陳爐云 王 健，崔益烽，孔 慧

(1.上海交通大學(xué) 海洋工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200240；2.上海交通大學(xué) 海洋智能裝備與系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240;3.陸軍裝備部駐南京地區(qū)軍事代表局駐上海地區(qū)第二軍事代表室，上海 200082)

隨著科技發(fā)展，聲學(xué)超材料在結(jié)構(gòu)的減振降噪方面得到廣泛應(yīng)用[1-2].與傳統(tǒng)材料相比，通過(guò)微結(jié)構(gòu)功能胞元設(shè)計(jì)，聲學(xué)超材料具有負(fù)等效質(zhì)量密度、負(fù)等效體積模量和負(fù)剪切模量等特性[3-4].聲子晶體中周期性排列的宏觀介質(zhì)材料會(huì)對(duì)聲波產(chǎn)生散射，令其形成具有周期性的能帶結(jié)構(gòu)[5-6].各能帶之間的縫隙稱為聲子帶隙，影響帶隙參數(shù)的因素包括結(jié)構(gòu)參數(shù)、材料參數(shù)、多相材料和界面參數(shù)等.改變聲子晶體的設(shè)計(jì)參數(shù)可以實(shí)現(xiàn)對(duì)帶隙結(jié)構(gòu)的調(diào)整和操控，提高聲子晶體減振降噪的效果[7-10].在某些聲子晶體的簡(jiǎn)約布里淵區(qū)邊界上，存在兩條或多條能帶線性地相交于一點(diǎn)的頻散現(xiàn)象，此交點(diǎn)稱為狄拉克點(diǎn)[11-12].在狄拉克點(diǎn)處將出現(xiàn)贗擴(kuò)散傳輸、邊緣態(tài)、震顫和聲拓?fù)浣^緣體等物理現(xiàn)象[13-14].

聲子晶體的胞元形式多樣，其中手性韌帶型聲子晶體結(jié)構(gòu)具有典型的負(fù)泊松比特性，因此其能帶結(jié)構(gòu)具有一定的特殊性[15-16].目前，韌帶型蜂窩結(jié)構(gòu)的研究成果多集中在因其負(fù)泊松比而導(dǎo)致的抗沖擊、減振等特性中[17-20].同時(shí)，因手性特性，手性韌帶型聲子晶體不具有C6晶體完美的對(duì)稱性，這對(duì)聲子晶體的聲傳輸、聲拓?fù)涞葐?wèn)題有重要影響[21-22].而針對(duì)手性韌帶型聲子晶體聲拓?fù)鋯?wèn)題的研究較少，對(duì)于聲子晶體頻散中出現(xiàn)的狄拉克錐問(wèn)題的研究還處于探索階段[23-26].因此，開(kāi)展手性六韌帶型聲子晶體的帶隙特性、拓?fù)浣^緣體特性的研究可以為聲隱形、完美透鏡和單向傳輸?shù)任锢憩F(xiàn)象提供技術(shù)支撐.

本文提出一種基于二維手性六韌帶蜂窩晶格型聲子晶體，通過(guò)分析其能帶結(jié)構(gòu)和狄拉克頻散特性，獲得聲子晶體的四重偶然簡(jiǎn)并狄拉克點(diǎn).通過(guò)調(diào)整聲子晶體散射體結(jié)構(gòu)參數(shù)，打破四重偶然簡(jiǎn)并并獲得新的方向帶隙，并對(duì)能帶反轉(zhuǎn)特性進(jìn)行分析.研究成果可以為新型聲學(xué)超構(gòu)材料的設(shè)計(jì)和工程應(yīng)用提供技術(shù)支持.

1 二維聲子晶體基本理論

1.1 Bloch 定理

聲子晶體是由相同晶胞單元在空間內(nèi)無(wú)限周期性延拓而成，其周期結(jié)構(gòu)的最小周期尺度為晶格常數(shù).聲子晶體的結(jié)構(gòu)周期性由組成聲子晶體的介質(zhì)材料的彈性常數(shù)及其密度的周期性體現(xiàn)，即

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聲子晶體結(jié)構(gòu)的空間周期性和平移對(duì)稱性，使其本征場(chǎng)和本征頻率也具有對(duì)稱性.彈性波在聲子晶體中的傳播符合Bloch定理，其位移場(chǎng)滿足如下周期形式：

u(r)=eikruk(r)

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式中：u(r)為與聲子晶體具有相同周期性的矢量函數(shù)；eikr為相位因子；k為波矢，其僅在第一布里淵區(qū)內(nèi)取值，表示當(dāng)平移r時(shí)波函數(shù)只增加一個(gè)eikr.

1.2 聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)

利用波矢掃掠聲子晶體不可約布里淵區(qū)可以得到能帶結(jié)構(gòu).以波矢為橫坐標(biāo)，以本征值或與其相應(yīng)的量(如頻率)為縱坐標(biāo)作圖，可以得到聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)或頻散關(guān)系.在某些頻率范圍內(nèi)，聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)中不存在任何本征模式且不支持任何形式的彈性波的傳播.聲子晶體帶隙的實(shí)質(zhì)是彈性波能量隨傳播距離的增加而迅速呈指數(shù)衰減.帶隙寬度、對(duì)彈性波傳播的衰減能力等是評(píng)估聲子晶體材料物理特性的重要指標(biāo).

在聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)中，在確定頻率范圍內(nèi)包括q條能帶和j條帶隙.設(shè)在第n條能帶和第n+1條能帶之間存在帶隙，且該帶隙對(duì)應(yīng)的下邊界能帶的最大頻率值和上邊界能帶的最小頻率值分別為max(ωn(k))和min(ωn+1(k))，并滿足min(ωn+1(k))>max(ωn(k)).該帶隙寬度和中心頻率分別為

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通過(guò)調(diào)整聲子晶體的設(shè)計(jì)參數(shù)和材料組分，可以增大或減小Δωn.

2 六韌帶手性蜂窩材料

六韌帶手性蜂窩材料的胞元為正六邊形晶格結(jié)構(gòu)，單個(gè)胞元包括圓柱節(jié)點(diǎn)環(huán)以及與其相切連接的6條韌帶，每條韌帶又循環(huán)連接另一個(gè)節(jié)點(diǎn)環(huán)并與之相切.圓柱節(jié)點(diǎn)環(huán)的內(nèi)部可以填充與韌帶不同的組分材料，其具有明顯的負(fù)泊松比特性.

圖1 六韌帶手性聲子晶體及其布里淵區(qū)Fig.1 Diagrams of hexachiral phononic crystal and irreducible Brillouin area

用晶格矢ei定義聲子晶體結(jié)構(gòu)的空間周期性.二維聲子晶體的位置可以根據(jù)晶格矢的線性組合n1e1+n2e2確定，則

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3 數(shù)值計(jì)算

3.1 模型概述

以二維三組元六韌帶手性聲子晶體為例，進(jìn)行固-液型聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)的數(shù)值計(jì)算.在COMSOL Multiphysics 5.4有限元軟件平臺(tái)上，依次通過(guò)確定晶格常數(shù)，實(shí)施幾何建模，進(jìn)行有限元?jiǎng)澐郑x擇聲學(xué)材料，定義周期性邊界條件和選取物理場(chǎng)后，對(duì)特征頻率進(jìn)行路徑掃描，可以獲得聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu).

聲子晶體由圓柱體、韌帶散射體和基體組成，且a=8 mm.聲子晶體韌帶和鋼柱體的外包覆物材料均為環(huán)氧樹(shù)脂，圓柱體材料為鋼，基體材料為水.圖2為二維六韌帶手性聲子晶體胞元的外形及其網(wǎng)格模型.各材料力學(xué)參數(shù)包括:水密度為 1 000 kg/m3,聲速為1 480 m/s；環(huán)氧樹(shù)脂密度為 1 300 kg/m3,聲速為 2 830 m/s；鋼密度為 7 850 kg/m3,聲速為 5 760 m/s.

圖2 二維聲子晶體模型和網(wǎng)格分布Fig.2 Finite element model and grid distribution of 2D phononic crystal

3.2 聲子晶體帶隙結(jié)構(gòu)計(jì)算

確定聲子晶體結(jié)構(gòu)參數(shù)后，在布里淵區(qū)對(duì)聲子晶體特征頻率進(jìn)行參數(shù)化掃描可以計(jì)算聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)，掃描路徑為K→Γ→M→K.在數(shù)值計(jì)算中，對(duì)前8條能帶進(jìn)行分析.

調(diào)整聲子晶體散射體結(jié)構(gòu)參數(shù)r0、tc和tl，可以得到具有四重偶然簡(jiǎn)并態(tài)的雙狄拉克錐，并將其作為初模型.初模型聲子晶體參數(shù)：r0=1.31 mm，tc=0.35 mm，tl=0.45 mm.

圖3(a)為具有四重偶然簡(jiǎn)并雙狄拉克錐手性蜂窩晶格聲子晶體的頻散關(guān)系.聲子晶體的第3條至第6條能帶在頻率f=218 795.6 Hz 處出現(xiàn)閉合，形成四重偶然簡(jiǎn)并狄拉克點(diǎn)(點(diǎn)D)，在布里淵區(qū)中心表現(xiàn)出雙狄拉克錐特征.圖3(b)為狄拉克點(diǎn)附近能帶結(jié)構(gòu)放大圖.在四重簡(jiǎn)并點(diǎn)附近，頻散關(guān)系呈線性，4條能帶近似合并為2條線性能帶.

圖3 初模型聲子晶體帶隙曲線圖Fig.3 Band gap diagrams of phononic crystal for initial model

在第1條和第2條能帶之間以及第6條和第7條能帶之間分別存在1條完全帶隙，帶隙頻率參數(shù)如表1所示.

表1 聲子晶體帶隙頻率Tab.1 Frequency of phononic crystal of band gaps Hz

3.3 四重偶然簡(jiǎn)并態(tài)的打開(kāi)

針對(duì)圖3所示的雙狄拉克錐問(wèn)題，將tl定義為設(shè)計(jì)變量，分析韌帶厚度參數(shù)對(duì)能帶結(jié)構(gòu)帶隙變化的影響.以初模型的設(shè)計(jì)參數(shù)為基礎(chǔ)，固定聲子晶體晶格常數(shù)不變，增大或減小韌帶厚度.數(shù)值計(jì)算表明，通過(guò)調(diào)整胞元韌帶厚度可以打開(kāi)雙狄拉克錐.

設(shè)模型A和B的韌帶厚度分別為tlA=0.4 mm和tlB=0.5 mm.分別計(jì)算模型A和B兩種聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)，如圖4所示.其中，EAL、EAU和EBL、EBU分別為模型A和B的二重簡(jiǎn)并點(diǎn).

圖4 模型A和B聲子晶體帶隙曲線圖Fig.4 Band gap diagrams of phononic crystal for models A and B

由圖4可知，增大或減小韌帶厚度，能帶結(jié)構(gòu)中的四重簡(jiǎn)并態(tài)消失.同時(shí)，隨著四重簡(jiǎn)并態(tài)的打開(kāi)，第1條和第2條帶隙的帶隙寬度以及帶隙中心頻率均發(fā)生變化(見(jiàn)表1).在布里淵區(qū)中心，四重簡(jiǎn)并態(tài)的雙狄拉克錐打開(kāi)為2條二重簡(jiǎn)并能態(tài)，并形成1條方向帶隙.

在模型A和B中，打開(kāi)的方向帶隙寬度(fv)分別為 1 557.0 Hz 和 1 636.8 Hz.取tl∈[0.35 mm,0.55 mm]，步長(zhǎng) Δtl=0.01 mm.對(duì)比韌帶厚度與方向帶隙寬度的關(guān)系，如圖5所示.

圖5 韌帶厚度與方向帶隙寬度關(guān)系圖Fig.5 t1 versus fv

由圖5可知，在tl=0.45 mm處，由于出現(xiàn)雙狄拉克錐，所以fv=0；隨著韌帶厚度的增大或減小，fv近似呈線性變化，且韌帶厚度的增大對(duì)fv的變化更為敏感.

4 能帶反轉(zhuǎn)

聲子晶體設(shè)計(jì)參數(shù)的調(diào)整會(huì)破壞初模型聲子晶體中的四重偶然簡(jiǎn)并特性.模型A和B聲子晶體在布里淵區(qū)中心處的2個(gè)雙重簡(jiǎn)并態(tài)的聲壓場(chǎng)分布如圖6所示，圖中數(shù)據(jù)為正、負(fù)聲壓相對(duì)值.

圖中，在布里淵區(qū)中心出現(xiàn)兩種類似于電子p和d軌道的雙重簡(jiǎn)并態(tài)，且均具有一對(duì)偶極模式和一對(duì)四極模式.在模型A中，p態(tài)位于低頻帶而d態(tài)位于高頻帶；在模型B中，p態(tài)位于高頻帶而d態(tài)位于低頻帶.可知，從模型A到B，聲子晶體的韌帶厚度增加并超過(guò)初模型的參數(shù)值，實(shí)現(xiàn)了模型A與B聲子晶體之間的能帶反轉(zhuǎn)，使聲子晶體從拓?fù)淦接瓜噢D(zhuǎn)變?yōu)橥負(fù)浞瞧接瓜?結(jié)合圖3～5可知，初模型的韌帶厚度值為一個(gè)突變點(diǎn)，即能帶反轉(zhuǎn)的臨界點(diǎn).這表明，狄拉克點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)研究聲子晶體能帶特性具有重要意義.此外，由于六韌帶聲子晶體不具有完全的鏡像對(duì)稱性以及C6晶體對(duì)稱性，所以圖6中的偶極模式(px和py)和四極模式(dxy和dx2-y2)不再關(guān)于x軸和y軸完美對(duì)稱.

圖6 聲子晶體在布里淵區(qū)中心的本征模式聲壓場(chǎng)分布Fig.6 Distributions of pressure field for eigenmodes in the center of Brillouin zone

5 結(jié)語(yǔ)

以六韌帶手性蜂窩晶格聲子晶體為研究對(duì)象，建立求解聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型.通過(guò)有限元方法計(jì)算二維聲子晶體的帶隙，獲得蜂窩晶格聲子晶體的四重偶然簡(jiǎn)并狄拉克點(diǎn).固定蜂窩晶格聲子晶體的晶格常數(shù)不變，調(diào)節(jié)晶體胞元的結(jié)構(gòu)參數(shù)實(shí)現(xiàn)狄拉克點(diǎn)的打開(kāi)并產(chǎn)生能帶反轉(zhuǎn)，驗(yàn)證設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)手性韌帶聲子晶體聲拓?fù)湎嘧兊挠绊懸?guī)律.研究成果為韌帶型聲子晶體在低頻減振降噪中的應(yīng)用提供理論依據(jù).