趙榮榮
(貴州省遵義市第一中學 貴州 遵義 563000)
2021年高考數(shù)學全國理科甲卷穩(wěn)中求新,適度“開放”,聚焦學科素養(yǎng),突出數(shù)學本質,注重關鍵能力,堅持開放創(chuàng)新??v觀2021年全國數(shù)學理科甲卷的諸多亮點與創(chuàng)新題型,最為“光鮮靚麗,奪人眼目”之一當數(shù)第十八題的“開放性”數(shù)列問題,該題型與地方卷及新高考對接,打破常規(guī)數(shù)列試題的考查方式,首次在舊版高考試題中考查“結構不良試題”,在適度開放創(chuàng)新方面表現(xiàn)非凡。該試題給考生充分的選擇空間,是一道非常有特色的題目,對于沒有接觸過這類考題的考生來說是一個不小的挑戰(zhàn),讓考生耳目一新的感覺,同時也暗含了高考對數(shù)學本質、數(shù)學概念、數(shù)學方法及核心素養(yǎng)的較高要求,克服“大量機械刷題”的刻板現(xiàn)象。
解析:若選擇條件①②,則證明③成立
∴d=2a1,∴a2=a1+d=3a1,∴證明③成立
若選擇條件①③,則證明②成立
若選擇條件②③,則證明①成立
當n≥2時,Sn-1=(n-1)2a1② ,由①②得:an=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1,當n=1時,a1=a1也符合該式。
∴an+1-an=(2n+1)a1-(2n-1)a1=2a1(為常數(shù))n∈N* ∴數(shù)列{an}是以a1為首項,以2a1為公差的等差數(shù)列,∴證明①成立。
2.1 根據(jù)試題考查內容及形式確定教學側重點。根據(jù)《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》對數(shù)列部分的基本要求,學生能了解數(shù)列概念及表示方法;理解等差、等比數(shù)列的概念,掌握前n項和與通項公式。高考數(shù)列試題的設置基于課標基本要求,以數(shù)列概念、求通項公式、求前n項和這些基礎知識與基本技能為考查熱點,即注重“雙基”的考查,起點相對不高。在考生達到基本要求之后,數(shù)列題目還關注知識的綜合運用及同其他模塊知識的融會貫通(例如同函數(shù)單調性、最值、周期性、不等式證明放縮法、數(shù)學歸納法、分析法等綜合考查)。與此同時,數(shù)列問題還滲透著多種數(shù)學思想,如方程思想、函數(shù)思想、轉化與化歸思想、歸納推理思想等,考查學生綜合能力素養(yǎng)。近些年,地方卷及新高考對開放創(chuàng)新思維的重視,“開放性”數(shù)列問題悄然而生,教學中在重點夯實數(shù)列相關概念等基礎知識的同時,關注數(shù)列與其他模塊知識之間的內在聯(lián)系,點滴滲透,逐步拔高與鞏固,通過對綜合知識的運用和積累,提升學生數(shù)學思維能力,使學生具備良好的數(shù)學核心素養(yǎng)。重視以基礎知識為依據(jù),從多方位、多角度尋求解題方案,在練習中改編舊題目,創(chuàng)設“開放性”新情景,培養(yǎng)創(chuàng)新思維、發(fā)展創(chuàng)新能力。
2.2 根據(jù)考題要求確定數(shù)列課程教學模式?;凇伴_放性”數(shù)列問題的出現(xiàn),如何有效挖掘學生的創(chuàng)造潛能,培養(yǎng)創(chuàng)新思維,發(fā)展創(chuàng)新能力,引導學生自主學習,提高學習效率,這一系列問題似乎成為應對和解決“開放性”問題探索和學習的關鍵。那么,課堂是學生學習的主要“載體”,建立有效的課堂教學模式,可以幫助我們切實解決這一系列困惑。
俗語說“心病”還需“心藥”醫(yī),那么,“創(chuàng)新問題”也必然需要“創(chuàng)新課堂”才能“對癥”解決。如今,翻轉課堂這種教學模式已經(jīng)顛覆了以往傳統(tǒng)課堂對知識傳授、知識內化的具體過程,學生變成知識的構建者,可以掌握學習的主動權。通過翻轉課堂教學,學生需直接面對新情境、新問題和新內容,老師結合學生實際情況和能力設計詳細導學案,引導學生自主探索、自主學習,多方位、多角度探究與思考。現(xiàn)以2021年全國數(shù)學理科甲卷18題為例,設計詳細導學案:
(1)課前任務與問題:
(各小組課前分組準備,構建結構性知識,注重知識要點,課堂匯報)
任務一:請同學們思考等差數(shù)列的定義?如何判定或證明一個數(shù)列是等差數(shù)列呢?(包括文字描述、符號描述和注意要點)
任務二:等差數(shù)列的“靈魂”通項公式an等于什么呢?等差數(shù)列前n項和Sn的公式有哪幾個?
任務三:有趣的“心連心”型,即已知Sn求an類型題目,我們之前是如何解決的呢?
請同學們對新問題談談自己的感受與想法,如何解讀新問題?有了新想法和新思路,請同學們動手實施自己的方案。任務五:設計一道變式,或查找資料,完成變式訓練。
(2)課堂展示與分組討論(合作交流)
活動一:展示與交流:(各小組展示題目及變式)
活動二:其他小組提問與質疑:(討論)
試圖從不同路徑解決問題,集思廣益,給學生“柳暗花明又一村”的感受。
活動三:對比與評估多種思維與方法,你覺得哪一種最適合你,談談你面對新問題的感受與解決新問題的“小經(jīng)驗”。
(3)收獲與分享(點滴感受,心得,思維導圖,小文章,設計變式題目)
整個設計流程,環(huán)環(huán)相扣,逐步引導學生從課前自主學習,到探究創(chuàng)新思考,課堂分組展示,再到課堂交流討論,思維的碰撞,靈光的閃現(xiàn),最后到收獲與分享,做好知識自主學習與積極探索,充分調動學生主觀能動性,切實有效開展課堂教學活動,達到教學目標。
2.3 根據(jù)“開放性”考題特點尋求考試對策。課堂教學的目的主要是為了幫助學生如何靈活應對紛繁復雜的考題。對于“開放性”數(shù)列新題型,同學們在系統(tǒng)學習與探索之后,需要總結出一套行之有效的考場策略。這類題目本身難度不大,但有一定的自主選擇性,學生們處于青春期,生活和經(jīng)驗閱歷尚且不足,面對諸多選擇性問題總是“優(yōu)柔寡斷,難以抉擇”。存在“選擇困難”問題,不僅浪費大量考試時間,還會降低答題的信心,影響考試分數(shù)。還有部分同學選擇了一種方案,進行不下去了,再回過頭來,選擇第二個方案重新開始解題,做了很多“無用功”,也大大浪費解題時間。面對的這樣的狀況,建議同學們在平時課堂訓練多練習、多思考的同時,積累解題經(jīng)驗,考試時憑借解題經(jīng)驗準確解讀條件和問題的深層含義,有效運用轉化與化歸思想。由深層含義找到解決問題最適合自己的切入點,由此“順藤摸瓜”一步步得出問題的結論。試題另一個難點就是題目為字母化運算,相比數(shù)字化運算更為抽象,同時還要注意證明結果要替換掉中間變量,回歸為題目已知量來進行表示。