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        緊抓公式特征 注重細(xì)節(jié)處理

        2021-12-03 10:26:33梁慶旭
        初中生世界 2021年17期
        關(guān)鍵詞:符號(hào)特征分析

        文 梁慶旭

        在學(xué)習(xí)完單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式和多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式之后,我們學(xué)習(xí)了較特殊的多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式,即完全平方公式和平方差公式。而初學(xué)者對(duì)公式往往理解不深刻,結(jié)構(gòu)特征把握不準(zhǔn)確,造成計(jì)算上的錯(cuò)誤。希望通過(guò)下面的一些例題,幫助同學(xué)們更好地掌握乘法公式,達(dá)到事半功倍的效果。

        一、公式特征需明確

        例1計(jì)算:(1)(a-3)2;(2)(a+3)2。

        【錯(cuò)解】(1)(a-3)2=a2-32=a2-9;

        (2)(a+3)2=a2+32=a2+9。

        【錯(cuò)因分析】混淆完全平方公式和積的乘方,把積的乘方法則套用在完全平方公式中。在運(yùn)用公式時(shí),需記住:兩數(shù)和(或差)的平方等于這兩數(shù)平方和加上(或減去)兩數(shù)積的2 倍,完全平方的結(jié)果是三項(xiàng)式,要做到積的2 倍不遺漏。

        【正 解】(1)(a-3)2=a2-2×a×3+32=a2-6a+9;

        (2)(a+3)2=a2+2×a×3+32=a2+6a+9。

        例2計(jì)算:(2x-3y)(2x+3y)。

        【錯(cuò)解】原式=2x2-3y2。

        【錯(cuò)因分析】在運(yùn)用平方差公式時(shí),需弄清楚哪個(gè)是公式里的相同項(xiàng),哪個(gè)是公式里的相反項(xiàng),然后再代入公式即可。本題中2x是相同項(xiàng),±3y是相反項(xiàng)。

        【正解】(2x-3y)(2x+3y)=(2x)2-(3y)2=4x2-9y2。

        二、負(fù)號(hào)處理要恰當(dāng)

        例3計(jì)算:(a-2)(2-a)。

        【錯(cuò)解】原式=a2-4。

        【錯(cuò)因分析】多項(xiàng)式中的兩項(xiàng)互為相反項(xiàng),不符合任何一個(gè)乘法公式特征,但提取“-”號(hào)后,就可以使用完全平方公式。

        【正解】(a-2)(2-a)=(a-2)×[-(a-2)]=-(a-2)2=-(a2-4a+4)=-a2+4a-4。

        例4計(jì)算:(-a-3b)2。

        【錯(cuò)解】(-a-3b)2=a2-6ab+9b2。

        【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解套用了兩數(shù)之差的完全平方公式,減去6ab。本題若當(dāng)成差的完全平方公式,應(yīng)減去2×(-a)×3b,再整理符號(hào);也可以看作是-a與-3b的和的平方;還可以先處理符號(hào),結(jié)合偶次冪的特征,轉(zhuǎn)化為兩數(shù)和的平方,這樣更簡(jiǎn)潔,不容易出錯(cuò)。

        【正解】看作差的平方:(-a-3b)2=(-a)2-2×(-a)(3b)+(3b)2=a2+6ab+9b2。

        看作和的平方:(-a-3b)2=(-a)2+2×(-a)(-3b)+(-3b)2=a2+6ab+9b2。

        或(-a-3b)2=[-(a+3b)]2=(a+3b)2=a2+6ab+9b2。

        三、整體思想巧運(yùn)用

        例5已知a+b=5,ab=6,求a2+b2的值。

        【錯(cuò)解】由題意得a=2,b=3,所以a2+b2=22+32=13。

        【錯(cuò)因分析】有些同學(xué)容易直接賦予字母a、b特殊值,再代入求值。本題應(yīng)該先根據(jù)a+b=5 得到(a+b)2=25,展開后代入ab的值,即可求出a2+b2的值。

        【正解】因?yàn)閍+b=5,

        所以(a+b)2=25,

        則a2+2ab+b2=25。

        因?yàn)閍b=6,

        所以a2+12+b2=25,則a2+b2=13。

        四、添加括號(hào)不隨意

        例6計(jì)算:(a-b-c)(a+b-c)。

        【錯(cuò)解】(a-b-c)(a+b-c)=[a-(b-c)]·[a+(b-c)]=a2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc。

        【錯(cuò)因分析】把“-”和“+”后面部分看作一個(gè)整體,添加括號(hào)后,使用平方差公式。當(dāng)括號(hào)前為正號(hào)時(shí),括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)符號(hào)均不改變,但如果是“-”號(hào),括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)符號(hào)都要改變。應(yīng)先觀察兩個(gè)多項(xiàng)式中哪些項(xiàng)相同,哪些項(xiàng)互為相反數(shù),再去決定如何添加括號(hào),從而使計(jì)算不出錯(cuò)。

        【正解】(a-b-c)(a+b-c)=[(a-c)-b]·[(a-c)+b]=(a-c)2-b2=a2-2ac+c2-b2。

        總之,在運(yùn)用乘法公式解決問(wèn)題時(shí),需仔細(xì)審題,弄清多項(xiàng)式之間包含的相同項(xiàng)和相反項(xiàng),通過(guò)變形,使得相同項(xiàng)在前,相反項(xiàng)在后,再套用公式,從而掃清學(xué)習(xí)中的障礙。

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