黃啟明, 陳碧芬

(1.三山高級中學(xué),浙江 慈溪 315300；2.浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院,浙江 金華 321004)

0 引言

在當(dāng)前數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生學(xué)習(xí)完新知識后感覺掌握得挺好，但是學(xué)完一個單元甚至一個學(xué)期的數(shù)學(xué)內(nèi)容后卻發(fā)現(xiàn)沒那么容易掌握，這其中有數(shù)學(xué)內(nèi)容本身的綜合性、復(fù)雜性等原因，但更重要的是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識時沒有將相關(guān)的內(nèi)容進行聯(lián)系、沒有建立良好的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu).在教學(xué)中由于各種原因，基本上是教師帶著學(xué)生學(xué)習(xí)“應(yīng)該要學(xué)的內(nèi)容”，常常會省去“為什么學(xué)”“怎么來的”等知識獲得的過程，直接跳到“是什么”“有什么用”上.這必然會讓學(xué)生不明白這些新知識與已有知識之間的關(guān)聯(lián)是什么.實際上，數(shù)學(xué)是站在巨人肩膀上發(fā)展起來的，數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)性特點也給我們啟示：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該在相互聯(lián)系的系統(tǒng)中理解、鞏固并應(yīng)用.心理學(xué)家保羅認為：理解是心理挑選、分析并把相關(guān)的可觀察的事實整合在一起，拒絕不相關(guān)的，直到織成符合邏輯的合理性知識[1].可見，理解某物就是要將新知與舊知聯(lián)系起來，將凌亂的知識梳理出清晰的結(jié)構(gòu).聯(lián)想、推演、類比等是將新舊知識聯(lián)系起來常用的學(xué)習(xí)方法.

本文以人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)(選修2-1)》中“雙曲線的簡單幾何性質(zhì)”為例，探索如何運用聯(lián)想類比來實現(xiàn)知識的自然構(gòu)建.

1 案例及解析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)以及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.由于雙曲線的相關(guān)內(nèi)容和學(xué)習(xí)方法與橢圓具有高度的相似性，因此，可以通過與橢圓的簡單幾何性質(zhì)進行類比，通過學(xué)生合作討論獲得雙曲線的簡單幾何性質(zhì)的學(xué)習(xí)方法.下面通過幾個教學(xué)片段呈現(xiàn)如何通過與橢圓相關(guān)內(nèi)容的聯(lián)想類比來實現(xiàn)雙曲線簡單幾何性質(zhì)的自然構(gòu)建.

片段1類比橢圓的幾何性質(zhì)，確定研究的具體內(nèi)容.

師：上一節(jié)課我們根據(jù)實驗在黑板上畫出了雙曲線，并建立坐標(biāo)系得出了它的標(biāo)準(zhǔn)方程.大家認為關(guān)于雙曲線還可以研究什么？你是怎么想到的？

生1：研究雙曲線的性質(zhì).在學(xué)習(xí)橢圓時，我們先學(xué)了橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程，后面學(xué)了它的幾何性質(zhì).

師：學(xué)習(xí)橢圓的幾何性質(zhì)有什么用？學(xué)習(xí)雙曲線的幾何性質(zhì)又有什么用呢？

生2：可以讓我們更準(zhǔn)確地畫出橢圓和雙曲線.

師：還記得我們研究了橢圓的哪些幾何性質(zhì)？是如何研究的？

生3：研究了橢圓的長軸與短軸的范圍、對稱性、頂點及離心率.

生4：通過研究橢圓的方程得出性質(zhì).

師：猜想雙曲線的幾何性質(zhì)有哪些？如何進行研究？

生5：類比橢圓，應(yīng)該也有長軸與短軸的范圍、對稱性、頂點等，可以從特例出發(fā)進行研究.

設(shè)計說明從本質(zhì)上來講，3種圓錐曲線的研究視角和研究方法基本上是一致的.在這個環(huán)節(jié)中，引導(dǎo)學(xué)生回憶橢圓的幾何性質(zhì)，從而通過聯(lián)想類比猜想雙曲線的幾何性質(zhì)可能包含哪些內(nèi)容，可以通過什么方法來研究這些性質(zhì).

片段2類比橢圓幾何性質(zhì)的研究方法，凸顯雙曲線的特有性質(zhì).

師：對稱性呢？

師：頂點呢？

師：回顧同學(xué)們之前畫的橢圓，有的較圓，有的則較為扁平，因此橢圓的扁平程度與哪些量有關(guān)?

生9：畫橢圓實驗時，把一條長為2a的繩子兩端固定在點F1,F2處，改變兩端點間的距離(即焦距2c)，發(fā)現(xiàn)焦距越大，畫出來的橢圓越扁平.第二次實驗時，焦距確定，改變繩子的長度，發(fā)現(xiàn)繩子越長，畫出來的橢圓越圓.由此可見，橢圓的扁平程度受2a與2c的影響.

學(xué)生拿出課前準(zhǔn)備好的拉鏈，小組合作探究畫雙曲線，然后派代表發(fā)言.

生10：當(dāng)2a確定時，2c越大，雙曲線張口越大.反之，若2c確定，2a越大，則雙曲線張口越小.

生11：有兩條漸近線，分別是x=0和y=0.

師：是怎么求出來的？

2 教學(xué)反思與啟示

上述教學(xué)類比橢圓幾何性質(zhì)的研究思路，充分提取了已有的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.漸近線是雙曲線不同于橢圓的特有性質(zhì)，研究中運用了從特殊到一般的研究方法，積累了新的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，實現(xiàn)了雙曲線幾何性質(zhì)的聯(lián)想類比、自然構(gòu)建的過程.

2.1 抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，進行聯(lián)想類比

類比推理是指兩類對象具有某些類似特征和其中一類的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理方式.函數(shù)與曲線方程本質(zhì)上是相通的，都是動點的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式.因此，學(xué)生按照以往函數(shù)性質(zhì)所涉及的幾個方面，不難聯(lián)想陌生曲線方程——雙曲線的幾何性質(zhì)所應(yīng)研究的范疇.可見抓住了數(shù)學(xué)概念間本質(zhì)上的共性，就如同找到了學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，為聯(lián)想類比插上了翅膀，從而實現(xiàn)了概念的自然建構(gòu).

2.2 聯(lián)系新舊知識，關(guān)注研究方法的一致性

數(shù)學(xué)知識有著千絲萬縷的聯(lián)系，數(shù)學(xué)問題的研究方法亦是如此.學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、方法也不是一次完成的.因此，教師要把數(shù)學(xué)知識、方法的教學(xué)放在整個高中數(shù)學(xué)的背景下系統(tǒng)處理.這就要求教師具備揭示數(shù)學(xué)各部分內(nèi)容之間內(nèi)在聯(lián)系的意識，具有挖掘數(shù)學(xué)知識、方法間相互聯(lián)系的方法，才能真正授學(xué)生以漁.函數(shù)的諸多性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、周期性等都是從代數(shù)角度加以定義的，而函數(shù)圖像恰恰是其性質(zhì)的綜合反映.這與解析幾何的本質(zhì)——用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì)是不謀而合的.這也就促成了雙曲線幾何性質(zhì)的探求可以從研究其方程入手.

同時，橢圓和雙曲線都是圓錐曲線，其研究思路與方法是一致的，教學(xué)中讓學(xué)生在不斷比較二者異同點的過程中，探索標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，也為后繼學(xué)習(xí)拋物線的方程與幾何性質(zhì)奠定了知識與方法基礎(chǔ).

2.3 設(shè)置開放性問題，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性

在概念教學(xué)中，教師應(yīng)充分調(diào)動學(xué)生頭腦中相關(guān)的知識經(jīng)驗，促使學(xué)生主動參與知識的構(gòu)建，在探究中對概念的形成與抽象有所體驗.要產(chǎn)生這樣的探究體驗，最好的引導(dǎo)途徑就是問題引領(lǐng).提出問題引導(dǎo)學(xué)生思考是數(shù)學(xué)教學(xué)的一條基本原則.在教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)構(gòu)建以問題為紐帶的課堂.而開放性問題就是一種有效的提問方式.教師所提出的問題既要符合學(xué)生的認知需求、認知水平，又要能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與熱情.如片段1中，教師提問“猜想雙曲線的幾何性質(zhì)有哪些？如何進行研究？”這一開放性問題有助于學(xué)生聯(lián)想橢圓的幾何性質(zhì)以及研究的思路與方法，點明了本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，同時也指明了研究雙曲線幾何性質(zhì)的思路與方法.因此，只有把學(xué)習(xí)設(shè)置到有意義的問題情境中，才能充分調(diào)動學(xué)生的主觀能動性，實現(xiàn)真正的學(xué)習(xí).