方成勇

(千島湖初級(jí)中學(xué)，浙江 淳安 311700)

2021年是浙江省杭州市“全員中考”的第一年，新形勢(shì)給中考備考和命題提出了新的要求.針對(duì)“2021年杭州市中考數(shù)學(xué)試題的特色，初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的導(dǎo)向”等問(wèn)題，筆者談?wù)勛约旱恼J(rèn)識(shí)，以期和同行交流.

1 試題的特點(diǎn)

2021年杭州數(shù)學(xué)卷以素養(yǎng)導(dǎo)向?yàn)槊}原則，嚴(yán)格遵循《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，全面考查了初中階段的主要內(nèi)容和核心思想方法.試卷整體呈現(xiàn)出“低起點(diǎn)、多層次、促發(fā)展”的特點(diǎn)，“低起點(diǎn)”體現(xiàn)在選擇題、填空題、解答題分別進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計(jì)，入手容易，入口較寬；“多層次”體現(xiàn)在試題的思維層次上，注重為學(xué)生提供可以多寬口、多渠道加以解決的問(wèn)題，盡量回避方法單一的問(wèn)題；“促發(fā)展”體現(xiàn)在試題的應(yīng)用性和創(chuàng)新性上，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值.

1.1 新結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)素養(yǎng)導(dǎo)向

本次試題創(chuàng)新了題型的設(shè)計(jì)，優(yōu)化了試題的結(jié)構(gòu)，其中第19題為結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題，具有很好的開(kāi)放性.

何為結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題？我們先來(lái)看結(jié)構(gòu)良好問(wèn)題，它是指問(wèn)題的初始狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)和算子都是完整的，而結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題則是這3者中至少有一個(gè)沒(méi)有明確界定的問(wèn)題，所謂算子就是解決問(wèn)題的方法和途徑[1].

例1在①AD=AE，②∠ABE=∠ACD，③FB=FC這3個(gè)條件中選擇其中一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并完成問(wèn)題的解答.

問(wèn)題：如圖1，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，點(diǎn)D在邊AB上(不與點(diǎn)A，B重合)，點(diǎn)E在邊AC上(不與點(diǎn)A，C重合)，聯(lián)結(jié)BE，CD，BE與CD相交于點(diǎn)F.若________，求證：BE=CD.

圖1

注：若選擇多個(gè)條件分別作答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

(2021年浙江省杭州市數(shù)學(xué)中考試題第19題)

分析本題屬于條件缺失的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題，要求學(xué)生從給定的3個(gè)條件中任選一個(gè)將題目結(jié)構(gòu)補(bǔ)充完整再作解答.

不同的選擇將導(dǎo)致解答策略和方法不同.比如選擇條件①，可利用“邊角邊”證明△ABE≌△ACD，從而獲得結(jié)論；若選擇條件②，則可利用“角邊角”證明△ABE≌△ACD獲得結(jié)論.各方法針對(duì)學(xué)生個(gè)體的熟悉程度也有差異，因此在解答時(shí)，需針對(duì)自己熟悉的方法和解答策略做出優(yōu)化判斷，實(shí)現(xiàn)從多角度對(duì)學(xué)生知識(shí)與能力的考查.試題難度不高，但更注重對(duì)學(xué)生探索精神和自主學(xué)習(xí)品質(zhì)的考查.

由于結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題具有條件模糊、解決方案多樣、結(jié)果開(kāi)放等特點(diǎn)，其解決過(guò)程能有效地激發(fā)學(xué)生的求知欲、幫助學(xué)生多角度把握問(wèn)題本質(zhì)、追尋知識(shí)背后的價(jià)值、形成跨學(xué)科綜合解決問(wèn)題的關(guān)鍵能力[2].因此本次試題結(jié)構(gòu)的創(chuàng)新，符合中考從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向的轉(zhuǎn)變，在促進(jìn)學(xué)生素養(yǎng)的養(yǎng)成和能力的提升方面具有深遠(yuǎn)意義.

1.2 新情境，強(qiáng)調(diào)應(yīng)用創(chuàng)新

本次試題依托內(nèi)容情境化，優(yōu)化了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)情境，增設(shè)“五育”情境，突出“應(yīng)用性”和“創(chuàng)新性”的考查要求和命題導(dǎo)向.

1.2.1 優(yōu)化數(shù)學(xué)情境，考查數(shù)學(xué)閱讀能力

例2如圖2，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A(3，1)為端點(diǎn)的4條射線(xiàn)AB，AC，AD，AE分別過(guò)點(diǎn)B(1，1)，C(1，3)，D(4，4)，E(5，2)，則∠BAC______∠DAE(填“>”“=”“<”中的一個(gè)).

圖2

(2021年浙江省杭州市數(shù)學(xué)中考試題第15題)

分析本題以直角坐標(biāo)系中角的研究展開(kāi)，優(yōu)化了課本中將相似三角形設(shè)置在網(wǎng)格中的單一形式，考查學(xué)生在復(fù)雜情境中抽象出研究對(duì)象、選取合適的研究路徑、分析并解決問(wèn)題的能力.

思路1通過(guò)測(cè)量，提出猜想∠BAC=45°.聯(lián)結(jié)BC，可證△ABC為等腰直角三角形，得∠BAC=45°，同理可得∠DAE=45°.在這個(gè)過(guò)程中考查學(xué)生利用測(cè)量、猜想、證明的幾何研究思路分析并解決問(wèn)題的能力.

思路2關(guān)注角度的大小關(guān)系，進(jìn)一步關(guān)注三角形之間的關(guān)系，通過(guò)構(gòu)造相似三角形進(jìn)行求解.如聯(lián)結(jié)BC和DE，利用三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似得△ABC∽△AED.

思路3在已知圖形在網(wǎng)格中，思考是否存在學(xué)過(guò)的類(lèi)似結(jié)構(gòu)的圖形.如圖3，該圖形來(lái)源于浙教版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)第163頁(yè)“目標(biāo)與評(píng)定”第12題.

圖3

于是

△CAD∽△CEA，

得

∠CDA=∠CAE，

故

α+β=∠ACB=45°.

即

∠DAE=45°.

該圖形也展示出通過(guò)向量求夾角的基本圖形,從而

即

∠BAC=45°.

新數(shù)學(xué)情境的設(shè)置方式體現(xiàn)了試題對(duì)教學(xué)改革的引導(dǎo)作用，引導(dǎo)教學(xué)關(guān)注幾何研究的基本思路，重視數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累.

例3如圖4，已知線(xiàn)段AB，按如下步驟作圖：①作射線(xiàn)AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分線(xiàn)AD；③以點(diǎn)A為圓心、AB長(zhǎng)為半徑作弧，交AD于點(diǎn)E；④過(guò)點(diǎn)E作EP⊥AB于點(diǎn)P，則AP∶AB=

圖4

( )

(浙教版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)第123頁(yè)作業(yè)題第6題改編)

以上試題改變了傳統(tǒng)的幾何問(wèn)題呈現(xiàn)形式，從不同的視角和順序呈現(xiàn)條件與結(jié)論，優(yōu)化了數(shù)學(xué)情境，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，同時(shí)考查了學(xué)生在新的數(shù)學(xué)情境中的閱讀能力和探究能力.

1.2.2 拓寬現(xiàn)實(shí)情境，落實(shí)“五育”并舉

除了數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)情境、數(shù)學(xué)探索創(chuàng)新情境外，本卷共出現(xiàn)了5道生活實(shí)踐情境的題目.這5道題將國(guó)家經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展、科技進(jìn)步、生產(chǎn)生活實(shí)際等融入“五育”要求，通過(guò)考查學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析并解決實(shí)際問(wèn)題的能力，使試題成為育人的重要途徑和載體，突出“應(yīng)用性”“創(chuàng)新性”“育人”的考查要求和命題導(dǎo)向.

例4“奮斗者”號(hào)載人潛水器此前在馬里亞納海溝創(chuàng)造了10 909米的我國(guó)載人深潛紀(jì)錄.數(shù)據(jù)10 909用科學(xué)記數(shù)法可表示為

( )

A.0.109 09×105B.1.090 9×104

C.10.909×103D.109.09×102

(2021年浙江省杭州市數(shù)學(xué)中考試題第2題)

例4以中國(guó)為之驕傲的“奮斗者”號(hào)載人潛水器為背景設(shè)置試題，考查學(xué)生對(duì)科學(xué)記數(shù)法的理解和掌握.試題注重基礎(chǔ)，在考查知識(shí)的同時(shí)能夠激發(fā)學(xué)生的愛(ài)國(guó)情懷.

例5某景點(diǎn)今年四月接待游客25萬(wàn)人次，五月接待游客60.5萬(wàn)人次.設(shè)該景點(diǎn)今年四月到五月接待游客人次的增長(zhǎng)率為x(其中x>0)，則

( )

A.60.5(1-x)=25 B.25(1-x)=60.5

C.60.5(1+x)=25 D.25(1+x)=60.5

(2021年浙江省杭州市數(shù)學(xué)中考試題第5題)

例5以某景點(diǎn)接待游客人次變化為背景設(shè)置試題，考查了學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)情境進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象、用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行構(gòu)建模型的能力.同時(shí)通過(guò)四月到五月游客人數(shù)的爆發(fā)式增長(zhǎng)，展示社會(huì)主義制度在抗擊疫情、國(guó)家建設(shè)等方面所取得的巨大成就，增強(qiáng)學(xué)生的民族自信心和自豪感.

例6為了解某校某年級(jí)學(xué)生一分鐘跳繩情況，對(duì)該年級(jí)全部360名學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)的測(cè)試，并把測(cè)得數(shù)據(jù)分成4組，繪制成如表1所示的頻數(shù)表和未完成的如圖5所示的頻數(shù)直方圖(每一組不含前一個(gè)邊界值，含后一個(gè)邊界值).

表1 某校某年級(jí)360名學(xué)生一分鐘跳繩次數(shù)的頻數(shù)表

圖5

1)求a的值;

2)把頻數(shù)直方圖補(bǔ)充完整;

3)求該年級(jí)一分鐘跳繩次數(shù)在190次以上的學(xué)生數(shù)占該年級(jí)全部學(xué)生數(shù)的百分比.

(2021年浙江省杭州市數(shù)學(xué)中考試題第18題)

例6以考生日常運(yùn)動(dòng)“跳繩”為素材設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)分析題，考查頻數(shù)直方圖在數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)中的作用，體現(xiàn)了學(xué)生獲取有效信息并進(jìn)行定量分析的意識(shí)和能力.將大家熟悉的運(yùn)動(dòng)命制在情境化試題中，讓學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決體育問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生積極參加體育鍛煉，享受運(yùn)動(dòng)樂(lè)趣，發(fā)揮數(shù)學(xué)情境的育人價(jià)值.

1.3 新導(dǎo)向，突顯數(shù)學(xué)本質(zhì)

對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的考查主要體現(xiàn)在學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)和感悟數(shù)學(xué)的過(guò)程中.本次試題在充分理解教材、挖掘教材的基礎(chǔ)上，基于教材與教學(xué)進(jìn)行設(shè)計(jì)，呈現(xiàn)出導(dǎo)向核心概念、導(dǎo)向過(guò)程的命題導(dǎo)向，進(jìn)而考查學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力和思維品質(zhì).

1.3.1 導(dǎo)向核心概念，考查理性思維

課標(biāo)中的核心概念既是課程與教學(xué)目標(biāo)的核心，又彰顯了數(shù)學(xué)能力，在試題中有多個(gè)題目直擊數(shù)學(xué)核心概念，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，重點(diǎn)考查學(xué)生的理性思維.

理性思維是按照數(shù)學(xué)對(duì)象本身的規(guī)律來(lái)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象，即不受制于無(wú)關(guān)因素的干擾，以概念、判斷、推理的方式進(jìn)行邏輯的思考，從而得出概念清晰、邏輯嚴(yán)密的結(jié)論[3].

例7已知y1和y2均是以x為自變量的函數(shù)，當(dāng)x=m時(shí)，函數(shù)值分別為M1和M2.若存在實(shí)數(shù)m，使得M1+M2=0，則稱(chēng)函數(shù)y1和y2具有性質(zhì)P.以下函數(shù)y1和y2具有性質(zhì)P的是

( )

A.y1=x2+2x和y2=-x-1

B.y1=x2+2x和y2=-x+1

(2021年浙江省杭州市數(shù)學(xué)中考試題第10題)

分析本題為數(shù)學(xué)中的新定義問(wèn)題，考查學(xué)生對(duì)于新定義的閱讀與理解.但仔細(xì)思考發(fā)現(xiàn)“若存在實(shí)數(shù)m，使得M1+M2=0”的描述在方程的解中曾出現(xiàn)，源于教材又高于教材，考查學(xué)生在新的情境中對(duì)于核心概念的把握與理解.學(xué)生掌握方程解的概念，并利用根的判別式判斷方程是否存在實(shí)數(shù)解進(jìn)而解決問(wèn)題.

本題設(shè)置在函數(shù)情境中，圖像與性質(zhì)是函數(shù)學(xué)習(xí)的主體.通過(guò)對(duì)函數(shù)圖像的研究，從圖形角度可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)y1和y2具有性質(zhì)P,也就是相應(yīng)函數(shù)圖像存在交點(diǎn)，通過(guò)畫(huà)圖可求解.

本題在函數(shù)中定義新性質(zhì)，挖掘教材中知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，將基礎(chǔ)知識(shí)、方法進(jìn)行一定的綜合，為學(xué)生提供了多角度思考問(wèn)題的機(jī)會(huì)，同時(shí)關(guān)注了初高中函數(shù)內(nèi)容的銜接.試題導(dǎo)向核心概念，體現(xiàn)對(duì)抽象概括能力、推理能力、發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題等數(shù)學(xué)能力的考查，更關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì).

1.3.2 導(dǎo)向過(guò)程，考查探究能力

試題始終圍繞課標(biāo)，關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的評(píng)價(jià),多道試題突顯出過(guò)程性評(píng)價(jià)與知識(shí)性評(píng)價(jià)并重，注重學(xué)生知識(shí)的形成過(guò)程、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累過(guò)程、數(shù)學(xué)思維的發(fā)展過(guò)程.

例8在“探索函數(shù)y=ax2+bx+c的系數(shù)a，b，c與圖像的關(guān)系”活動(dòng)中，教師給出了直角坐標(biāo)系(如圖6)中的4個(gè)點(diǎn)：A(0，2)，B(1，0)，C(3，1)，D(2，3).同學(xué)們探索了經(jīng)過(guò)這4個(gè)點(diǎn)中的3個(gè)點(diǎn)的二次函數(shù)的圖像，發(fā)現(xiàn)這些圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式各不相同，其中a的值最大為

圖6 圖7

( )

(2021年浙江省杭州市數(shù)學(xué)中考試題第8題)

分析依托學(xué)生熟悉的探索活動(dòng)，考查學(xué)生用描點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)圖像和選擇合適方法求出函數(shù)表達(dá)式的能力.學(xué)生初看試題，發(fā)現(xiàn)可以通過(guò)枚舉法求解，通過(guò)畫(huà)圖分析發(fā)現(xiàn)4個(gè)二次函數(shù)圖像中有兩個(gè)圖像開(kāi)口向下，進(jìn)而優(yōu)化求解過(guò)程，只需求出開(kāi)口向上的兩個(gè)函數(shù)圖像(如圖7)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.

本題以課本中熟悉的探究活動(dòng)為背景，模擬學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)與提出問(wèn)題的場(chǎng)景，體現(xiàn)課標(biāo)的總目標(biāo)，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，進(jìn)而分析問(wèn)題、解決問(wèn)題.考查學(xué)生在探究過(guò)程中運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)、思想方法，特別是通過(guò)所積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)獲取有效信息，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ瑥亩纬山鉀Q問(wèn)題的思路.

這類(lèi)試題關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的評(píng)價(jià)，它不只局限于對(duì)知識(shí)本身的考查，而是通過(guò)創(chuàng)設(shè)適宜的情境，以實(shí)踐操作、探索發(fā)現(xiàn)、證明猜想為活動(dòng)主線(xiàn)，讓學(xué)生經(jīng)歷探究和解決問(wèn)題的一般過(guò)程，考查學(xué)生的探究能力，突顯出過(guò)程性評(píng)價(jià)與知識(shí)性評(píng)價(jià)并重.

2 教學(xué)建議

全卷依據(jù)課標(biāo)的知識(shí)與能力要求命制，試題“不超標(biāo)”，引導(dǎo)課堂教學(xué)緊扣課標(biāo)要求實(shí)施教學(xué)；依據(jù)教材表述設(shè)計(jì)試題的設(shè)與問(wèn)，試題“不挖坑”，引導(dǎo)課堂回歸教材.

全卷整體著重考查的是基礎(chǔ)知識(shí)的扎實(shí)度、有效數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累的厚度、數(shù)學(xué)本質(zhì)理解的深度、數(shù)學(xué)思想的感悟度.這就要求課堂教學(xué)要緊緊圍繞以下4點(diǎn)下功夫：在合適的數(shù)學(xué)情境與現(xiàn)實(shí)情境中設(shè)置興趣點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；在充分的探索、實(shí)踐活動(dòng)中抓住關(guān)鍵點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的活力；在多角度的思考中提出質(zhì)疑點(diǎn)，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析并解決問(wèn)題的能力；在分析問(wèn)題的關(guān)鍵處形成生長(zhǎng)點(diǎn)，養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的習(xí)慣.

同時(shí)要求平時(shí)的教學(xué)回歸與學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)和學(xué)科發(fā)展規(guī)律相一致的正常課堂教學(xué)，切實(shí)減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)，為學(xué)生“減負(fù)”創(chuàng)造良好的教育生態(tài).