中山市桂山中學(528463)蔡曉波

一、試題再現(xiàn)

圖1

題目 (2021年八省高考適應性考試數(shù)學試題第20 題)北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性,規(guī)定:多面體頂點的曲率等于2π與多面體在該點的面角之和的差(多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角,角度用弧度制),多面體面上非頂點的曲率均為零,多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.例如: 正四面體在每個頂點有3 個面角,每個面角是所以正四面體在各頂點的曲率為故其總曲率為4π.

(1)求四棱雉的總曲率;

(2)若多面體滿足: 頂點數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2,證明: 這類多面體的總曲率是常數(shù).

評注該題以北京大興國際機場為背景,考察學生對多面體幾何特征以及數(shù)學建模能力的掌握.該題題目新穎,注重對學生理解能力、分析與建模能力的考察,有一定的靈活度與難度.

在進行探究之前,我們先進行如下約定:

約定在下文中,如無特別聲明,我均假設一個多面體的頂點數(shù)為V,棱數(shù)為E,面數(shù)為F

二、解法探究

第1 問較為簡單,相關解答不再贅述.下面著重對第2問進行探討.

解法1每個面分別即為ni(i ∈[1,F])邊形,則所有面角和為-2πF=π·2E-2πF=2π(E-F),則多面體的總曲率為2πV -2π(E-F)=4π.

評注該解法是網(wǎng)上流傳的官方答案,解答過程十分簡潔.實際上本題的突破口在于如何把該多面體所有面的內(nèi)角和與頂點,棱數(shù),面數(shù)找到關系.如果我們對該多面體的形狀進行歸類,那么也可以比較有條理的找到內(nèi)角和與面數(shù),棱數(shù)之間的關系.

解法2設該多面體的所有面角和為S,故V -E+F=2.

設各個面中k邊形有ak個(k= 3,4,··· ,l),且F=因為一條棱總會出現(xiàn)在2 個面上,因此我們可以認為某個k邊形中每條邊僅有條邊屬于該面,故一個k邊形有條有效邊,故E=而一個k邊形的內(nèi)角和為(k-2)π.故S=

因為頂點的曲率等于2π與多面體在該點的面角之和的差,

評注解法2 對多面體的面按照其邊數(shù)進行分類,條理較為清晰,理解起來較為容易,解法2 中利用“一條棱總會出現(xiàn)在2 個面上”的特征,因此k邊形中每條邊僅有條邊屬于該面,化學中,晶體的分子結(jié)構(gòu)與化學式也有相同的原理體現(xiàn),例如: 二氧化硅的平面結(jié)構(gòu)圖如圖2,以一個硅(Si)原子為標準,每個硅原子旁邊有4 個氧原子(O),而每個氧原子總對應2 個硅原子,故一個氧原子僅有屬于某個硅原子,故而僅有個氧原子屬于該硅原子,而二氧化硅的化學式為SiO2,恰好體現(xiàn)了這一點.

圖2

實際上如果從另一個角度來理解也可以得到面數(shù)與棱數(shù)之間的關系,因此有下面的解法3.

解法3把每個面從該多面體分離出來,得到F個獨立的多邊形(因為有F個面),設k邊形有ak個(k= 3,4,··· ,l),故F=故這些多邊形共有條邊.

因此該多面體可以認為是把這F個多邊形拼接而成,而多面體的每條棱均是由兩條邊合成,故E=

下列過程同解法2.

評注解法3 從多面體是如何由平面多邊形拼接而成的角度來得出多面體的邊數(shù),這個角度學生比較容易理解.

k邊形(k≥4)如果從其中的一個頂點向其它不相鄰的頂點作連線,則可以把該面變?yōu)槿舾蓚€三角形.對于該多面體中所有非三角形的面均這樣作連線,則該多面體可以認為是一個各個面均為三角形的特殊形式,因此我們可得如下解法4.

解法4下面先證一個結(jié)論: 各個面均為三角形且滿足:頂點數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2 的多面體的總曲率和為4π.

設有V ′個頂點,F′個面,因為每個面均為三角形,故每個面的內(nèi)角和均為π.因為各個面均為三角形,故該多面體可以看成由F′個3 個三角形連接而成,每2 條邊變?yōu)? 條棱,故棱數(shù)為:又因為頂點數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2,故V ′ -+F′= 2,故2V ′ - F′= 4,故其總曲率和=V ′·2π-F′π=4π,故各個面均為三角形且滿足: 頂點數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2 的多面體的總曲率和為4π.

設任意滿足題目的多面體的所有面角和為S,V -E+F=2,設各個面中k邊形有ak個(k=3,4,··· ,l),故F=

對于任意一個k(k≥4)邊形從某一個頂點向其它不相鄰的頂點作連線,則可作k-3 條線,該多邊形被分為k-2個三角形,如果把這k-3 條線也當做多面體的棱,則多面體多了k-3 條棱,多了k-3 個面(一個三角形看成是一個面,多個三角形在同一個平面內(nèi)仍然看成是多個面),頂點個數(shù)不變.

對該多面體的所有k(k≥4)邊形按以上要求做連線后可得一個各個面均為三角形的新多面體,該多面體的面數(shù)為F+(k-3),頂點數(shù)依然為V,棱數(shù)為(k-3),所有面角和依然為S.

因為V -E+F= 2,故V -(E+= 2,故新多面體的總曲率和為4π,由于新多面體與原來的多面體頂點數(shù)和面角和均相同,故總曲率相同,故原來多面體的總曲率為4π.

評注解法4 體現(xiàn)了化一般為特殊,由特殊到一般的推理過程.而這正是研究數(shù)學問題常見的方法之一.

從以上4 種方法可以看出,本題對數(shù)學中的幾何知識本身的考察并不是很難,但是對學生的邏輯推理,數(shù)學建模,直觀想象能力卻要求較高,因此本題很好的考察了學生的數(shù)學核心素養(yǎng)能力.

三、題目的溯源與變式探究

(一)條件溯源

題目中“頂點數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2”實際上是著名的簡單多面體的歐拉公式,該公式實際上在高中教材出現(xiàn)過,在人教A 版選修2-2 的83 頁A 組練習2,以歸納探究的形式讓學生探究過該條件.因此,在日常教學中,我們要注重對教材習題的挖掘與再利用.

(二)題目條件之間關系的探究

在探究條件之間的關系之前,我們先根據(jù)題目給出幾個定義:

定義1多面體頂點的曲率等于2π與多面體在該點的面角之和的差,多面體面上非頂點的曲率均為零.

定義2多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角,角度用弧度制.

定義3多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.

1.頂點的曲率為何要選擇2π？

變式1多面體頂點的曲率為某個常數(shù)與多面體在該點的面角之和的差,多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和,多面體滿足: 頂點數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2,多面體的總曲率是定值,求該常數(shù).

解設該常數(shù)為p,設多面體的每個面分別為ni邊形(i ∈[1,F]),則所有面角和為2πF=π·2E -2πF= 2π(E -F),則多面體的總曲率為pV -2π(E-F).又因為V -E+F=2.故E-F=V -2,故pV -2π(E-F)=pV -2π(V -2)=4π+(p-2π)V,因為多面體的總曲率是定值,故與V無關,故p=2π.

2.知道總曲率能否得出多面體歐拉公式?

變式2一類凸多面體的總曲率為4π,求證: 該類多面體頂點數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2.(注: 相關概念看前邊的定義)

證明由變式1 的證明可知: 多面體的所有面角和為2π(E -F),則多面體的總曲率為2πV -2π(E -F)= 4π,故V -E+F=2,故該類多面體頂點數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2.

評注由題目本身與變式1、變式2 可得: 定義1 中的“2π”,“多面體的總曲率為4π”,“頂點數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2”這3 個條件知道其中2 個可求另一個.

3.多面體曲率和的降維形式.

多面體是三維空間幾何圖形,那么對于平面多邊形是否有類似的結(jié)論呢? 實際上,略微探究不難得到如下命題:

變式3平面凸多邊形一個頂點的外角等于π與該點的內(nèi)角之差(角度用弧度制),多邊形邊上非頂點的外角均為零,多邊形的外角和等于該多邊形各個頂點外角之和,則凸多邊形外角和為2π.

顯然,該變式的就是我們所熟知的凸多邊形外角和為2π的結(jié)論.簡單多面體中的“頂點數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2”對應了凸多邊形的“頂點數(shù)-棱數(shù)=0”,多面體一個頂點的“曲率”對應了凸多邊形一個頂點的“外角”;“總曲率”對應了“外角和”.

4.為何選擇角度作為度量?

本題的巧妙之處在于任意多面體的總曲率為4π,是一個定值,那么題目為何要選擇角度作為度量呢? 首先,多面體的每個頂點和每個面均有相關的度量體現(xiàn),即頂點有若干個角,一個面也有若干個角.

其次,題目中的多面體滿足V - E+F= 2,而ni(i ∈[1,F])邊形內(nèi)角和為(ni -2)π,具有ni -2 的一次線性形式.我們不妨假設有另外一個度量方法(稱為:L),使得頂點與面也均有相關的度量體現(xiàn),且ni邊形L和為(ni-a)p(a,p為常數(shù)),定義一個頂點“Q率”為m(m為常數(shù))與該頂點的所有L和之差,各個頂點的Q率之和為總Q率.

設該多面體每個面分別為ni邊形(i ∈[1,F]),由前面分析可知E=則各個面的所有L和為= (2E-aF)p,故總Q率為

故此,曲率選擇角度作為度量甚為巧妙.

通過以上的變式探究,我們可以更加深入的體會到數(shù)學美與數(shù)學的嚴謹性.