李倩南，張輝，2，王青，武瑞青

1.西安工業(yè)大學基礎學院，陜西西安710021；2.咸陽師范學院物理與電子工程學院，陜西咸陽712000；3.西安電子科技大學電子工程學院，陜西西安710071；4.西藏民族大學附屬中學，陜西咸陽712000

前言

電磁場作用于生物系統(tǒng)，引起生物系統(tǒng)結構、功能等方面的改變，稱為電磁場生物學效應［1-2］。按其產(chǎn)生的原因，可分為熱效應與非熱效應［3］。熱效應與生物體吸收電磁波能量后產(chǎn)生的溫度升高有關，非熱效應則與這種溫度的升高無關［4］。近年來，在細胞水平上，非熱效應仍是電磁場生物學效應研究的熱點問題［5］，研究發(fā)現(xiàn)電場能引起細胞形變［6］、融合［7-8］、旋轉等［9］，進而影響細胞生理功能。研究認為，細胞在電場作用下發(fā)生的這一系列變化是細胞膜表面電場應力作用的結果［10］。

關于電場對生物細胞影響的研究，20世紀50年代末，Schwan［11］將細胞建模為具有特定電特性的簡單幾何體，開始了一系列關于電場對生物細胞影響的研究。20世紀70年代早期，F(xiàn)rieske等［12-13］提出了脂質(zhì)雙層彈性理論，并估計了外場對磷脂囊泡形狀的影響。對于細胞所受電場應力與形變的研究已有許多學者做了大量工作。20世紀90年代初，Hyuga等［14］結合麥克斯韋應力法提出用小變形理論來解釋細胞形變。之后牛中奇［15］用力密度表達式推導了靜息電位時細胞膜所受的自電場應力。武瑞青等［10］用麥克斯韋應力張量方法分析球形細胞膜上電場應力的大小及分布等。這些研究討論了電場中單細胞電場應力的分布，其中對細胞空間電場分布的研究，理論計算方法有分離變量法、電像法、格林函數(shù)法、電多級展開等［16］。

對于電場作用下多細胞空間電場分布以及電場應力分布相關的研究報導較少?？紤]到在電場中有多個細胞的情況下，用電磁場仿真軟件更易分析細胞內(nèi)外電場分布?；诖耍疚囊?個相同的球形細胞作為研究對象，用ANSYS-Maxwell 電磁仿真軟件求解研究區(qū)域的電場分布，應用麥克斯韋應力法，分析在電場作用下細胞表面的電場應力分布規(guī)律。

1 細胞模型

研究表明，除個別鳥類，幾乎所有生物組織都是非磁性物質(zhì)［17］，本文分析電場作用下細胞空間電場和細胞表面電場應力分布，假設討論的細胞為球形細胞，該細胞由細胞質(zhì)、細胞膜、細胞外液3部分組成，圖1a為球殼模型。其中R0為細胞膜外半徑，d為膜厚度，θ為測量的極性方向與外電場方向的夾角，εi、εe、εm分別為細胞質(zhì)、細胞膜、細胞外液的介電常數(shù)［18］，細胞在各區(qū)域內(nèi)磁導率均為μ0。根據(jù)內(nèi)部均質(zhì)化原理［19］，細胞可以等效為介電常數(shù)為ε的介質(zhì)球，圖1b為細胞等效介質(zhì)球模型，其中等效介質(zhì)球相對介電常數(shù)為：

圖1 單細胞物理模型Fig.1 Single-cell physical model

2 理論分析

2.1 單細胞內(nèi)外場分布

將等效介質(zhì)球作為研究對象，以介質(zhì)球球心為原點，外電場E?方向為Z 軸建立球坐標系，取外電場大小為E0［20］，則E?=E0e?z。若取球內(nèi)外電勢分別為φ1、φ2，由電磁場理論得到：

φ1、φ2滿足邊值關系的邊界條件為：

解上述滿足邊值關系的拉普拉斯方程，可得：

當r=R時分別為介質(zhì)球表面電場強度的法向分量與切向分量，如圖2所示。

圖2 電場強度分量圖Fig.2 Components of electric field intensity

2.2 單細胞膜電場應力

電磁波具有動量，入射到細胞表面，會對細胞施加一定壓力，表現(xiàn)為膜上的電場應力。電磁場動量流密度為：

式中，為單位張量。在外電場的作用下，施加至細胞表面單位面積電場應力的平均值P?為：

細胞表面電場應力的法向分量和切向分量分別為：

3 數(shù)值分析與討論

本文討論對單細胞的電場分布通過解析方法進行求解，見2.1節(jié)。對電場作用于3個細胞時，細胞表面的電場分布通過ANSYS-Maxwell電磁場仿真軟件進行求解，電場應力分布通過麥克斯韋應力法進行分析。

3.1 外場與細胞相互作用模型

本文分析電場與細胞之間的相互作用模型見表1?？紤]細胞幾何參數(shù)典型值常取細胞膜厚度7.5～16.5 nm，細胞平均直徑10～20 μm［18］。本數(shù)值分析中取電場強度E=1 000 V/m，若取εi=136、εm=10.3、εe=80［10,21］，R0=10 μm、d=8 nm，由式（1）得到等效介質(zhì)球相對介電常數(shù)ε=134.5。

表1 電場與細胞相互作用模型Tab.1 Electric field-cell interaction models

3.2 電場與應力分析

3.2.1 單個細胞與電場相互作用圖3 給出電場中沒有細胞時的電場線分布，圖4、圖5 分別給出表1 中方案1所示單個細胞與電場相互作用后的電場線分布、電場隨角度θ變化關系。圖5 顯示，外加電場為1 000 V/m 時，細胞表面法向電場強度Er與角度θ成余弦關系，在θ=0°、180°、360°處取得最大值約1 360 V/m。切向電場強度Et與角度θ成正弦關系，在90°和270°處最大約819.8 V/m。比較圖3、圖4 發(fā)現(xiàn)，外加電場作用于單個細胞時，細胞外電場由均勻場變?yōu)椴痪鶆驁?。這是由于細胞和外電場相互作用時，在細胞表面產(chǎn)生感應電荷，進而產(chǎn)生感應電場，感應電場和原電場的疊加形成細胞外新的電場，表現(xiàn)在靠近細胞表面的電場發(fā)生明顯變化。

圖3 無細胞時電場線分布Fig.3 Electric field line distribution with no cells

圖4 單個細胞時細胞空間電場線分布Fig.4 Electric field line distribution with a single cell

圖5 細胞表面電場隨極角變化關系Fig.5 Electric field on the cell surface changing with polar angle

圖6、圖7 分別給出單個細胞表面力密度分布和其在電場中所受法向電場應力Pr和切向電場應力Pt隨θ變化關系。圖6 顯示，沿z 軸方向細胞表面力密度最大，xoy 面細胞表面力的方向向坐標原點方向，這可以解釋在電場力作用下，細胞有從球形變?yōu)闄E球形的趨勢；圖7 顯示法向電場應力Pr與角度θ成余弦關系，在θ=0°、180°、360°處取得最大值約4.107×10-4Pa，此時Pr垂直細胞表面向外，表現(xiàn)為對細胞的拉力，細胞在電場方向被拉伸；Pr在θ=90°、270°處最小，約-1.475×10-4Pa，此時Pr垂直細胞表面向內(nèi)，表現(xiàn)為對細胞的壓力，垂直電場方向細胞被壓縮。

圖6 細胞表面力密度分布Fig.6 Distribution of the surface force density of cell

圖7 法向和切向電場應力隨極角變化關系Fig.7 Normal and tangential electric field stresses changing with polar angle

結論（1）：單個細胞與電場相互作用時，細胞有從球形變?yōu)闄E球形的趨勢。

3.2.2 3個細胞與電場相互作用本文中中間細胞、左邊細胞、右邊細胞分別記為細胞1、細胞2、細胞3，圖8、圖9 和圖10 分別給出表1 中方案2 電場與細胞相互作用時的電場分布云圖、電場線分布圖、細胞表面電場隨極角變化關系圖。在方案2 中3 個細胞相互接觸沿一條直線放置，且細胞球心連線與外電場垂直。圖8、圖9 顯示電場與3 個細胞相互作用后，各個細胞電場重新分布且關于y軸對稱，無窮遠處電場強度恒定為外電場E?。對比圖9 與圖4 發(fā)現(xiàn)，沿電場方向細胞表面電場強度都獲得加強，垂直電場方向細胞表面電場強度都減弱，細胞相切處電場強度最小。圖10中細胞1、2、3的法向、切向電場強度隨角度θ變化情況為Er1、Er2、Er3和Et1、Et2、Et3。細胞2 和細胞1 胞在θ=90°接觸，此位置Er1≈Er2≈0 V/m，Et1=-698.94 V/m，Et2=699.11V/m，細胞2 和細胞1 接觸位置電場強度相互抵消，使接觸點場強最小約為0 V/m。同理細胞3和細胞1接觸點由于電場相互抵消，場強最小。細 胞2 在θ為15°、165°、360°時P2達 到 最 大 值2.9×10-4Pa；細胞3 在θ為0°、195°、345°時P3達到最大值2.9×10-4Pa。與單個細胞和電場相互作用比較發(fā)現(xiàn)，細胞2、細胞3電場應力最大值降低約1.207×10-4Pa，此時電場應力表現(xiàn)為對細胞的拉力作用，使細胞被拉伸并有沿電場方向變形的趨勢，細胞1 變形較大。圖12 顯示細胞2（3）在θ為0°到180°（180°到360°）內(nèi)Pt2變化趨勢與細胞3（2）在θ為180°到360°（0°到180°）內(nèi)Pt3變化趨勢相同，在θ為0°、180°處細胞2 和細胞3 切向電場應力大小相等，方向相反，細胞有旋轉的趨勢。

圖8 3個細胞電場分布云圖Fig.8 Three-cell electric field distribution nephogram

圖9 3個細胞電場線分布Fig.9 Three-cell electric field line distribution

圖10 細胞表面電場隨極角變化關系Fig.10 Electric field on cell surface changing with polar angle

結論（2）：3 個細胞和電場相互作用時，細胞表面電場應力分布有一定的對稱性。在法向電場應力作用下細胞發(fā)生形變，在切向電場應力的作用下細胞2、3有旋轉的趨勢。

圖11、圖12 分別給出電場與細胞1、2、3 相互作用時，細胞膜受到的的電場應力和切向電場應力隨角度θ變化關系圖。圖11顯示細胞1在θ為0°、180°、360°時細胞表面電場應力P1達到最大值4×10-4Pa；

圖11 電場應力隨極角變化關系Fig.11 Electric field stress changing with polar angle

圖12 切向電應力隨極角變化關系Fig.12 Tangential electric field stress changing with polar angle

3.3 對不同間距（d）下3個細胞與電場相互作用的討論

對不同間距（d）下3 個細胞與電場相互作用的討論中，相互作用模型見3.1節(jié)方案2、3、4。

3.3.1 間距對細胞空間電場分布的影響分析圖13a～圖13c和圖14a～圖14c 分別給出細胞1、2、3 之間距離d為0、10、20 μm 時細胞空間電場分布云圖和細胞空間電場線分布。對比圖14a～圖14c（圖13a～圖13c）發(fā)現(xiàn)，當d由0 μm 變化至20 μm 過程中，電場重新分布且仍關于y軸對稱，細胞表面電場強度隨距離的增加而增大，Emax從1 347.7 V/m增加至1 354.1 V/m，Emin從697.9 V/m 增加至810.5 V/m，這是由于當細胞間距離變大時，各個細胞之間相互影響減弱，可以預測當細胞間距離達到某個值時，細胞空間電場分布會與單個細胞空間電場分布相同，多細胞與電場相互作用的相關問題可以被簡化為單細胞處理。

圖13 電場分布云圖與細胞間距離的關系Fig.13 Relationship between electric field distribution nephogram and cell spacing

圖14 細胞空間電場線分布與細胞間距離的關系Fig.14 Relationship between electric field lines distribution and cell spacing

3.3.2 間距對細胞膜上電場應力分布的影響分析圖15a～圖15c 分別給出3 個細胞間距d為0、10、20 μm時細胞表面力密度分布圖。對比圖15a～圖15c發(fā)現(xiàn)，細胞表面力密度分布關于y 軸對稱，細胞2 表面力密度在180°至360°（0°至180°）內(nèi)的分布與細胞3 在0°至180°（180°至360°）內(nèi)的分布情況相同。體現(xiàn)在細胞2、3 有形變?yōu)橐粋葍?nèi)凹的橢球的趨勢，細胞1 有形變?yōu)闄E球的趨勢。隨著細胞之間距離的增大，細胞之間力的相互影響減弱，各個細胞都有形變?yōu)闄E球的趨勢。

圖15 細胞表面力密度分布Fig.15 Distribution of the surface force density of cells

圖16a～圖16c 分別給出細胞1、2、3 之間距離為0、10、20 μm 時細胞2、細胞3、細胞1 所受法向電場應力隨極角的變化關系data1、data2、data3。圖16a～圖16c 顯示，細胞2、3 表面法向電場應力絕對值隨細胞之間距離的增大而增大，細胞1表面法向電場應力幾乎不隨距離變化。

圖16 法向電場應力Pr與細胞間距離的關系Fig.16 Relationship between normal electric field stress Pr and cell spacing

圖17a～圖17c 分別給出細胞1、2、3 之間距離為0、10、20 μm 時細胞2、細胞3、細胞1 所受切向電場應力隨極角的變化關系data1、data2、data3。圖17a～圖17c 顯示，細胞2、3 表面的切向電場應力絕對值隨著細胞之間距離的增大而減小，細胞1表面切向電場應力幾乎不隨距離變化。

圖17 切向電場應力Pt與細胞間距離的關系Fig.17 Relationship between tangent electric field stress Pt and cell spacing

細胞之間的距離對細胞2、3 外側（細胞2 膜上180°至360°范圍和細胞3 表面上0°至180°范圍）的法向、切向電場應力影響極小。細胞2 表面的法向、切向電場應力在θ=270°位置處和細胞3 表面在θ=90°位置處的法向、切向電場應力大小相等，此位置處法向、切向電場應力的大小與細胞之間距離無關。在法向電場應力的作用下細胞1、2、3 都有形變?yōu)闄E球的趨勢，細胞2、3 形變程度相同；在切向電場應力的作用下細胞2、3有旋轉的趨勢。

圖18a～圖18c 分別顯示細胞1、2、3 之間距離為0、10、20 μm 時細胞2、細胞3、細胞1 所受電場應力隨極角的變化關系data1、data2、data3。圖18a～圖18c顯示，距離不影響細胞電場應力隨極角變化趨勢，電場應力最大值（Pmax）隨細胞間距的增大而增大，在細胞間距相同的情況下細胞2、3電場應力最大值（Pmax）相等。細胞相切位置處電場應力相等并且達到極小值，這個值不隨細胞間距離的變化而變化。

圖18 電場應力P與細胞間距離的關系Fig.18 Relationship between electric field stress P and cell spacing

結論（3）：3 個細胞與電場相互作用時，各細胞之間的距離會影響細胞表面電場應力的大小，從而影響細胞的形變程度。當細胞間距較小時，各細胞間的相互影響較強，左右兩細胞形變程度相同，中間細胞形變?yōu)闄E球；當細胞間距足夠大時，細胞之間相互影響變得非常小，3 個細胞都將在法向電場應力作用下形變?yōu)闄E球，在切向電場應力的作用下旋轉。

4 結論

研究細胞表面所受電場應力分布可以探究電場作用下細胞發(fā)生形變、旋轉、融合等現(xiàn)象的物理原因，也可以為生物電磁學的實際應用、電離輻射的衛(wèi)生標準提供理論依據(jù)。本文采用麥克斯韋應力分析法，利用解析和數(shù)值分析方法分析了電場作用下細胞表面電場應力的分布情況。

通過分析得出結論：（1）單個細胞與電場相互作用時，細胞有從球形變?yōu)闄E球形的趨勢；（2）對于電場與多細胞系統(tǒng)相互作用，一定距離范圍內(nèi)細胞數(shù)目對細胞所受電場應力有一定影響，從而影響細胞的形變程度；當細胞間距足夠大時，可忽略細胞間相互影響，問題簡化為單細胞與電場相互作用。

本文討論了分布在同一條直線上球形細胞在電場作用下的受力情況，但在生物體中，細胞的形態(tài)、數(shù)目、空間排列方式各不相同，所以考慮細胞的形狀、膜的各向異性以及細胞的空間排列對細胞膜電場應力的影響將是今后的研究方向。