廣東省佛山市順德區(qū)青云中學(xué)(528313) 蔡 斌

1 問題描述

題目(2020年高考全國I卷理科數(shù)學(xué)第20 題)如圖1,已知A,B分別為橢圓E:+y2= 1(a ＞1)的左、右頂點,G為E的上頂點,=8,P為直線x=6 上的動點,PA與E的另一交點為C,PB與E的另一交點為D.

圖1

(1)求E的方程;

(2)證明: 直線CD過定點.

2 解法探究

思路一由于直線CD隨著點P的變化而變化,所以可以設(shè)P(6,m),則直線PA的方程是y=(x+3),直線PB的方程是y=(x-3),利用TI 圖形計算器的CAS 運算功能直接求出直線CD所在的直線方程,然后確定定點,計算思路如下:

i.通過解方程組功能直接計算出C和D的坐標(biāo);

ii.給出直線CD兩點式方程.(限于篇幅,過程從略.)由直線CD的方程可以知道直線CD恒過點

思路二由對稱性可知若CD過定點,則該定點一定在x軸上,所以可以設(shè)直線的方程為x=ny+m,先求出C,D兩點坐標(biāo),然后分別求出直線AC,BD的方程,最后求出P點坐標(biāo)即可,利用P點橫坐標(biāo)為6 來確定m的值.

點評思路一和思路二思路自然,方法直接,比較容易想到,但運算量過大,尤其是思路二,用“筆算”幾乎很難實現(xiàn).但是只要我們有思路、設(shè)計好“算法”步驟,充分利用技術(shù)來完成“機械”的運算,也能夠達到解決問題的目的,突破解析幾何“會想不會算”這一難點.(限于篇幅,過程從略.)

思路三畢竟考試不能使用計算器,所以必須優(yōu)化運算步驟,簡化運算過程,達到“筆算”也能順利完成的目的.通常的做法是利用“設(shè)而不求”的數(shù)學(xué)思想方法.

解析由對稱性可知若CD過定點,則該定點一定在x軸上,所以可以設(shè)直線CD的方程為x=ny+m,由已知可得-3＜m ＜3,設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2).聯(lián)立橢圓E與直線CD的方程,得(n2+9)y2+2mny+m2-9 = 0.因為Δ=4m2n2-4(n2+9)(m2-9)＞0,所以

設(shè)P(t,6),則消去t得3y1(x2-3)=y2(x1+3),又因為y22=則3y1y2(x2-3)=y22(x1+3)=·(x1+3)即-27y1y2=(x1+3)(x2+3),將x1=ny1+m,x2=ny2+m代入得,(n2+27y1y2+(mn+3n)(y1+y2)+(m+3)2=0,即(n2+27)(m2-9)-(mn+3n)·2mn+(m+3)2(n2+9)=0,化簡得2m2+3m-9 = 0,解得m=或m=-3(舍),所以直線CD恒過點

點評先利用對稱性分析出定點在x軸上,再充分挖掘C,D所滿足的代數(shù)條件,并用含y1+y2,y1y2的式子表示,最后利用韋達定理求出m的值,整個問題解決的過程中要求解題者不但有很好的運算能力,還要具有較高的邏輯推理素養(yǎng).

3 拓展探究

3.1 原命題拓展

如果A,B分別為橢圓= 1(a ＞b ＞0)的左、右頂點,P為直線x=m(m /=±a)上的動點,PA與E的另一交點為C,PB與E的另一交點為D,那么直線CD還過定點嗎?

幾何直觀驗證: 借助TI 圖形計算器的滑動條及動態(tài)繪圖功能進行探究,如圖2 所示,改變m的值,直線CD恒過定點;同理,可以觀察到當(dāng)橢圓焦點在y軸上時,相應(yīng)的結(jié)論仍然成立.這啟發(fā)我們證明如下的

圖2

性質(zhì)1已知A,B分別為橢圓= 1(a ＞b ＞0)的左、右頂點,P為直線x=m(m /=±a)上的動點,PA與E的另一交點為C,PB與E的另一交點為D.直線CD恒過定點

證明可以設(shè)P(m,t),則直線PA的方程是y=(x+a),直線PB的方程是y=(x-a),利用TI 圖形計算器的CAS 運算功能,經(jīng)過如下的步驟:

i.聯(lián)立橢圓與直線的方程分別求出點C,D的坐標(biāo);

ii.寫出直線CD的方程;

iii.化簡直線CD的方程,得出CD通過定點(限于篇幅,過程從略.)

直接求出直線CD所在的直線方程,然后確定定點,計算過程如下:

3.2 重組命題的條件和結(jié)論,探究逆命題是否成立

已知A,B分別為橢圓E:= 1(a ＞b ＞0)的左、右頂點,C,D為橢圓上不同于頂點的兩點,若CD過定點(m,0)(不為原點),則直線AC與直線BD的交點P的軌跡是否為垂直于x軸的直線呢?

幾何直觀驗證: 我們再次借助TI 圖形計算器的滑動條及動態(tài)作圖功能,觀察滿足條件的兩直線AC與BD的交點的變動情況,如圖3,由此啟發(fā)我們證明如下的性質(zhì)

圖3

性質(zhì)2已知A,B分別為橢圓= 1(a ＞b ＞0)的左、右頂點,C,D為橢圓上不同于頂點的兩點,若CD過定點(m,0)(不為原點),則直線AC與BD的交點P在定直線x=上.

證明可以設(shè)直線CD的方程為x=ky+m,并設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),則可以借助TI 計算器:

i.分別給出AC的方程及BD的方程;

ii.求出如上兩直線交點P的坐標(biāo).

據(jù)如上兩步驟,推出點P的橫坐標(biāo)始終為定值即P點的軌跡為直線x=(限于篇幅,細節(jié)從略.)

3.3 更改條件,重組開放性問題

若A,B為橢圓E:=1(a ＞b ＞0)左右頂點,C為E上任意異于A,B的點,則有kCA·kCB=在拓展1 中,又因為所以kCB ·kBD=即直線CB與BD的斜率之積為定值.于是可以探究下列問題:

已知A為橢圓= 1(a ＞b ＞0)的左頂點,B,C為橢圓上的兩點,直線AB與直線AC的斜率為k1,k2,若k1k2=m,則直線BC過定點嗎?

幾何直觀驗證,如圖4 所示,通過探究發(fā)現(xiàn),當(dāng)k1k2為定值時,直線BC過定點.這啟發(fā)我們給出如下的性質(zhì)

圖4

性質(zhì)3已知A為橢圓E:= 1(a ＞b ＞0)的左頂點,B,C為橢圓上的兩點,直線AB與直線AC的斜率分別為k1,k2,且k1k2=m(其中m/=則直線BC恒過定點

證明設(shè)直線AB的方程為y=k1(x-a),AC的方程為(x-a),則利用TI 圖形計算器:

i.通過聯(lián)立橢圓與直線的方程,分別求出B,C的坐標(biāo);

ii.寫出直線BC的方程.

由此得到,直線BC恒過點(其中

特別地,通過探究發(fā)現(xiàn)當(dāng)m=時,直線BC平行于x軸,當(dāng)m=時,直線BC恒過原點,如圖5 所示:

圖5

通過探究發(fā)現(xiàn),性質(zhì)3 的逆命題也成立

性質(zhì)4A為橢圓E:= 1(a ＞b ＞0)的左頂點,過定點M(m,0)的直線l與橢圓相交于B,C兩點(都不與A重合),記直線AB與直線AC的斜率分別為k1,k2,則k1·k2為定值,且k1·k2=

3.4 條件變式,重組開放性問題

已知A分別為橢圓E:= 1(a ＞b ＞0)的左頂點,B,C為橢圓上的兩點,直線AB與直線AC的斜率為k1,k2,若k1+k2=m(其中m/=0)則直線BC過定點嗎?

幾何直觀驗證: 如圖6,通過探究發(fā)現(xiàn),當(dāng)k1+k2為定值時,直線BC過定點.

圖6

性質(zhì)5已知A為橢圓E:=1(a ＞b ＞0)的左頂點,B,C為橢圓上的兩點,直線AB與直線AC的斜率分別為k1,k2,且k1+k2=m(其中m /= 0),則直線BC恒過定點

證明設(shè)直線AB的方程為y=k(x-a),則AC的方程為y=(m-k)·(x-a),則利用TI 圖形計算器計算,可以得到直線BC恒過定點(限于篇幅,細節(jié)從略.)

對于斜率之商和斜率之差為定值的情形也可以類似探究,這里不在贅述.

4 題源探究

性質(zhì)2 反應(yīng)了橢圓上存在的一個定點與定線問題的幾何性質(zhì),那么這一性質(zhì)能夠推廣到更一般的情形呢? 通過探究發(fā)現(xiàn): 過定點P的兩條動直線AB,CD分別于橢圓相交A,B,C,D四點,則直線AC與BD的交點在一條定直線上,如圖7 所示.

圖7

上面中橢圓的性質(zhì)實質(zhì)上是有關(guān)圓錐曲線的極點極線理論,其中點P和直線AC與BD的交點所在定直線為橢圓的一對極點和極線,相關(guān)知識可參考文獻[1],而2020年的這道高考解析幾何試題實際上是文[1]中有關(guān)極點極線的一個命題:

命題[1]若橢圓的方程為= 1(a ＞b ＞0),則點P(x0,y0)和直線= 1 為橢圓的一對極點和極線.

利用這一命題來解這道高考題,已知直線x= 6 為橢圓+y2=1 的一條極線,設(shè)它所對應(yīng)的極點為P(x0,y0),則直線= 1 與x= 6 重合,故x0=,y0= 0.則CD恒過的定點就是極線x=6 為所對應(yīng)的極點

5 探究體會

5.1 技術(shù)運用對數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響

本探究案例中,借助TI 圖形計算器強大的動態(tài)繪圖和CAS 運算功能,對數(shù)學(xué)問題進行拓展探究,只要我們有了想法就能快速作圖進行驗證,深入下去.當(dāng)通過作圖分析獲得直觀結(jié)論后,再利用超強的CAS 運算系統(tǒng)進行代數(shù)證明,大大地提高了運算效率,尤其對那些運算能力欠缺的學(xué)生,也能順利完成探究任務(wù),這在傳統(tǒng)的教學(xué)中是不可能實現(xiàn)的.

5.2 技術(shù)運應(yīng)突出數(shù)學(xué)的思考

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主要目的是通過學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題的過程中提升自身的思維能力,而借助技術(shù)能使得抽象問題具體化、動態(tài)化和形象化、這樣不但能拓展學(xué)生的思維,還能幫助學(xué)生深入理解問題的本質(zhì).同時,把繁瑣“機械”的運算交給機器完成,讓學(xué)生有更多的時間進行數(shù)學(xué)的思考,這也符合新課標(biāo)的要求.在本探究案例中,正是有了理性的分析和邏輯推理,才能更好地讓技術(shù)服務(wù)于我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).