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        2021年高考數(shù)學(xué)“開放性”數(shù)列問題探析及教學(xué)啟示
        ——以2021年全國數(shù)學(xué)理科甲卷第十八題為例

        2022-01-04 13:48:46趙榮榮
        讀與寫 2021年35期
        關(guān)鍵詞:變式開放性試題

        趙榮榮

        (貴州省遵義市第一中學(xué) 貴州 遵義 563000)

        2021年高考數(shù)學(xué)全國理科甲卷穩(wěn)中求新,適度“開放”,聚焦學(xué)科素養(yǎng),突出數(shù)學(xué)本質(zhì),注重關(guān)鍵能力,堅持開放創(chuàng)新??v觀2021年全國數(shù)學(xué)理科甲卷的諸多亮點與創(chuàng)新題型,最為“光鮮靚麗,奪人眼目”之一當(dāng)數(shù)第十八題的“開放性”數(shù)列問題,該題型與地方卷及新高考對接,打破常規(guī)數(shù)列試題的考查方式,首次在舊版高考試題中考查“結(jié)構(gòu)不良試題”,在適度開放創(chuàng)新方面表現(xiàn)非凡。該試題給考生充分的選擇空間,是一道非常有特色的題目,對于沒有接觸過這類考題的考生來說是一個不小的挑戰(zhàn),讓考生耳目一新的感覺,同時也暗含了高考對數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法及核心素養(yǎng)的較高要求,克服“大量機(jī)械刷題”的刻板現(xiàn)象。

        1.真題呈現(xiàn)

        解析:若選擇條件①②,則證明③成立

        ∴d=2a1,∴a2=a1+d=3a1,∴證明③成立

        若選擇條件①③,則證明②成立

        若選擇條件②③,則證明①成立

        當(dāng)n≥2時,Sn-1=(n-1)2a1② ,由①②得:an=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1,當(dāng)n=1時,a1=a1也符合該式。

        ∴an+1-an=(2n+1)a1-(2n-1)a1=2a1(為常數(shù))n∈N* ∴數(shù)列{an}是以a1為首項,以2a1為公差的等差數(shù)列,∴證明①成立。

        2.“開放性”數(shù)列問題這一新題型對教學(xué)啟示

        2.1 根據(jù)試題考查內(nèi)容及形式確定教學(xué)側(cè)重點。根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》對數(shù)列部分的基本要求,學(xué)生能了解數(shù)列概念及表示方法;理解等差、等比數(shù)列的概念,掌握前n項和與通項公式。高考數(shù)列試題的設(shè)置基于課標(biāo)基本要求,以數(shù)列概念、求通項公式、求前n項和這些基礎(chǔ)知識與基本技能為考查熱點,即注重“雙基”的考查,起點相對不高。在考生達(dá)到基本要求之后,數(shù)列題目還關(guān)注知識的綜合運用及同其他模塊知識的融會貫通(例如同函數(shù)單調(diào)性、最值、周期性、不等式證明放縮法、數(shù)學(xué)歸納法、分析法等綜合考查)。與此同時,數(shù)列問題還滲透著多種數(shù)學(xué)思想,如方程思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、歸納推理思想等,考查學(xué)生綜合能力素養(yǎng)。近些年,地方卷及新高考對開放創(chuàng)新思維的重視,“開放性”數(shù)列問題悄然而生,教學(xué)中在重點夯實數(shù)列相關(guān)概念等基礎(chǔ)知識的同時,關(guān)注數(shù)列與其他模塊知識之間的內(nèi)在聯(lián)系,點滴滲透,逐步拔高與鞏固,通過對綜合知識的運用和積累,提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力,使學(xué)生具備良好的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。重視以基礎(chǔ)知識為依據(jù),從多方位、多角度尋求解題方案,在練習(xí)中改編舊題目,創(chuàng)設(shè)“開放性”新情景,培養(yǎng)創(chuàng)新思維、發(fā)展創(chuàng)新能力。

        2.2 根據(jù)考題要求確定數(shù)列課程教學(xué)模式?;凇伴_放性”數(shù)列問題的出現(xiàn),如何有效挖掘?qū)W生的創(chuàng)造潛能,培養(yǎng)創(chuàng)新思維,發(fā)展創(chuàng)新能力,引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí),提高學(xué)習(xí)效率,這一系列問題似乎成為應(yīng)對和解決“開放性”問題探索和學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。那么,課堂是學(xué)生學(xué)習(xí)的主要“載體”,建立有效的課堂教學(xué)模式,可以幫助我們切實解決這一系列困惑。

        俗語說“心病”還需“心藥”醫(yī),那么,“創(chuàng)新問題”也必然需要“創(chuàng)新課堂”才能“對癥”解決。如今,翻轉(zhuǎn)課堂這種教學(xué)模式已經(jīng)顛覆了以往傳統(tǒng)課堂對知識傳授、知識內(nèi)化的具體過程,學(xué)生變成知識的構(gòu)建者,可以掌握學(xué)習(xí)的主動權(quán)。通過翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué),學(xué)生需直接面對新情境、新問題和新內(nèi)容,老師結(jié)合學(xué)生實際情況和能力設(shè)計詳細(xì)導(dǎo)學(xué)案,引導(dǎo)學(xué)生自主探索、自主學(xué)習(xí),多方位、多角度探究與思考?,F(xiàn)以2021年全國數(shù)學(xué)理科甲卷18題為例,設(shè)計詳細(xì)導(dǎo)學(xué)案:

        (1)課前任務(wù)與問題:

        (各小組課前分組準(zhǔn)備,構(gòu)建結(jié)構(gòu)性知識,注重知識要點,課堂匯報)

        任務(wù)一:請同學(xué)們思考等差數(shù)列的定義?如何判定或證明一個數(shù)列是等差數(shù)列呢?(包括文字描述、符號描述和注意要點)

        任務(wù)二:等差數(shù)列的“靈魂”通項公式an等于什么呢?等差數(shù)列前n項和Sn的公式有哪幾個?

        任務(wù)三:有趣的“心連心”型,即已知Sn求an類型題目,我們之前是如何解決的呢?

        請同學(xué)們對新問題談?wù)勛约旱母惺芘c想法,如何解讀新問題?有了新想法和新思路,請同學(xué)們動手實施自己的方案。任務(wù)五:設(shè)計一道變式,或查找資料,完成變式訓(xùn)練。

        (2)課堂展示與分組討論(合作交流)

        活動一:展示與交流:(各小組展示題目及變式)

        活動二:其他小組提問與質(zhì)疑:(討論)

        試圖從不同路徑解決問題,集思廣益,給學(xué)生“柳暗花明又一村”的感受。

        活動三:對比與評估多種思維與方法,你覺得哪一種最適合你,談?wù)勀忝鎸π聠栴}的感受與解決新問題的“小經(jīng)驗”。

        (3)收獲與分享(點滴感受,心得,思維導(dǎo)圖,小文章,設(shè)計變式題目)

        整個設(shè)計流程,環(huán)環(huán)相扣,逐步引導(dǎo)學(xué)生從課前自主學(xué)習(xí),到探究創(chuàng)新思考,課堂分組展示,再到課堂交流討論,思維的碰撞,靈光的閃現(xiàn),最后到收獲與分享,做好知識自主學(xué)習(xí)與積極探索,充分調(diào)動學(xué)生主觀能動性,切實有效開展課堂教學(xué)活動,達(dá)到教學(xué)目標(biāo)。

        2.3 根據(jù)“開放性”考題特點尋求考試對策。課堂教學(xué)的目的主要是為了幫助學(xué)生如何靈活應(yīng)對紛繁復(fù)雜的考題。對于“開放性”數(shù)列新題型,同學(xué)們在系統(tǒng)學(xué)習(xí)與探索之后,需要總結(jié)出一套行之有效的考場策略。這類題目本身難度不大,但有一定的自主選擇性,學(xué)生們處于青春期,生活和經(jīng)驗閱歷尚且不足,面對諸多選擇性問題總是“優(yōu)柔寡斷,難以抉擇”。存在“選擇困難”問題,不僅浪費大量考試時間,還會降低答題的信心,影響考試分?jǐn)?shù)。還有部分同學(xué)選擇了一種方案,進(jìn)行不下去了,再回過頭來,選擇第二個方案重新開始解題,做了很多“無用功”,也大大浪費解題時間。面對的這樣的狀況,建議同學(xué)們在平時課堂訓(xùn)練多練習(xí)、多思考的同時,積累解題經(jīng)驗,考試時憑借解題經(jīng)驗準(zhǔn)確解讀條件和問題的深層含義,有效運用轉(zhuǎn)化與化歸思想。由深層含義找到解決問題最適合自己的切入點,由此“順藤摸瓜”一步步得出問題的結(jié)論。試題另一個難點就是題目為字母化運算,相比數(shù)字化運算更為抽象,同時還要注意證明結(jié)果要替換掉中間變量,回歸為題目已知量來進(jìn)行表示。

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