周群益,莫云飛,侯兆陽,周麗麗

(1.廣州理工學(xué)院 通識教育學(xué)院,廣東 廣州,510540;2.長沙學(xué)院 電子信息與電氣工程學(xué)院,湖南 長沙,410022;3.長安大學(xué) 理學(xué)院應(yīng)用物理系,陜西 西安,710064;4.贛南醫(yī)學(xué)院 醫(yī)學(xué)信息工程學(xué)院,江西 贛州,341000)

均勻帶電圓形薄板電場的計算比較復(fù)雜,一般只推導(dǎo)了軸線上的電勢和電場強度的公式[1–5]。這個問題沒有一般的解析解,少有研究這個問題的文獻。本文利用環(huán)電荷的場強公式,建立了電勢和電場強度的積分公式,用MATLAB的數(shù)值積分方法解決了計算問題,并繪制電勢和場強的曲面、二維等勢線和電場線。

1 圓板電荷的電勢和場強

(1)電勢。在直角坐標系中,圓環(huán)電荷的電勢為[7–9],其中:Q是圓環(huán)的帶電量,默認為Q>0。RM是圓環(huán)上的點到場點的最大距離;K(m)是第一類完全橢圓積分[10–11],m是模數(shù)(a是圓環(huán)的半徑)。

圖1 圓板電荷電勢的示意圖

當x=0時,最大距離為,模數(shù)為m=m(0,z)=0,第一類完全橢圓積分為K(0)=π/2。圓板在軸線上產(chǎn)生的電勢為

當z→∞時,U(0,z)→0,即:無窮遠處是零勢點。當z=0時,可得圓心處的電勢

當x=0時,第二類完全橢圓積分為E(0)=π/2。圓板在軸線上產(chǎn)生的場強分別為Ex=0,。這是電磁學(xué)中的結(jié)果。當a→∞時,可得無限大帶電薄板的場強。

2 公式的無量綱化

3 電場的可視化

利用MATLAB設(shè)計程序,用數(shù)值積分方法很容易求出電勢和電場強度的積分值(見附錄)。

(1)如圖2(a)所示,均勻帶電圓板在軸線上的電勢U(0,z)是偶對稱曲線,z=0處是一個尖點,表示圓心的電勢最高U(0,0)=2U0;在離圓心較遠的地方,帶電圓板產(chǎn)生的電勢接近于點電荷產(chǎn)生的電勢。如圖2(b)所示,均勻帶電圓板在軸線上的場強Ez(0,z)是奇對稱曲線,在z=0處,Ez(0,0)=0,這是圓心的場強;在z=0+處,Ez(0,0+)=2E0,這是上表面的場強;在z=0-處,Ez(0,0-)=-2E0,這是下表面的場強,負號表示方向相反;在離圓心較遠的地方,帶電圓板產(chǎn)生的場強接近于點電荷產(chǎn)生的場強。

圖2 均勻帶電圓板在軸線的電勢(a)和場強(b)

(2)如圖3所示,均勻帶電圓板的電勢U(x,z)是一個單峰曲面,是關(guān)于x和z的偶函數(shù);三維等勢線分布在曲面上,沿著Oz方向的電勢U(0,z)曲線也分布在曲面上。點(0,0)處的電勢最高,當z=0而x在區(qū)間[-a,a]的電勢U(x,0)并不是常數(shù),說明圓板表面并不是一個等勢面。

圖3 均勻帶電圓板的電勢

(3)如圖4所示,圓板電荷場強的x分量Ex(x,z)是關(guān)于x的奇函數(shù),關(guān)于z的偶函數(shù);Ex在(±a,0)處各有1個尖銳的“峰”和“谷”,說明兩處的Ex很大而方向相反。當x=0時,Ex=0的直線在曲面上。

圖4 均勻帶電圓板場強的x分量

(4)如圖5所示,場強的z分量Ez(x,z)是關(guān)于x的偶函數(shù),關(guān)于z的奇函數(shù);當-a

圖5 均勻帶電圓板場強的z分量

(5)如圖6所示,合場強E的大小E(x,z)是關(guān)于x和z的偶函數(shù),曲面在(±a,0)處有一對“犄角”,這是因為(±a,0)處的場強E比較大。當x=0時,E=|Ez|的曲線在曲面上,這是軸線上場強的大小,(0,0)處是一個鞍點。

圖6 均勻帶電圓板的合場強

(6)如圖7所示,合場強E的方向角α隨著Oxz平面的極角φ(極軸是x軸,逆時針方向為正)的增加而增加,在φ=0且x>a處,α=0;在φ=±π/2處,α=±π/2;在φ=π且x<-a處,α發(fā)生從π到-π的躍變,這是因為π和-π是同一角度;在圓板的兩邊(-a

圖7 均勻帶電圓板合場強的方向

(7)如圖8所示,二維等勢線就是圖2中的三維等勢線在Oxz平面上的投影。電勢較低的等勢線包圍圓板,電勢越低,等勢線越圓;電勢較高的等勢線穿過圓板,說明均勻帶電的圓板表面不是等勢面。除了軸線上之外,圓板表面的電場線與表面并不垂直,也說明圓板表面不是等勢面。電場線與等勢線垂直,在點(±a,0)附近,電場線比較密集,說明兩處的場強比較大。

圖8 均勻帶電圓板的等勢線和電場線

4 結(jié)束語

本文建立了圓板電荷的電勢和電場強度的積分公式,將公式無量綱化,用MATLAB的數(shù)值積分的方法計算數(shù)值,用簡單的指令繪制了電勢和電場強度的分布曲面和二維等勢線和電場線,說明了電場分布的規(guī)律。當積分公式?jīng)]有解析解時,數(shù)值積分是十分有用的方法。由繪制的圖形可知:均勻帶電圓板并不是等勢面(體),場強并不與表面垂直,因而不是導(dǎo)體。圓形帶電導(dǎo)體薄板的電勢和電場還需要深入研究。

附錄: