廣東省深圳市布吉高級(jí)中學(xué)(518114)李福蓮

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出:“數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上,依據(jù)法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng).主要包括: 理解運(yùn)算對(duì)象,掌握運(yùn)算法則,探究運(yùn)算思路,選擇運(yùn)算方法,設(shè)計(jì)運(yùn)算程序,求得運(yùn)算結(jié)果等.”數(shù)學(xué)運(yùn)算是課程目標(biāo)要求的學(xué)科核心素養(yǎng)之一,而且是最基本的素養(yǎng),通過(guò)運(yùn)算可以促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展,養(yǎng)成規(guī)范化思考的良好習(xí)慣.

在教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)數(shù)式變量運(yùn)算感到最棘手的是解析幾何問(wèn)題,他們有兩大困惑: 一是遇到比較新穎的問(wèn)題時(shí)找不到解題思路;二是感覺(jué)有解題思路,但是得不到最終結(jié)果.更有甚者,有的同學(xué)嫌運(yùn)算量大直接放棄第二小問(wèn).解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì),也就是說(shuō)我們要用坐標(biāo)和方程表示問(wèn)題中涉及的幾何元素,將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題,然后通過(guò)代數(shù)運(yùn)算,將運(yùn)算結(jié)果翻譯成幾何結(jié)論.因此,在這一章節(jié)的教學(xué)中,教師需要引導(dǎo)學(xué)生注重思維邏輯分析,選擇用最簡(jiǎn)潔、最恰當(dāng)?shù)姆绞絹?lái)表示幾何圖形的特征,進(jìn)而優(yōu)化運(yùn)算.筆者就以一道解析幾何題目為例,談?wù)勛约旱淖龇?

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

題目已知橢圓C:= 1(a ＞ b ＞0),右頂點(diǎn)A(2,0),上頂點(diǎn)為B,左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,且∠F1BF2=60°,過(guò)點(diǎn)A作斜率為k(k /=0)的直線交橢圓于點(diǎn)D,交y軸于點(diǎn)E.

(I)求橢圓C的方程.

(II)設(shè)P為AD的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E且與OP垂直的直線交OP于點(diǎn)G,是否存在定點(diǎn)Q對(duì)于任意的k(k /=0)都有GQ是定值? 若存在,求出點(diǎn)Q;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

學(xué)生基本能做對(duì)第(I)問(wèn),第(II)問(wèn)雖然是一道常規(guī)的圓錐曲線存在性問(wèn)題,但在考試中學(xué)生的得分很低.

絕大多數(shù)學(xué)生是求出P點(diǎn)的坐標(biāo)后就直接去計(jì)算G點(diǎn)的坐標(biāo),看到運(yùn)算復(fù)雜就放棄了;還有一部分學(xué)生解出了G點(diǎn)的坐標(biāo)后就沒(méi)有思路,根本想不到G點(diǎn)的軌跡與圓有關(guān),當(dāng)然也就找不到定點(diǎn)Q了.

2 問(wèn)題分析

下面從不同思維角度分析和探究第(II)問(wèn).

解法1設(shè)直線AD:y=k(x-2)(k /= 0),令x= 0,則y=-2k,所以E(0,-2k).

又因?yàn)镋G⊥OP,所以

點(diǎn)評(píng)解法1 是學(xué)生最常用的方法,按照解析幾何大題求解的基本流程逐步進(jìn)行.求出P的坐標(biāo)后,學(xué)生看到這個(gè)坐標(biāo)這么復(fù)雜,接下來(lái)還要求G的坐標(biāo),就有點(diǎn)望而卻步了.運(yùn)算功底好一點(diǎn)的同學(xué)接下來(lái)會(huì)列方程組解得G的坐標(biāo),但是卻無(wú)法找到定點(diǎn)Q.在課堂上同學(xué)們也陷入了深思,G是一個(gè)運(yùn)動(dòng)的點(diǎn),怎么能找到一個(gè)定點(diǎn)Q使GQ為定值呢? 聯(lián)想到圓的定義,說(shuō)明點(diǎn)G的軌跡應(yīng)該是一個(gè)圓或是圓的一部分,因此要用消參法求出點(diǎn)G的軌跡方程,進(jìn)而知道定點(diǎn)Q為圓心.在這個(gè)求解過(guò)程中想到消去k去求點(diǎn)G的軌跡方程,充分體現(xiàn)了運(yùn)算過(guò)程中的思維邏輯分析的重要性.

解法2同解法1 得xD=因?yàn)镻為AD的中點(diǎn),所以xP=則yP=k(xP -所以P的坐標(biāo)為則設(shè)G(x,y),則

又因?yàn)镋G⊥OP,所以

由③④式消去k得x2+y2-=0,下同解法1.

點(diǎn)評(píng)解法2 中關(guān)注到點(diǎn)P為AD的中點(diǎn),可知點(diǎn)P也滿足直線AD的方程,因此只需求出點(diǎn)D的橫坐標(biāo),再求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo),進(jìn)而求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo).還關(guān)注到我們其實(shí)并不需要求出點(diǎn)G的坐標(biāo),而只要求出點(diǎn)G的軌跡方程即可,因此可以通過(guò)③④兩式直接消去k,使運(yùn)算更簡(jiǎn)捷.

解法3設(shè)直線AD:x=ty+2(t /= 0),令x= 0,則所以消去x得(3t2+4)y2+12ty=0,由韋達(dá)定理,知0+yD=解得yD=因?yàn)镻為AD的中點(diǎn),則yP=則xP=t×所以P的坐標(biāo)為則kOP=設(shè)G(x,y),則

又因?yàn)镋G⊥OP,所以

由⑤⑥式消去t得x2+y2-=0,下同解法1.

點(diǎn)評(píng)一般來(lái)講,若直線l經(jīng)過(guò)x軸上的一定點(diǎn)時(shí),可以設(shè)出直線l的反截距式,聯(lián)立曲線消去x得到一個(gè)y的二次方程.解法3 是通過(guò)設(shè)不同的直線方程減少運(yùn)算量.

解法4同解法3 得P的坐標(biāo)為設(shè)存在H(x0,y0)使得OP⊥EH,則= 0,所以= 0,即4x0-3ty0-6 = 0對(duì)任意的t /= 0 都成立,所以所以x0=,y0= 0,所以存在使得OP⊥EH,所以存在使得

點(diǎn)評(píng)解法4 的成功解決表明,充分利用過(guò)動(dòng)點(diǎn)E的直線EG⊥OP,抓住垂直這個(gè)重要信息,要找到一個(gè)定點(diǎn)Q使GQ為定值,聯(lián)想到圓的定義,說(shuō)明點(diǎn)G的軌跡應(yīng)該是一個(gè)圓或是圓的一部分.因此只有動(dòng)直線EG過(guò)一個(gè)定點(diǎn)H時(shí),才可以得到點(diǎn)G的軌跡是以O(shè)H為直徑的圓.接下來(lái)只需研究動(dòng)直線EG過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題了,這樣使消元和尋找等量關(guān)系目標(biāo)更加明確,運(yùn)算簡(jiǎn)捷.

考慮到這個(gè)題目的實(shí)際背景,我們還可以利用下面的方法進(jìn)行作答.

解法5設(shè)直線AD:y=k(x -2)(k /= 0),令x= 0,則y=-2k,所以E(0,-2k).設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),所以=1,兩式相減可得= 0,因?yàn)镻為AD的中點(diǎn),所以= 0,又因?yàn)閗AD==k,則有= 0,即kOP=設(shè)存在H(x0,y0)使得OP⊥EH,則kOP kEH==-1,所以4kx0-3y0-6k=0,即k(4x0-6)-3y0= 0 對(duì)任意的k /= 0 都成立,所以所以x0=y0= 0,所以存在使得OP⊥EH,所以存在使得

點(diǎn)評(píng)解法5 的特殊之處是在于充分利用橢圓中點(diǎn)弦的“垂徑定理”kOP kAD=這一經(jīng)典結(jié)論,使得計(jì)算OP的斜率更具有邏輯性,更自然可操作.

3 教學(xué)反思

解決數(shù)學(xué)問(wèn)題,離不開(kāi)運(yùn)算.要優(yōu)化運(yùn)算,就需要運(yùn)用邏輯分析進(jìn)行理性的思考.解析幾何大題中大量的運(yùn)算是不可能避免的,需要通過(guò)圖形特征的分析,選擇用最簡(jiǎn)潔、最恰當(dāng)?shù)姆绞絹?lái)表示幾何特征.如何選擇最優(yōu)方案呢? 教師應(yīng)該授之以漁,在教學(xué)中特別強(qiáng)調(diào)要“示以學(xué)生思維之道”.解析幾何問(wèn)題的運(yùn)算要教會(huì)學(xué)生關(guān)注: 有什么—知識(shí)邏輯;算什么—目標(biāo)意識(shí);如何算—方法意識(shí);求突破—思維邏輯[2].要不斷引導(dǎo)學(xué)生注重?cái)?shù)學(xué)內(nèi)在的知識(shí)邏輯和思維邏輯,這樣學(xué)生才可以打通思路,再?gòu)闹羞x擇一個(gè)好的解題思路,提前進(jìn)行設(shè)計(jì)和規(guī)劃,經(jīng)過(guò)優(yōu)化的運(yùn)算后得到結(jié)果.因此,作為數(shù)學(xué)運(yùn)算的教學(xué)要關(guān)注以下幾個(gè)方面.

3.1 注重基本的解題流程,為數(shù)學(xué)運(yùn)算提供邏輯支撐

解析幾何會(huì)出現(xiàn)許多靈活的綜合性問(wèn)題,但它還是隱藏著一些重要的解題規(guī)律.在這一章節(jié)習(xí)題課的教學(xué)中,要注重解析幾何大題的基本解題程序的教學(xué),即通性通法的教學(xué).直線與圓錐曲線的位置關(guān)系這一類(lèi)問(wèn)題的基本解題流程有:(1)設(shè)參兩途徑.在解析幾何當(dāng)中,運(yùn)動(dòng)和變化是一個(gè)很重要的數(shù)學(xué)思想,運(yùn)動(dòng)的過(guò)程往往通過(guò)一些參數(shù)來(lái)體現(xiàn).比如直線在運(yùn)動(dòng),一般選擇斜率和截距做為參數(shù).實(shí)際解決過(guò)程中,直線方程形式的設(shè)定有斜截式(缺少斜率不存在的情況)和反斜截式(缺少斜率為0 的情況).其實(shí)運(yùn)動(dòng)的直線還可以設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)做為參數(shù),因?yàn)辄c(diǎn)的運(yùn)動(dòng)會(huì)導(dǎo)致直線的運(yùn)動(dòng).(2)消元兩選擇.一般聯(lián)立斜截式直線方程與曲線方程是消去y,聯(lián)立反斜截式直線方程與曲線方程是消去x.(3)條件坐標(biāo)化.不僅要將題目的已知條件用坐標(biāo)表示,還要將我們要解決的問(wèn)題用坐標(biāo)表示.(4)消參三步曲.運(yùn)算過(guò)程中會(huì)涉及到很多字母和參數(shù),許多同學(xué)就會(huì)迷失方向,消去參數(shù)時(shí)層次性不強(qiáng),因此教師讓學(xué)生知道消元的節(jié)奏,不能混亂.比如聯(lián)立斜截式直線方程與曲線方程解決問(wèn)題時(shí),先消y1,y2,再消去x1,x2,最后消去其余的參數(shù).學(xué)生只有掌握了基本流程之后才不會(huì)懼怕解析幾何中的運(yùn)算,逐步建立研究解析幾何綜合問(wèn)題的信心.因此教師要舍得花時(shí)間在基本解題流程的教學(xué)上,為后期的優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算提供有力的邏輯支撐.

3.2 引領(lǐng)學(xué)生分析題目,理解問(wèn)題內(nèi)涵

問(wèn)題表征是學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)所使用的一種認(rèn)知結(jié)構(gòu),因數(shù)學(xué)問(wèn)題具有多元化的表征形態(tài),使得問(wèn)題解決的方法多樣.不同的理解和分析直接影響問(wèn)題解決的途徑,還會(huì)導(dǎo)致運(yùn)算上的差異很大,比如上面例題的解答過(guò)程中,不同運(yùn)算邏輯對(duì)學(xué)生的思維能力要求是不同的.因此,教師不僅要引領(lǐng)學(xué)生分析題目的已知條件,將已知條件合理表征,還要分析題目到底要解決什么問(wèn)題,即目標(biāo)問(wèn)題.當(dāng)然,學(xué)生想要分析題目中已知與待求之間的差異,再進(jìn)行化歸和消除這些差異,都必須建立在能夠?qū)?wèn)題進(jìn)行多元表征的基礎(chǔ)上.

3.3 關(guān)注學(xué)生思維動(dòng)態(tài),適當(dāng)激發(fā)思維

不同學(xué)生的思維有差異,分析問(wèn)題的角度不一樣,對(duì)題目的理解也是不一樣.教師不能只用一個(gè)最常用的思路方法和運(yùn)算途徑來(lái)解決一類(lèi)題,那樣就不能滿足不同學(xué)生的思維要求.雖然我們最終目標(biāo)是朝優(yōu)化運(yùn)算前進(jìn),但是畢竟學(xué)生思維能力差異明顯.我們不能只照顧到那些基礎(chǔ)較好的學(xué)生,而是要舍得花時(shí)間跟學(xué)生一起分析題目,關(guān)注學(xué)生的思維動(dòng)態(tài),在學(xué)生的常見(jiàn)的邏輯思維分析下,尋找題目的各種解法,一起探討各種解法的運(yùn)算量.在運(yùn)算過(guò)程中出現(xiàn)瓶頸時(shí),教師再設(shè)置小組探究或者師生探究,進(jìn)行思維碰撞,最終讓學(xué)生掌握常見(jiàn)的代數(shù)變換的方法和必要的消元技巧,并讓學(xué)生明白其中的算理,即為何要這樣算會(huì)更簡(jiǎn)捷.

3.4 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思,提升運(yùn)算品質(zhì)

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行運(yùn)算解題后的反思,是進(jìn)一步優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì),培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要途徑.只有通過(guò)反思,學(xué)生才會(huì)明白,在解決解析幾何問(wèn)題時(shí),代數(shù)化表征問(wèn)題的方式的選擇是非常重要的,如果選擇不好,就會(huì)增加計(jì)算量,甚至影響到問(wèn)題的解決.通過(guò)反思,學(xué)生會(huì)深刻地體會(huì)到解析幾何中最大的難題不是如何消元,而是要找到最合理的代數(shù)化方法來(lái)表征題目的已知條件和要解決的問(wèn)題.因此教師可以在這些需要進(jìn)行代數(shù)化表征處設(shè)置問(wèn)題節(jié)點(diǎn),與同學(xué)們一起做探討,并讓學(xué)生歸納總結(jié),幫助學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn).只有這樣,學(xué)生才能在諸多代數(shù)化表征問(wèn)題的方式中選擇最優(yōu)方案,進(jìn)而層層推進(jìn),步步深化,培養(yǎng)思維邏輯能力,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

3.5 滲透數(shù)學(xué)學(xué)科觀點(diǎn),探尋學(xué)科的本質(zhì)

課堂教學(xué)應(yīng)該遵循學(xué)科的觀點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生探尋學(xué)科的本質(zhì).如何有效地將曲線的圖形特征代數(shù)化是教學(xué)最為關(guān)鍵的任務(wù),然而依據(jù)幾何學(xué)的知識(shí)邏輯,對(duì)于幾何元素進(jìn)行代數(shù)化不是一蹴而就的,必須要在明確曲線的幾何特征前提下進(jìn)行代數(shù)化.因此教師要引領(lǐng)學(xué)生在“曲線與方程”的觀點(diǎn)下看幾何對(duì)象,要明確了動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的幾何規(guī)律之后再進(jìn)行代數(shù)化.對(duì)于直線與曲線這樣兩個(gè)或兩個(gè)以上幾何對(duì)象的研究,就要先明確它們之間在幾何上的位置關(guān)系,接下來(lái)才能用代數(shù)方法去解決問(wèn)題.因此,在解析幾何的教學(xué)中,就要依據(jù)幾何學(xué)的學(xué)科知識(shí)的內(nèi)在邏輯,讓學(xué)生親自去體會(huì)、感受所學(xué)知識(shí)與知識(shí)所處的學(xué)科的邏輯關(guān)系,讓學(xué)生領(lǐng)悟出解析幾何的基本思想,掌握研究解析幾何問(wèn)題的一般方法.數(shù)學(xué)離不開(kāi)運(yùn)算,運(yùn)算則更需要邏輯分析的基礎(chǔ)上對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深刻認(rèn)識(shí),減少運(yùn)算量.

結(jié)語(yǔ)總之,教師要把培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力列為明確的教學(xué)目標(biāo),輔之以有典型例題的教學(xué)設(shè)計(jì),把注重邏輯分析,優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算,進(jìn)而提升學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)滲透到每一節(jié)課中,落實(shí)到每一道題目的解決過(guò)程之中,并且細(xì)化到每道題目運(yùn)算的每個(gè)步驟.