江蘇省蘇州市吳江經(jīng)濟技術開發(fā)區(qū)花港迎春小學 朱滿喜

常說“數(shù)學是思維的體操”，思維是人類所具有的高級認識活動。按照信息論的觀點，思維是對新輸入信息與腦內儲存知識經(jīng)驗進行一系列復雜的心智操作過程。因此，在數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的思維能力非常重要。

在小學數(shù)學教學中，我們經(jīng)常會提到兩種思維：形象思維和邏輯思維。形象思維主要是指人們在認識世界的過程中，對事物表象進行取舍時形成的，只用直觀形象的表象去解決問題的思維方法。邏輯思維則是人們在認識事物的過程中，借助于概念、判斷、推理等思維形式，能動地反映客觀現(xiàn)實的理性認識過程，又稱抽象思維。形象思維和邏輯思維是兩種最為基本的思維形態(tài)，以借助的材料或信息加工的方式來區(qū)分，尤其在小學數(shù)學學習中，教師應創(chuàng)設多樣的探索情境，讓學生在形象思維和邏輯思維之間來回演練，相互支持、生發(fā)，從而引導學生對知識點深度理解，培養(yǎng)思維能力。筆者在聽課以及教學實踐中發(fā)現(xiàn)，如果一味只是注重形象思維或邏輯思維的訓練，只會在理解、發(fā)現(xiàn)新知時起作用，而不足以全面了解知識的起源、過程、運用等。筆者認為，教師首先要關注學生結構性思維的培養(yǎng)，這樣才能使他們了解知識的全貌。本文以蘇教版“解決問題的策略（一一列舉）”教學為例，探討結構性思維的重要性。

結構性是就客觀事物的組成部分按照一定順序進行排列組合。結構性思維是指從結構的視角分析事物的一種方法，強調從系統(tǒng)的結構去認識客觀事物，并從中尋找最優(yōu)結構，以獲取最佳效能的思維方法。結構性思維是世界觀和方法論體系中一種重要的思想范式，在我們的思維過程和研究活動中有特殊地位，發(fā)揮著重要作用。結構存在于每個整體與局部的關系的無窮變化中，每個局部表現(xiàn)整體，而局部的意義和價值又是由整體來決定的。因此在小學數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的結構性思維，有利于全面了解知識，系統(tǒng)掌握知識，還可以洞察知識的全貌。

一、觀課后個人反思

反思一：管中窺豹，以點概面——教少了

在觀課“解決問題的策略（一一列舉）”時常見年輕教師把“情況一個一個列舉出來就是一一列舉”和“列舉時有序列舉”作為教學重點和難點，整節(jié)課把“有序思考”“不重復”“不遺漏”三個關鍵詞如同口號似的一再強調和說明。筆者認為，“有序思考”確實對于列舉來說非常重要，但這不是本節(jié)課的全部知識點，也不是列舉的全貌。對于這樣一節(jié)專門講授“一一列舉策略”的新授課來說，讓學生只記住了列舉時要有序思考遠遠不夠。其實，在低年級教材中已經(jīng)滲透了一一列舉的方法，已經(jīng)讓學生去有序觀察、有序羅列，學生對“從小到大”“從大到小”排列已經(jīng)有了豐富的活動經(jīng)驗。在五年級再次把“列舉”作為一個新授課來教學，則需要更系統(tǒng)地去思考和結構化地處理教學，從解構列舉，到再構列舉，要讓學生了解為什么要列舉，什么是列舉，怎么來列舉，用列舉對解決問題的影響，等等。

反思二：笑語盈盈，得魚忘筌——教淺了

教學現(xiàn)場：教師板書課題開門見山，“一年級就學了，請寫出10 的分成”。對比幾個作業(yè)，強調有序。小結，這樣一個一個寫出來，就是一一列舉，列舉時按順序、不重復、不遺漏。全班學生興致盎然、極其自信。然后例題改練習題，通過一一列舉找到解決問題的答案。教師還設計了層次性的練習，非常典型的題目搭配問題的列舉，在3 名男生和2 名女生中找一男一女來主持，有幾種不同情況。學生上臺表演，現(xiàn)場搭配，熱鬧非凡，確實也收到了非常好的效果。再通過拓展題——先分類再列舉的題目練習，拓展對列舉的運用方法。整節(jié)課學生的主體作用發(fā)揮得淋漓盡致，教師幽默風趣的語言吸引著學生，學生愛上這樣的數(shù)學課，愛這樣的老師。

聽課的教師都極其推崇這樣的課堂，對于教者的個人教學魅力筆者也是非常欣賞。很多名師課堂都有這樣的共性，教師退在后面，讓學生來表達、來爭論，學知識的同時也生長能力。學生學得非常興奮、非常有自信，這對于數(shù)學學習來說特別重要。但熱鬧背后我們也要冷靜思考，學生對新知架構是否如自我感覺那樣順風順水呢？數(shù)學思維是否如學習情感那樣持續(xù)高漲和進階呢？當然，有功底的名師往往教學氣氛熱烈，思維含金量也高。可是年輕教師或學生會不會只被這熱鬧生動的場面而興奮得“樂不思蜀”“得魚忘筌”，無法對數(shù)學知識進行更系統(tǒng)和本質的思考和學習呢？

二、備課時系統(tǒng)性思考

“一一列舉”是五年級學習的“解決問題的策略”，學習之前學生已經(jīng)做過相關的列舉活動練習，如10 的分成，2、3、5 一共可以組成多少個不同的三位數(shù)等。如果之前的滲透是練習，那么本節(jié)課是對于“一一列舉”的新授課教學。既然是新授課，就需要學生對于“一一列舉”在頭腦中形成更加系統(tǒng)和結構化的知識，不能是碎片知識的堆砌，只有站到數(shù)學知識整體、全局、結構、系統(tǒng)高度進行教學，才能將數(shù)學知識“拎起來”“立起來”“串起來”“連起來”，從而讓數(shù)學知識連線、成片、織網(wǎng)。備課時基于結構化思維，希望學生對于“一一列舉”這個策略有更全面、更系統(tǒng)和更深入的理解。

（一）什么時候要用“一一列舉”

列舉并非是“從條件想起”“從問題想起”這樣的基本策略，它是特定問題中的一種常用策略。一般來說，出現(xiàn)結果比較多的時候要用列舉，復雜問題無法解決時，可以從簡單入手進行列舉，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

（二）怎么用“一一列舉”

列舉第一步教師往往會忽視明確列舉要求，這也是列舉的前提。每一次列舉，必定是圍繞一個要求來列舉，有的是“周長一定”，那么長加寬的和一定；有的是“面積一定”，那么長乘寬的積一定；有的是“每40 分鐘響一次”，那么時間跨度一定……但凡列舉，必有一個列舉要求。列舉第二步是找合適的列舉形式，可以是列表、畫圖、列算式、符號、文字、數(shù)字等，只要是簡明扼要、清晰明了就好，不用太多拘泥于形式。第三步是有序思考、有序表達。列舉的“有序思考”極其重要，這樣才能保證列舉不重復、不遺漏。列舉“三步走”，正是結構化思維的訓練。

（三）列舉的結果是什么

一一列舉了全部情況，這不是列舉的結果。列舉結果需要指向解決問題，所以列舉后，還要分析列舉情況，確定問題解決的方法。

（四）思辨認識列舉的作用

本節(jié)課教的是列舉，但是要讓學生站在解決問題的全局高度認識列舉策略，系統(tǒng)而思辨地認識到列舉的作用。列舉是解決問題過程中的一種方法，并非結果。列舉是從簡單列舉到發(fā)現(xiàn)規(guī)律，最終走向解決更復雜的問題，要引導學生從列舉中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，如果有規(guī)律可循，就不需要再進行列舉。

三、設計中結構化思維

（一）創(chuàng)設情境，喚起策略需求

（1）復習：回顧一下，我們已經(jīng)學過哪些策略？

（2）今天學習新策略。出示例題：王大叔用22 根1米長的木條圍一個長方形花圃，怎樣圍面積最大？讀題，說說有哪些關鍵詞？根據(jù)這些關鍵詞你能想到什么？

（3）你打算用什么方法找到面積最大的圍法？

【設計意圖】通過審題發(fā)現(xiàn)圍法有多種，要找到面積最大的圍法，首先要通過把多種情況都羅列出來，這是從問題出發(fā)思考，需要用列舉的方法才能解決問題，是引發(fā)策略的需求。讓學生初步感知題型特點，從問題出發(fā)，自下而上引發(fā)列舉需求。

（二）解構步驟，體會策略過程內部結構化

1.審題分析——明確列舉要求

圍成的所有長方形必須遵循哪個條件？（周長22 米，也就是“長＋寬=11 米”）

指出：情況有多種，但必須要符合“長＋寬=11”，這是列舉的要求。

2.自主探索——簡明有序列舉

（1）你打算怎樣把所有的情況都表達出來？（畫圖、列表、算式）

（2）學生用自己的表達方式獨立嘗試完成列舉，教師巡視。

（3）交流學生作品。學生介紹，其他同學質疑、點評。

對比作品，教師追問：為什么這樣列舉好？

引導、啟發(fā)學生發(fā)現(xiàn)：一是要簡單明了地表達，二是要有序思考才能做到不重復、不遺漏。

（4）小結提問：這些作品盡管表達形式有圖、有表、有算式，但是有什么共同的地方？

引導學生回顧列舉的要求：要有序、不重復、不遺漏。

3.發(fā)現(xiàn)規(guī)律——分析解決問題

所有可能的長與寬都列舉出來后，并沒有結束，還要根據(jù)列舉的情況，分析問題，找到答案。（板書：分析解決問題）

在依次計算面積時，你發(fā)現(xiàn)了什么？（當周長一定，長與寬越接近，面積越大）

指出：這個規(guī)律是通過列舉不同的長與寬，求出其面積后發(fā)現(xiàn)得到的。（發(fā)現(xiàn)規(guī)律）

追問：有了這個規(guī)律，當長方形的長＋寬=51 時，哪種情況面積最大？還需要列舉嗎？（不需要，直接運用規(guī)律，當長26、寬25 時，面積最大）

當長＋寬=50 呢？（正方形是特殊的長方形，周長一樣，正方形的面積比長方形大）

4.總結回顧——梳理列舉要點

（1）回顧解決問題的過程，你有什么體會？

（2）在以前的學習中，我們曾經(jīng)運用列舉的策略解決過哪些問題？

【設計意圖】充分相信學生自主探索列舉策略的能力，讓學生在嘗試列舉、交流、對比、質疑中發(fā)現(xiàn)列舉的注意點。用教材例題，整體框架也依據(jù)教材，設計亮點處就是把列舉過程進行解構，即“明確列舉要求—簡明有序列舉—分析解決問題”三大步驟，得出結構化列舉策略，讓學生對整個列舉解決問題的全過程有更為清晰的認識。

（三）多樣練習，感知策略外部使用結構化

1.練一練1

讀題“一個音樂鐘，每隔一段相等的時間就發(fā)出鈴聲。已經(jīng)知道上午9：00、9:40、10:20、11:00 發(fā)出鈴聲，那么下面哪些時刻也會發(fā)出鈴聲？13:00 14:40 15:40 16:00”，自主完成。

學生交流后，教師追問：你是依據(jù)什么來列舉的？列舉時按照什么順序？（40 分鐘響一次，時間順序）

根據(jù)列舉情況，回答問題。仔細觀察對比所有列舉，發(fā)現(xiàn)發(fā)出鈴聲時刻有什么規(guī)律特點？（小時數(shù)為單數(shù)是整點和40 分時都會響鈴，比如9：00、9:40、11:00、11:40；小時數(shù)為雙數(shù)時分別在20 分響鈴，比如：10:20、12:20）

追問：22:00 會響鈴嗎？

2.練一練2

讀題“學校食堂某天中午供應的葷菜有3 種，素菜有4 種，小洪選1 種葷菜和1 種素菜，一共有多少種不同的搭配？”，用自己的方法來列舉找到答案。

交流方法。（連線、符號、文字）

教師追問：你是依據(jù)什么來列舉的？（一葷一素）列舉時按照什么順序？（先找一種葷菜配4 種素菜，再依次配，三種葷菜有3 個4 種搭配方法）先找葷菜來配素菜，也可以先找素菜來配葷菜嗎？取出一種素菜配葷菜，有幾種配法？有幾個幾種配法？

教師再追問：不管是從葷菜出發(fā)配素菜的3 個4 種搭法，還是從素菜出發(fā)配葷菜的4 個3 種搭法，都可以用一個算式來計算嗎？（3×4=12 種）

教師又追問：如果食堂今日供應6 種葷菜和8 種素菜呢？（6×8=48 種）

3.對比總結列舉步驟和作用

前面完成的三題都是用列舉解決問題，有什么共同的地方？（都是通過列舉情況找到答案，都按照“明確列舉要求—簡明有序列舉—分析解決問題”的步驟完成）

小結：列舉是解決一些特殊問題的一種策略，往往通過前期簡單數(shù)據(jù)列舉可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，運用規(guī)律就可以直接解決問題。

【設計意圖】再通過2 道題的列舉練習，再次完成列舉三步驟過程，再次用結構化思維建構新知、認識新知。聯(lián)合3 道例題對比發(fā)現(xiàn)，鞏固結構化思維。同時，每一題都設計追問，通過列舉發(fā)現(xiàn)規(guī)律，借助規(guī)律無須列舉就可以解決更復雜的問題，感知列舉策略在解題中的作用。認識列舉，更要思辨列舉策略，并非本節(jié)課講列舉，那么列舉就是最好的方法，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是更優(yōu)化的方法。

4.拓展鞏固，思辨策略作用

出示題目：10 個點一共可以畫幾條直線？

提問：你打算怎么解決問題？

引導啟發(fā)：復雜的難題可以從簡單開始，從簡單的列舉中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而解決問題。

指導完成列舉，并解決問題。

小結：化復雜為簡單，從簡單出發(fā)，列舉情況發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而解決復雜問題。碰到難題不著急，可以從簡單列舉開始逐步發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

【設計意圖】前面3 題都是直接進行列舉，最后拓展題較復雜。引導學生從簡單列舉開始思考，也是結構化認識列舉在解決問題中的作用。

教師基于系統(tǒng)性思考、結構化思維，忠于教材原題設計上述教學過程，突顯結構性思維教學。一是列舉過程內部結構化，“明確列舉要求—簡明有序列舉—分析解決問題”三步驟，既是解構，也是再構過程，從而達到更全面掌握列舉策略的目的。二是列舉外部，解決問題過程的結構化，明白列舉策略在解決問題中的地位和作用。通過兩種結構性思維教學，才能比較清晰、全面、系統(tǒng)、客觀地學習新知，洞察知識的全貌。結構性思維教學，要求教師具有知識的整體視野、具有教學的全局意識，要根據(jù)數(shù)學知識結構和學生認知結構特質，連線、勾面、成體，讓教學更具立體性、結構性和系統(tǒng)性，最大限度地彰顯、發(fā)掘、拓展數(shù)學學科的育人價值。