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        活用方法 妙解趣題
        ——從一道中考題說(shuō)起

        2021-12-03 10:26:33商月玲陳紅光
        初中生世界 2021年17期
        關(guān)鍵詞:公因式平方差靈活運(yùn)用

        文 商月玲 陳紅光

        整式乘法中的乘法公式和公式法因式分解一直以來(lái)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。同學(xué)們?cè)诰C合運(yùn)用時(shí)經(jīng)常會(huì)混淆,會(huì)出現(xiàn)“展開(kāi)后分解,分解后再展開(kāi)”的循環(huán)現(xiàn)象,如何正確運(yùn)用這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)解決問(wèn)題呢?下面從一道中考題說(shuō)起。

        例(2020·江蘇淮安)如果一個(gè)數(shù)等于兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差,那么我們稱這個(gè)數(shù)為“幸福數(shù)”。下列數(shù)中為“幸福數(shù)”的是( )。

        A.205 B.250 C.502 D.520

        【解析】設(shè)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)中的一個(gè)奇數(shù)為x,則另一個(gè)奇數(shù)為x+2,由題意得(x+2)2-x2,計(jì)算可得4(x+1),再看四個(gè)選項(xiàng)中,能夠被4整除的即為答案。但在具體計(jì)算時(shí),可用多種方法。

        方法一:(x+2)2-x2=x2+4x+4-x2=4x+4=4(x+1)。

        這種解法是先運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行整式乘法運(yùn)算,再運(yùn)用提公因式法進(jìn)行因式分解。

        方法二:(x+2)2-x2=(x+2-x)(x+2+x)=2(2x+2)=2×2(x+1)=4(x+1)。

        這種解法是先運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解,再運(yùn)用提公因式法進(jìn)行因式分解。

        觀察四個(gè)選項(xiàng)可知,只有選項(xiàng)D 中的520能夠被4整除,故選D。

        這兩種解法體現(xiàn)出不同的思路。用方法一的同學(xué)可能熟練掌握了完全平方公式。用方法二的同學(xué)則是抓住了公式的特征直接用平方差公式和提公因式法因式分解,從而解決問(wèn)題。

        因式分解與整式乘法是兩種相反的恒等變形,整式乘法中有兩個(gè)公式:

        平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,

        完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2。

        這兩個(gè)等式從左到右是整式乘法中的乘法公式,從右到左叫因式分解。整式乘法中的乘法公式和公式法因式分解到底如何靈活運(yùn)用呢?

        題目有具體要求時(shí),同學(xué)們需明確運(yùn)算的目的,從而按照題目要求來(lái)解決問(wèn)題。因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式,整式乘法反之。同學(xué)們需抓住每個(gè)公式的結(jié)構(gòu)特征,選擇正確的乘法公式。同學(xué)們需在整體感悟中選擇方法,巧用方法,在逐步分解中靈活運(yùn)用方法解決問(wèn)題。

        所以,只要同學(xué)們掌握兩個(gè)乘法公式的特征,明確運(yùn)算目的,就能靈活運(yùn)用方法,解決各種相關(guān)問(wèn)題。

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