邢婷婷,關(guān) 陽(yáng),孫登云,孟 宗,樊鳳杰

(1. 燕山大學(xué)河北省測(cè)試計(jì)量技術(shù)及儀器重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 河北 秦皇島 066004;2. 唐山工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 河北 唐山 063000)

1 引 言

滾動(dòng)軸承作為機(jī)械廣泛應(yīng)用的支撐部件,對(duì)其進(jìn)行狀態(tài)監(jiān)測(cè)與故障診斷具有重要意義[1,2]。軸承多故障耦合的復(fù)雜性,加大了診斷的難度。盲源分離利用其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)成為新的故障診斷技術(shù)[3～5]。文獻(xiàn)[6]提出擴(kuò)展確定性隨機(jī)分離方法,實(shí)現(xiàn)變轉(zhuǎn)速下滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)的盲源分離;文獻(xiàn)[7]基于Gabor變換和盲源分離相結(jié)合的診斷方法,突破了源信號(hào)相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立且最多只能有一個(gè)高斯信號(hào)的限制。在實(shí)際工況下,源信號(hào)數(shù)未知會(huì)存在觀測(cè)信號(hào)數(shù)少于源信號(hào)數(shù)的欠定問(wèn)題,而稀疏成分分析[8]是解決欠定盲問(wèn)題的有效方法,因此被廣泛應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域[9～11]。稀疏成分分析采用“兩步法”,估計(jì)混合矩陣和估計(jì)源信號(hào)。估計(jì)混合矩陣作為第1步,其精度直接影響分離效果。根據(jù)聚類中心估計(jì)混合矩陣,給混合矩陣的求解提供了全新的思路,但是K均值聚類[12]與模糊C均值聚類[13]都存在依賴設(shè)置聚類中心初值的問(wèn)題。

本文采用最大類間方差法[14,15],對(duì)于散點(diǎn)圖中的混合信號(hào)進(jìn)行閾值分割,降低信號(hào)的復(fù)雜度；再應(yīng)用密度峰值聚類(clustering by fast search and find of density peaks,FSDPC)方法求解混合矩陣；然后通過(guò)L1范數(shù)最小化對(duì)混合信號(hào)進(jìn)行分離,最后對(duì)得到的分離信號(hào)進(jìn)行包絡(luò)譜分析,提取故障特征,診斷故障類型。本文所提的聚類方法,既不需設(shè)置聚類中心的初值,又提高了對(duì)散點(diǎn)聚類的準(zhǔn)確率和穩(wěn)定性。

2 稀疏成分分析

盲源分離的數(shù)學(xué)模型可以表示為:

Y=AS

(1)

式中:Y∈RM×N為傳感器獲取長(zhǎng)度為T(mén)的M個(gè)觀測(cè)信號(hào);A∈RM×N為混合矩陣;S∈RN×T為N個(gè)未知源信號(hào)。當(dāng)M

(2)

那么

(3)

令a(i+1)j/aij=ki,那么

yi+1(t)=kiyi(t)

(4)

式(4)可以視為一條經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線的表達(dá)式,這一過(guò)程為方向統(tǒng)一化。因此,只要源信號(hào)足夠稀疏,觀測(cè)信號(hào)的散點(diǎn)圖將會(huì)聚成直線,可通過(guò)聚類方法估計(jì)混合矩陣A。在已知混合矩陣的基礎(chǔ)上,使用L1范數(shù)最小化將求解式(1)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化的問(wèn)題,從而得到源信號(hào)的估計(jì)。

3 FSFDPC_Otsu聚類算法

3.1 FSDPC聚類算法

設(shè)數(shù)據(jù)集P={pi},i={1,2,3,…,N},dij為點(diǎn)i與點(diǎn)j之間的歸一化距離,ρi為數(shù)據(jù)點(diǎn)i采用高斯核計(jì)算的局部密度,以dij為基礎(chǔ),計(jì)算ρi和從點(diǎn)i到具有更高局部密度點(diǎn)的最小距離δi。

(5)

(6)

式中:dc為截?cái)嗑嚯x,其選取遵循如下規(guī)則:設(shè)dij的個(gè)數(shù)為a,將dij按升序排列,令dc等于排列在0.02a位置的dij。

如果點(diǎn)i具有最高局部密度,則:

(7)

根據(jù)式(5)～式(7),對(duì)數(shù)據(jù)集P中的每一個(gè)點(diǎn)i,計(jì)算得到它的(ρi,δi),并顯示在平面圖中,稱之為決策圖。根據(jù)決策圖,選取同時(shí)具有較大ρi和δi值的點(diǎn)作為聚類中心。如果一點(diǎn)的δi較大,ρi較低,可以認(rèn)為該點(diǎn)為孤立點(diǎn),根據(jù)實(shí)際情況對(duì)該點(diǎn)進(jìn)行去除,避免異常值對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響。

3.2 FSDPC_Otsu聚類算法

由于混合信號(hào)復(fù)雜且散點(diǎn)圖中各點(diǎn)的密度值的相似程度高,導(dǎo)致用FSDPC方法無(wú)法準(zhǔn)確對(duì)信號(hào)進(jìn)行聚類,從而影響混合矩陣的估計(jì)。針對(duì)這一問(wèn)題,應(yīng)用最大類間方差法[14]進(jìn)行改進(jìn),在聚類前先對(duì)信號(hào)進(jìn)行一次閾值分割,降低信號(hào)復(fù)雜度,提高算法的準(zhǔn)確率和穩(wěn)定性。

本文中最大類間方差法以決策圖中每個(gè)點(diǎn)的密度值作為判斷依據(jù)。對(duì)于待處理的數(shù)據(jù)集D,記背景點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)的分割閾值為T(mén),目標(biāo)點(diǎn)的點(diǎn)數(shù)占數(shù)據(jù)集D的比例為ω0,其平均密度值為μ0;背景點(diǎn)的點(diǎn)數(shù)占數(shù)據(jù)集D的比例為ω1,其平均密度值為μ1;數(shù)據(jù)集的總平均密度為μ,類間方差為g。

假設(shè)待處理數(shù)據(jù)集D的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為M,圖像中小于閾值T的像素個(gè)數(shù)為N0,大于閾值T的像素個(gè)數(shù)為N1,可得:

ω0=N0/M

(8)

ω1=N1/M

(9)

N0+N1=M

(10)

ω0+ω1=1

(11)

μ=ω0μ0+ω1μ1

(12)

g=ω0(μ0-μ)2+ω1(μ1-μ)2

(13)

結(jié)合式(12)和式(13),得到類間方差的等價(jià)公式:

g=ω0ω1(μ0-μ1)2

(14)

經(jīng)過(guò)迭代,得到最佳閾值T,使得類間方差最大。經(jīng)過(guò)改進(jìn)后的FSDPC方法,能夠?qū)?shù)據(jù)集內(nèi)的點(diǎn)根據(jù)密度進(jìn)行分割。對(duì)分割后的數(shù)據(jù)再進(jìn)行聚類,聚類的準(zhǔn)確率[16]將得到提高。

4 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

4.1 對(duì)比試驗(yàn)

為了驗(yàn)證FSDPC_Otsu聚類的優(yōu)越性,分別用2種方法對(duì)同一組信號(hào)進(jìn)行聚類。對(duì)比FSDPC和FSDPC_Otsu算法的聚類效果,如圖1所示。X1與X2各表示1路隨機(jī)信號(hào),由MATLAB生成的3路隨機(jī)稀疏信號(hào)混合而成,采樣頻率為1 024 Hz,采樣長(zhǎng)度為1 000。排列緊密的點(diǎn)近似排列成3條過(guò)原點(diǎn)的直線,并盡可能多的將直線上的點(diǎn)聚為一類。圖1(a)和圖1(b)對(duì)比可知,FSDPC_Otsu算法能夠?qū)⒏嗟狞c(diǎn)進(jìn)行聚類。

圖1 FSDPC與FSDPC_Otsu聚類比較圖Fig.1 Comparison of FSDPC and FSDPC_Otsu clustering

為了更直觀、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)貙?duì)比2種聚類算法,引入聚類準(zhǔn)確率,定量地對(duì)2種算法的聚類效果進(jìn)行對(duì)比。聚類準(zhǔn)確率用r表示,定義如下:

(15)

式中:ai為最終被正確分類的樣本數(shù)目;k為聚類數(shù);n為數(shù)據(jù)集中的樣本個(gè)數(shù)。聚類準(zhǔn)確率的高低代表了聚類效果的好壞;當(dāng)r=1時(shí),表示聚類結(jié)果是完全正確的。

對(duì)50組隨機(jī)數(shù)據(jù)的聚類實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析發(fā)現(xiàn),FSDPC_Otsu的聚類準(zhǔn)確率穩(wěn)定在87%左右,數(shù)據(jù)是50組實(shí)驗(yàn)的平均值;而FSDPC的聚類準(zhǔn)確率僅在43%到69%之間,數(shù)據(jù)是取50組實(shí)驗(yàn)中準(zhǔn)確率較為穩(wěn)定的47組的平均值。FSDPC_Otsu的聚類準(zhǔn)確率更高,更穩(wěn)定。

稀疏成分分析中的聚類方法有K-means聚類和FuzzyC-means聚類法,都存在依賴設(shè)置聚類中心初值的問(wèn)題。FSDPC_Otsu聚類法最大的優(yōu)勢(shì)是能夠不受聚類中心初值設(shè)置的影響,其在混合矩陣估計(jì)精度方面也優(yōu)于其它2種方法。采用泛化交擾誤差(generalized crosstalking error,GCE)作為混合矩陣估計(jì)精度的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則,定義如式(16)所示：

(16)

式中:A為已知混合矩陣;A′為估計(jì)出的混合矩陣,A′B為估計(jì)出的混合矩陣與一個(gè)尺度矩陣和置換矩陣的乘積,∏為N×N維可逆矩陣組成的集合,這些矩陣每一列只有一個(gè)非零值“1”。GCE越小,表明A和A′越接近,估計(jì)的精度越高。

采用3路隨機(jī)稀疏信號(hào)作為源信號(hào),根據(jù)已知混合矩陣對(duì)源信號(hào)混合得到混合信號(hào)。分別通過(guò)FSDPC_Otsu、K-means和FuzzyC-means聚類算法估計(jì)混合矩陣,求出泛化交擾誤差,進(jìn)而評(píng)價(jià)混合矩陣估計(jì)精度,結(jié)果如表1所示。

表1 GCE結(jié)果比較Tab.1 Comparison of GCE results

由表1可知,FSDPC_Otsu方法估計(jì)混合矩陣的精度較好,且因其本身能夠不受聚類中心初值設(shè)置的影響,算法優(yōu)勢(shì)凸顯。

4.2 仿真試驗(yàn)

為了驗(yàn)證FSDPC_Otsu方法的可行性,采用仿真信號(hào)進(jìn)行試驗(yàn),混合矩陣估計(jì)的步驟如下。

方向統(tǒng)一化:根據(jù)稀疏成分理論,對(duì)混合信號(hào)進(jìn)行方向統(tǒng)一化。

FSDPC_Otsu聚類:對(duì)方向統(tǒng)一化之后的混合信號(hào)進(jìn)行聚類。

試驗(yàn)在混合矩陣已知的情況下對(duì)FSDPC_Otsu方法進(jìn)行驗(yàn)證。構(gòu)建以下信號(hào)進(jìn)行仿真:

s1=(cos(20 π t)+1)sin(100 π t)

s2=sin(200 π t)

s3=(cos(20 π t)+1)sin(300 π t)

s4=sin(400 π t)

s5=[s(1:256)s(1:256)s(1:256)s(1:256)]

s=sin(800 π t)×exp(-50t)

采樣頻率為1 024 Hz,采樣長(zhǎng)度為1 024。為了更好地展示信號(hào)的特性,圖2中的信號(hào)取0～500 s的點(diǎn)。源信號(hào)如圖2(a)所示,s1和s3模擬2路不同頻率的基波諧波信號(hào),s2和s4模擬2路不同頻率的基座振動(dòng)信號(hào),為使混合信號(hào)能夠符合信號(hào)的單邊振蕩特性,在仿真信號(hào)中加入s5。按照已知混合矩陣的混合特性得到兩路混合信號(hào),混合信號(hào)如圖2(b)所示,呈現(xiàn)出明顯的單邊振蕩特征,符合機(jī)械振動(dòng)信號(hào)的特征。圖2(c)是分離信號(hào),與源信號(hào)的相似程度較高。

圖2 仿真信號(hào)試驗(yàn)結(jié)果圖Fig.2 Simulation signals experiment result diagram

表2 仿真試驗(yàn)相關(guān)系數(shù)Tab.2 Correlation coefficient of simulation experiment

4.3 軸承信號(hào)試驗(yàn)

為了驗(yàn)證FSDPC_Otsu方法處理軸承故障信號(hào)的有效性,選用實(shí)際軸承信號(hào)進(jìn)行試驗(yàn)。信號(hào)來(lái)源于美國(guó)西儲(chǔ)大學(xué)旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障模擬實(shí)驗(yàn)臺(tái),軸承型號(hào)為6205-2RS SKF。實(shí)驗(yàn)與采集裝置如圖3所示,包括一個(gè)2馬力電機(jī)(左側(cè)),1個(gè)轉(zhuǎn)矩傳感器(中間),1個(gè)功率計(jì)(右側(cè))和電子控制設(shè)備。使用電火花加工技術(shù)在軸承上布置單點(diǎn)故障。試驗(yàn)中,電機(jī)轉(zhuǎn)速為1 797 r/min,采樣頻率為12 kHz。在軸承上布置的故障直徑為0.177 8 mm。

圖3 實(shí)驗(yàn)與采集裝置Fig.3 Experiment and acquisition device

選取的信號(hào)是驅(qū)動(dòng)端傳感器采集的內(nèi)、外圈故障信號(hào)和風(fēng)扇端軸承內(nèi)圈故障信號(hào)。根據(jù)故障機(jī)理,計(jì)算得到風(fēng)扇端軸承內(nèi)圈故障特征頻率為f1=148.2 Hz,驅(qū)動(dòng)端軸承內(nèi)圈的故障特征頻率為f2=162.2 Hz,驅(qū)動(dòng)端軸承外圈故障特征頻率f3=107.4 Hz。3路故障信號(hào),每路10 000個(gè)點(diǎn)組成3路源信號(hào)如圖4(a)所示,根據(jù)已知混合矩陣得到的混合信號(hào)如圖4(b)所示。根據(jù)混合信號(hào)估計(jì)混合矩陣,分離出源信號(hào)如圖4(c)所示。

圖4 故障信號(hào)試驗(yàn)結(jié)果圖Fig.4 Fault signals experiment result diagram

表3可知分離信號(hào)與源信號(hào)之間的相關(guān)度較高,且保留了故障源信號(hào)中的故障特征頻率。為證明故障特征頻率未丟失,對(duì)分離信號(hào)進(jìn)行包絡(luò)譜分析,如圖5所示。圖5中,第1、2、3路信號(hào)出現(xiàn)的峰值分別是147.9 Hz、161.9 Hz和107.7 Hz,接近理論上風(fēng)扇端軸承內(nèi)圈故障特征頻率148.2 Hz、驅(qū)動(dòng)端軸承內(nèi)圈故障特征頻率162.2 Hz和外圈故障特征頻率107.4 Hz。因此,分離信號(hào)保留了源信號(hào)的頻率特征,能夠通過(guò)分離信號(hào)進(jìn)行故障識(shí)別與診斷。

表3 故障信號(hào)試驗(yàn)相關(guān)系數(shù)Tab.3 Correlation coefficient of fault signal experiment

圖5 分離信號(hào)包絡(luò)譜圖Fig.5 Separation signals envelope spectrum

5 結(jié) 論

本文的FSDPC_Otsu估計(jì)混合矩陣方法,先用最大類間方差法對(duì)信號(hào)進(jìn)行一次閾值分割,降低信號(hào)復(fù)雜度,減小噪聲點(diǎn)和孤立點(diǎn)對(duì)聚類的影響;再估計(jì)混合矩陣。該方法既保留了FSDPC方法不需要設(shè)置聚類中心初值的優(yōu)點(diǎn),又能夠提高對(duì)振動(dòng)信號(hào)散點(diǎn)圖聚類的準(zhǔn)確率和穩(wěn)定性,從而保證準(zhǔn)確估計(jì)混合矩陣。通過(guò)仿真信號(hào)和軸承故障信號(hào)驗(yàn)證了方法的可行性,證明了方法能夠估計(jì)出混合矩陣,并實(shí)現(xiàn)對(duì)混合信號(hào)的分離。結(jié)果表明分離信號(hào)與源信號(hào)的相關(guān)度較高并保留了信號(hào)的特征頻率,通過(guò)對(duì)分離信號(hào)進(jìn)行故障包絡(luò)譜分析,能夠識(shí)別故障頻率從而實(shí)現(xiàn)故障診斷。