景引入課題，圍繞“以學(xué)生為中心”的教學(xué)理念，層層設(shè)計(jì)問(wèn)題引出知識(shí)目標(biāo)格林公式。由公式的類比猜想及驗(yàn)證猜想的過(guò)程逐步得出格林公式成立的條件和結(jié)論。教學(xué)中避免了直接給出結(jié)論及證明的突兀，從簡(jiǎn)單到具體，從抽象到實(shí)用，精心設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)的障礙和難關(guān)。

格林公式；探究式教學(xué)；課程育人

格林公式及其證明是數(shù)學(xué)分析的重要內(nèi)容之一，在多元函數(shù)積分學(xué)的教學(xué)內(nèi)容體系中處于承上啟下、承前啟后的地位[1]。格林公式溝通了二重積分與積分區(qū)域邊界上的曲線積分之間的聯(lián)系，不僅給出了一個(gè)有效的計(jì)算平面曲線積分的方法，而且給出了一種已知邊界曲線方程的平面區(qū)域面積的計(jì)算方法，在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用[2]。但是在教學(xué)中，格林公式的理論性較強(qiáng)，很多學(xué)生難以理解公式中的條件和結(jié)論究竟是如何得出，學(xué)生使用格林公式時(shí)經(jīng)常出錯(cuò)，如何設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的課堂教學(xué)來(lái)引導(dǎo)學(xué)生更好地理解和掌握格林公式至關(guān)重要。

1 教學(xué)設(shè)計(jì)思路

本次教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)的主要特點(diǎn)在于：本課主要從實(shí)際生活情境入手引入課題，通過(guò)設(shè)置問(wèn)題：GPS面積測(cè)量?jī)x的原理是什么呢？切入今天的主題。以學(xué)生熟知的牛頓-萊布尼茨公式為切入點(diǎn)，對(duì)照格林公式，通過(guò)類比聯(lián)想的方式，闡釋清楚格林公式表達(dá)的意思。通過(guò)介紹單連通區(qū)域的概念、復(fù)連通區(qū)域的概念、邊界曲線正向的概念，為格林公式的理解與應(yīng)用以及后續(xù)部分內(nèi)容的講授做準(zhǔn)備。最后首尾呼應(yīng)，利用格林公式去解決開始上課提出的GPS面積測(cè)量?jī)x的問(wèn)題。

本課將問(wèn)題式、探究式、研討式、啟發(fā)式等教學(xué)法貫穿始終，通過(guò)層層遞進(jìn)的問(wèn)題探究逐步形成格林公式理論的條件和結(jié)論。在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)充分考慮了學(xué)生的學(xué)情，通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，用豐富的生活實(shí)例、數(shù)學(xué)史、豐富多彩的圖片，將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題生動(dòng)地展現(xiàn)在學(xué)生面前，并通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo)得出格林公式，并將其應(yīng)用到實(shí)際生活中，讓學(xué)生領(lǐng)略一個(gè)有觀察、有猜想、有推理、有證明、有應(yīng)用的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程[3]。在格林公式推導(dǎo)的教學(xué)過(guò)程中充分發(fā)揮多媒體的優(yōu)勢(shì)，結(jié)合板書，通過(guò)師生間的互動(dòng)，逐步地給出格林公式的證明。

2 教學(xué)過(guò)程

2.1 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，提出知識(shí)目標(biāo)

通過(guò)現(xiàn)代“麥客”拿著GPS面積測(cè)量?jī)x開著收割機(jī)仗劍江湖的實(shí)際背景介紹引入今天的探究主題，激發(fā)了學(xué)生的求知欲。從數(shù)學(xué)角度考慮現(xiàn)代科技助力農(nóng)業(yè)發(fā)展，并提出探究問(wèn)題。

探究問(wèn)題一：GPS面積測(cè)量?jī)x的原理是什么呢？究竟里面蘊(yùn)含了什么樣的數(shù)學(xué)知識(shí)?

今天我們來(lái)學(xué)習(xí)一個(gè)綠色環(huán)保的公式，從而引出今天學(xué)習(xí)的主題：格林公式。回顧上節(jié)課我們學(xué)習(xí)過(guò)的第二型曲線積分，那么請(qǐng)同學(xué)們思考下面兩個(gè)問(wèn)題能否利用曲線積分的定義來(lái)進(jìn)行求解。

探究問(wèn)題二：能否將第二型曲線積分轉(zhuǎn)化為定積分進(jìn)行求解？

引導(dǎo)學(xué)生分組自主研討，并由每一小組分享討論結(jié)論：在例1中，積分路徑的方程不清楚，自然無(wú)法將其轉(zhuǎn)化成定積分來(lái)進(jìn)行求解，而對(duì)于例2，同學(xué)在研討的過(guò)程中深切體會(huì)到當(dāng)被積函數(shù)和積分路徑較復(fù)雜的時(shí)候，轉(zhuǎn)化成定積分進(jìn)行求解非常困難甚至可能無(wú)法計(jì)算，怎么辦呢？能否找到一種更加有效的方法來(lái)計(jì)算第二型曲線積分。

2.2 探究猜想，引出公式

啟發(fā)思考：我們?cè)谏蠈W(xué)期一元函數(shù)積分學(xué)中，為了解決定積分的計(jì)算困難，學(xué)過(guò)一個(gè)非常牛的公式，牛頓-萊布尼茨公式，這個(gè)公式將定積分在區(qū)間內(nèi)的定積分轉(zhuǎn)化為原函數(shù)在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值之差，還記得是什么公式嗎？沒(méi)錯(cuò)，牛頓-萊布尼茨公式。

2.3 嚴(yán)密論證，得出結(jié)論

圖1 區(qū)域D即是X型的又是Y型的區(qū)域

由圖1可知：將有向曲線分成兩段，利用第二型曲線積分的計(jì)算公式。

不難發(fā)現(xiàn)，式(6)右側(cè)這個(gè)累次積分實(shí)際上就是平面區(qū)域上的二重積分，綜合以上分析過(guò)程就得到

接下來(lái)引導(dǎo)學(xué)生自主得出型區(qū)域下為

探究問(wèn)題四：對(duì)于更加復(fù)雜的區(qū)域，前面的等式是否仍然成立？

在這里引導(dǎo)學(xué)生利用轉(zhuǎn)化的思想，將未知化為已知的情形進(jìn)行求解非型、型的區(qū)域及復(fù)連通區(qū)域下上述公式也是成立的。具體證明過(guò)程這里就不再贅述了。梳理證明的條件，整合結(jié)論，得到格林公式。

其中是的取正向的邊界曲線。

2.4 數(shù)學(xué)史的融入

格林是現(xiàn)代位勢(shì)理論的先驅(qū)與奠基人之一。短促的一生，格林留下的著作為數(shù)雖然不多，卻包含了影響19世紀(jì)數(shù)學(xué)物理發(fā)展的寶貴思想；特別是格林那種面對(duì)各類挫折、自強(qiáng)不息、自學(xué)成才的范例，深受人們贊揚(yáng)。

2.5 公式的應(yīng)用，首尾呼應(yīng)

首尾呼應(yīng)，解決開始上課提出的兩個(gè)曲線積分，嘗試用格林公式來(lái)進(jìn)行求解，讓學(xué)生感受到格林公式的精妙。

所以不論是一條什么樣的分段光滑的閉曲線，或正項(xiàng)或逆向，由格林公式得

很輕松的化解了前面無(wú)法求解的困難。

啟發(fā)式提問(wèn)：能用格林公式進(jìn)行求解嗎？

從以上例題可以看出，格林公式為我們提供了一種簡(jiǎn)化積分的方法，一些看似無(wú)法求解或者較復(fù)雜的曲線積分可以利用格林公式較輕松地進(jìn)行求解。同時(shí)在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生注意問(wèn)題的求解過(guò)程中，格林公式的使用條件，并且引導(dǎo)學(xué)生注意條件的修補(bǔ)。

2.6 學(xué)以致用

這樣就得到了利用曲線積分求平面圖形面積的一種新方法，啟發(fā)學(xué)生用本次新課所學(xué)的格林公式以及以前的知識(shí)對(duì)開始提出的GPS面積測(cè)量?jī)x的數(shù)學(xué)原理進(jìn)行研究及討論。既呼應(yīng)課前的引入又使學(xué)生能將學(xué)到的內(nèi)容加以應(yīng)用。

圖2 行進(jìn)路線圖

利用格林公式，通過(guò)算出每一段第二型曲線積分，進(jìn)而得到所圍繞區(qū)域的近似面積。

這樣就得到了所要測(cè)量區(qū)域的近似面積。

2.7 歸納總結(jié)，知識(shí)升華，落腳課程育人

利用格林公式計(jì)算第二型曲線積分避免了將曲線積分轉(zhuǎn)化為定積分的過(guò)程中參數(shù)替代的困難，在很多曲線積分的計(jì)算過(guò)程中極大簡(jiǎn)化了計(jì)算的難度。格林公式是從一維的牛頓-萊布尼茨公式過(guò)渡到三維高斯公式、斯托克斯公式的過(guò)程中至關(guān)重要的一步?？偨Y(jié)公式所蘊(yùn)含的規(guī)律，回顧由牛頓-萊布尼茨公式類比猜想到格林公式的過(guò)程，并提出猜想：這種由整體積分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為區(qū)域邊界上的積分運(yùn)算能否推廣到三重積分中去，若能，推廣后的情形可能會(huì)是什么樣的呢？讓學(xué)生對(duì)于多元積分學(xué)知識(shí)體系中的格林公式、高斯公式、斯托克斯公式有初步的理解。

通過(guò)面積測(cè)量?jī)x等現(xiàn)代科技助力農(nóng)業(yè)發(fā)展背景的介紹，融入育人元素：農(nóng)業(yè)生產(chǎn)至關(guān)重要，“手中有糧，心中不慌”，堅(jiān)持底線思維。要讓“中國(guó)飯碗”不缺糧、裝好糧，就要讓國(guó)家糧食更安全，讓農(nóng)業(yè)質(zhì)量更牢靠。新“麥客”是農(nóng)業(yè)生產(chǎn)新時(shí)代的產(chǎn)物，反過(guò)來(lái)新“麥客”又見證著農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的新時(shí)代。這個(gè)時(shí)代是農(nóng)業(yè)蓬勃發(fā)展的時(shí)代，是農(nóng)民顯著增收的時(shí)代，是農(nóng)村日新月異的時(shí)代。引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，并鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)好科學(xué)文化知識(shí)，在新時(shí)代還將演繹出更多精彩！同時(shí)“手中有糧，心中不慌”，還有另外一層含義，學(xué)生只有源源不斷的補(bǔ)充新技術(shù)、新知識(shí)，與時(shí)俱進(jìn)，才能跟上時(shí)代的步伐。從課程育人的角度，讓傳統(tǒng)的、枯燥的數(shù)學(xué)知識(shí)煥發(fā)時(shí)代的色彩，實(shí)現(xiàn)從知識(shí)傳授到價(jià)值塑造的升華。

2.8 公式的遞進(jìn)式思考，鞏固知識(shí)

這就是下一節(jié)課要深入探討的一類問(wèn)題，給學(xué)生留下懸念，課堂起始于問(wèn)題，結(jié)束于產(chǎn)生的新問(wèn)題，在從一個(gè)問(wèn)題走向另一個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中完成知識(shí)的內(nèi)化。

4 結(jié) 語(yǔ)

在本課的教學(xué)過(guò)程中，從情景引入到層層遞進(jìn)的探究問(wèn)題都圍繞著學(xué)生的學(xué)，積極調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣與熱情，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行主動(dòng)探究，讓學(xué)生自己主動(dòng)探究出格林公式，并逐步完善格林公式使用的條件，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)和科學(xué)精神，構(gòu)建創(chuàng)新思維。

[1]華東師范大學(xué)大數(shù)學(xué)學(xué)院.數(shù)學(xué)分析：下冊(cè)[M].5版.北京:高等教育出版社,2019:209-211.

[2]周敏,孫浩,王奕昊.格林公式及其證明教學(xué)設(shè)計(jì)[J].高等數(shù)學(xué)研究,2019,22(2):42-45.

[3]廖春艷,趙艷輝,唐偉國(guó).基于生活的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)案例分析:以求旋轉(zhuǎn)體體積為例[J].湖南科技學(xué)院學(xué)報(bào),2019,40(5): 7-9.

[4]吳婷.格林公式及其應(yīng)用的教學(xué)設(shè)計(jì)[J].內(nèi)江科技,2020,41 (11):20-21.

O171；G642.1

A

1673-2219（2021）05-0103-04

2021-01-26

2021年湖南科技學(xué)院教改項(xiàng)目（XKYJ2021007）；2020年湖南科技學(xué)院教改項(xiàng)目：“一流專業(yè)”建設(shè)點(diǎn)專項(xiàng)（XKYJ2020059）；2020年湖南科技學(xué)院教改項(xiàng)目（XKYJ2020001）。

廖春艷（1984－），女，江西吉安人，碩士，講師，研究方向?yàn)榛A(chǔ)數(shù)學(xué)。晏玉梅（1986－），女，湖南婁底人，碩士，講師，研究方向?yàn)樽C據(jù)理論及其應(yīng)用。劉春梅（1981－），女，山東濟(jì)寧人，博士，副教授，研究方向?yàn)閰^(qū)域分解及多重網(wǎng)格法、快速算法等。

（責(zé)任編校：宮彥軍）