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        函數(shù)奇偶性

        2021-12-02 07:15:42陜西省咸陽市彬縣范公中學(xué)楊寶年
        數(shù)學(xué)大世界 2021年13期
        關(guān)鍵詞:定義

        陜西省咸陽市彬縣范公中學(xué) 楊寶年

        函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主線,貫穿于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。函數(shù)的奇偶性是函數(shù)最主要的性質(zhì)之一,是函數(shù)對稱性的特殊形式,往往與函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合在一起成為函數(shù)部分學(xué)習的難點,也是高考命題的熱點之一。下面我們就討論函數(shù)的這一性質(zhì)——函數(shù)奇偶性。

        一、函數(shù)奇偶性定義的理解

        教材是這樣定義函數(shù)奇偶性的:一般地,圖像關(guān)于原點對稱的函數(shù)叫作奇函數(shù)。在奇函數(shù)f(x)中,f(x)和f(-x)的絕對值相等,符號相反,即f(-x)=-f(x);反之,滿足f(-x)=-f(x)的函數(shù)y=f(x)一定是奇函數(shù)。圖像關(guān)于y軸對稱的函數(shù)叫作偶函數(shù)。在偶函數(shù)f(x)中,f(x)和f(-x)的值相等,即f(-x)=f(x);反之,滿足f(-x)=f(x)的函數(shù)y=f(x)一定是偶函數(shù)。函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù),我們就說函數(shù)f(x)具有奇偶性。

        二、函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

        (1)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱,偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱;(2)奇函數(shù)f(x)若在x=0處有定義,則f(0)=0;(3)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上有相同的單調(diào)性,偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上有相反的單調(diào)性。靈活運用這些性質(zhì)可以順利解決很多函數(shù)問題。

        三、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

        例1:已知函數(shù)f(x)是定義在(-∞,+∞)上的偶函數(shù),當x∈(-∞,0)時,f(x)=x-x4,則當x∈(0,+∞)時,f(x)=_。

        解:當x∈(0,+∞)時,因為f(x)是定義在(-∞,+∞)上的偶函數(shù),所以當x∈(0,+∞)時,f(x)=f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4。

        【點評】利用函數(shù)奇偶性確定函數(shù)的解析式,其本質(zhì)是已知函數(shù)在一段區(qū)間上的解析式,然后利用奇偶性去求另一段區(qū)間上的解析式。這樣求出的函數(shù)往往是一個分段函數(shù),注意不要寫成兩個函數(shù)。

        例2:已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù),定義域是[a-1,1+2a],則f(a)=_。

        解:因為f(x)是奇函數(shù),且定義域是[a-1,1+2a],所以(a-1)+(1+2a)=0,即a=0,所以f(a)=f(0)=0。

        【點評】要注意:①奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱;②奇函數(shù)在x=0處有定義,使得f(0)=0。

        例3:設(shè)函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0時,f(x)<0,且f(1)=-2,則f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分別為_。

        解:令x=y=0,則有f(0)=2f(0),即f(0)=0,

        再令y=-x,則有f(x)+f(-x)=f(0)=0,所以f(x)為奇函數(shù)。

        設(shè)x1,x2∈(-∞,∞),且x10。

        因為x>0時,f(x)<0,

        所以有f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)<0,即f(x1)>f(x2),

        所以f(x)在(-∞,∞)上單調(diào)遞減,因而f(x)在x=3處取得最小值f(3),在x=-3處取得最大值f(-3)。

        又已知f(1)=-2,所以f(2)=2f(1)=-4,

        所 以f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=-6,f(-3)=-f(3)=6,

        故f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分別為6和-6。

        【點評】賦值法是解該題的必要手段,通過賦值明確了函數(shù)的奇偶性,又根據(jù)題目條件,用構(gòu)造法確定了函數(shù)的單調(diào)性,從而利用函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)在所求區(qū)間上的最值。在求解過程中要會利用題目所給條件進行分析、聯(lián)想、構(gòu)造,這是解決綜合題目的常見思路。

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