羅中昊

摘要：《中小學生數(shù)學能力心理學》一書是蘇聯(lián)著名心理學家克魯捷茨基的代表作。書中設計的用以研究中小學生數(shù)學能力的測試題較為經(jīng)典，并且具有一定的特色，為數(shù)學習題命制提供了一些啟示，如設置變式題組的梯度、增加習題的開放性、提升習題的趣味性等。

關鍵詞：數(shù)學習題命制;《中小學生數(shù)學能力心理學》;梯度;開放;趣味

《中小學生數(shù)學能力心理學》一書是蘇聯(lián)著名心理學家克魯捷茨基的代表作，其中豐富的測試題、多樣化的研究方式給讀者留下了深刻的印象。多位學者對本書做了內(nèi)容的分析，并挖掘了其中的價值。比如，鮑建生、周超對本書從中小學生數(shù)學能力的基本結(jié)構、實驗題體系、個案研究三個方面做了高度概括，并提出了一些研究展望;朱華偉、鄭煥介紹了本書蘊含的解題思想，并結(jié)合例題分析了學生解題的心理過程;李伯黍作為本書的譯者之一，對全書從關于數(shù)學能力的假設、研究數(shù)學能力的方法和數(shù)學能力的成分分析三個方面做了評介。此外，還有部分學者的作品涉及克魯捷茨基及其著作，但只是蜻蜓點水，并未深入研究?？v觀各位研究者對本書的研究成果，主要集中在研究方法與特色、解題思想與心理以及文本內(nèi)容的介紹上，而對其中測試題的應用價值及命題啟示談論得非常少。實際上，本書中設計的用以研究中小學生數(shù)學能力的測試題較為經(jīng)典，并且具有一定的特色。下面，結(jié)合我國數(shù)學教育的實際對其進行系統(tǒng)的分析，為數(shù)學習題的命制提供一些啟示。

一、設置變式題組的梯度

變式訓練是我國數(shù)學教育的一大特色。其本意是希望減輕學生負擔，讓學生遠離“題海”，多層次、多角度地看待數(shù)學習題，并且學會舉一反三。然而，在實際操作過程中，存在由于習題命制不當（比如簡單重復），導致學生負擔加重，甚至阻礙認知策略形成的現(xiàn)象。

克魯捷茨基在研究中小學生數(shù)學能力的實驗題目的系列5“同一類型題目的系統(tǒng)”中，給出的一組測試題如下：（1）（a+b）2=________;（2）1+1/（2a3b2）2=_______;（3）（-5x+0.6xy2）2=______;（4）（3x-6y）2=___________;（5）（m+x+b）2=_______;（6）（4x+y3-a）2=________;（7）512=________;（8）（C+D+E）（E+C+D）=______。該組題目通過改變字母、變換順序、引進指數(shù)、增加系數(shù)等方式來逐步提升難度，越往后越難看出完全平方公式如何運用。研究學生的數(shù)學能力時，實驗者先展示最后一題，如果被試無法做出，就按照順序依次展示前面的題目，并且被試每解答一個前面的題目，都重新做一次最后一題。由此，被試經(jīng)歷的中間環(huán)節(jié)越少，意味著數(shù)學能力越高。這組題目不是簡單重復的變式，而是螺旋式上升的有梯度的變式。

心理學家通過這樣的方式檢測學生的數(shù)學能力，數(shù)學教師也可以依此命制習題并對學生進行訓練。學生學習新知后，教師設置的變式題組，不可簡單重復，而要形成梯度：越往后的習題對學生的要求越高，若能順利解答后面的習題，則前面的習題都不會成為障礙。由此，真正讓學生跳出“題?！?，提高學習效率。

例如這樣一組向量問題：（1）已知a=（1，1），b=（0，-2），當k為何值的時候，ka與a+b的夾角為120°？（2）已知a=（1，2），b=（3，4），當k為何值的時候，ka⊥b？（3）已知a=（3，1），b=（1，3），c=（k，7），若（a-c）∥b，則k為何值？這個變式題組看似進行了變換，分別以特殊角度、垂直和平行設問，其實意義不大。學生只要知道向量夾角的坐標公式，甚至無須知道向量平行、垂直的條件，就都可以解決。因此，屬于簡單重復，沒有形成梯度。對此，可做如下改編：（1）已知a=（1，1），b=（0，-2），當k為何值的時候，ka與a+b的夾角為120°？（2）已知a=（1，2），b=（2，-3），如果向量c滿足（a+c）∥b，c⊥（a+b），則c=_______。（3）已知OA=（3，1）OB=（-1，2），OC⊥OB，BC∥OA，且OD+OA=OC，求OD的坐標。改編后的題組相比于改編前的明顯呈現(xiàn)出梯度：后面的習題包含前面的習題涉及的知識點，并且復雜程度（變量）增加，考查的知識點增多。

教學中，教師可以鼓勵基礎較好的學生先嘗試完成靠后的習題;如果成功，則無須完成前面的習題，從而切實減輕學生的負擔。而對于基礎一般或較為薄弱的學生而言，適當?shù)奶荻认喈斢跒榻獯鹱罱K的習題搭建了“腳手架”;按照先后順序完成貼近自己“最近發(fā)展區(qū)”的習題，可以在不斷對比、總結(jié)規(guī)律的基礎上更有效地解決復雜問題。

二、增加習題的開放性

習題的開放性是指習題的答案不固定或條件不完備等。習題的開放性能夠調(diào)動學生的能動性，激發(fā)學生的創(chuàng)造性，幫助學生在鞏固知識的同時，拓展思維。

克魯捷茨基在實驗題目的系列1“未提出問題的題目”中，僅給出題目的條件，讓被試根據(jù)條件自行設計問題并解答。例如：一些少先隊員收集到65千克廢金屬，其中銅、鋁之和比鋅多1千克，而銅比鋁多15千克;矩形對角線的交點離開短邊的距離比離開長邊的距離遠6厘米，矩形的周長為44厘米。在實驗題目的系列2“缺少信息的題目”中，給出的題目缺少解題的必要條件，需要被試自己補全條件并解答。例如：兩城相距225千米，兩列火車從兩城同時出發(fā)，客車以時速50千米自甲城出發(fā)，貨車以時速40千米自乙城出發(fā)，兩車何時相遇？三角形三邊之比為5∶4∶3，求各邊的長度。

數(shù)學教師在命制習題（試題）時也要增加開放性。具體而言，可以對一些教材或配套教輔中的習題以及一些比較經(jīng)典的結(jié)論進行改編和推廣，形成開放性的習題（試題）。

例如，滬教版高中數(shù)學教材配套習題冊中有這樣一道題：已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an/an+3，an≠0（n∈N*），求a1、a2、a3。將其稍做改編，就成了一道開放性的試題：[2010年上海市春季高考數(shù)學卷第23題第（3）小題]已知首項為x1的數(shù)列{xn}滿足xn+1=axn/xn+1（a為常數(shù)），當a=2時，通過對數(shù)列{xn}的探究，寫出“{xn}是有窮數(shù)列”的一個真命題（不必證明）。解答此題時，學生對問題的探究以及寫出的真命題會體現(xiàn)不同的思維層次。

再如，教學“對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)”后，可以推廣提出如下開放性的問題：函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），且滿足對任意的x、y∈R*，都有f（xy）=f（x）+f（y），當x>1時f（x）>0，請你根據(jù)上述條件自行猜想結(jié)論并證明。解答此題時，學生可能得到“f（1）=0”“當0

又如，布置立體幾何作業(yè)時，展示平面幾何或平面解析幾何的結(jié)論，讓學生推廣到立體幾何中，自行作出猜想并嘗試加以證明。以平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和為例，學生將其推廣到立體幾何中，可能得到平行六面體對角線的平方和等于12條棱長的平方和等結(jié)論。

三、提升習題的趣味性

雖然有趣往往是一種主觀的感覺，但是趣味性的習題常常還是表現(xiàn)出一定的特征：除了情境性、體驗性和游戲性之外，最重要的是“意料之外，情理之中”。“文似看山不喜平”，這樣的習題能夠提升學生的學習興趣，鍛煉學生的思維能力，尤其能激發(fā)學生的認知沖突，打破學生的思維定式。

克魯捷茨基使用了許多“意料之外，情理之中”的題目作為測試題。在實驗題目的系列16“暗示‘自我限制的題目”中，有許多看似錯誤、實則正確的題目。例如：“一個家庭由丈夫、妻子、女兒、兒子組成，他們的年齡和為73歲。丈夫比妻子大3歲，女兒比兒子大2歲。四年前他們的年齡和為58歲。家庭每個成員現(xiàn)在幾歲？”對此，許多被試會認為題目有誤：四年前的年齡之和應該比現(xiàn)在少16歲，而不是15歲。但是，換個思路來看，這恰好說明四年前最年輕的家庭成員尚未出生。在實驗題目的系列21“數(shù)學詭辯”中，有一些題目中的結(jié)論看似正確，其實錯誤。例如：“某集體農(nóng)莊莊員有2簍不同品種的梨。每簍各有150個。第一種梨的價格是每盧布10個，第二種梨的價格是每盧布15個。這樣，賣掉第一種梨可得15盧布，賣掉第二種梨可得10盧布，總計25盧布。由此，這個莊員推論，10個第一種梨和15個第二種梨一共可賣2盧布。因此，他將兩種梨混在一起，以2盧布25個的價錢賣掉所有300個梨。但是，他只得到24盧布，即少賣了1盧布。這1盧布到哪里去了？”

數(shù)學教師也應注意增加習題（試題）的趣味性。為此，要具有敏銳的洞察力，基于學生的認知常識和思維定式，關注一些有趣的素材，將其加工成習題。一般來說，這樣的素材在教材和配套教輔中不容易見到，而在各種課外的通俗讀物、科普作品以及報紙雜志中更容易見到。因此，教師要廣泛閱讀、多加留心，發(fā)掘這樣的素材并巧妙地改編。

例如，人教A版高中數(shù)學必修2（基于實驗版課標編寫的舊教材;目前處于新舊教材過渡階段，該版教材還在使用）中“魔術師的地毯”的故事就可以改編成一道很有趣的習題，引導學生運用直線斜率的知識解決“如下頁圖1所示的正方形裁成四塊后拼成如下頁圖2所示的長方形，為什么它們的面積不相等”的問題，從而充分感受到數(shù)學的魅力。

再如，教學“古典概型的計算”后，可以布置如下習題：小A（三槍能命中一槍）和神槍手（百發(fā)百中）、怪槍手（三槍能命中兩槍）對決，小A最先射擊，神槍手最后射擊，小A如何才能保證勝率最高？該題改編自一本趣味數(shù)學游戲集中的素材，其答案是：小A可以放空槍，因為神槍手和怪槍手都會優(yōu)先射擊威脅較大的人。學生在做題時會嘗試探討各種可能性，枯燥的概率計算頓時生動有趣起來。

類似的例子還有很多，甚至電視綜藝節(jié)目中的小游戲也能改編成數(shù)學習題。例如，美國電視綜藝節(jié)目《讓我們做個交易》（Let's Make a Deal）中，有一個很有趣的概率問題，也被稱為“三門問題”。主持人向游戲參與者展示三扇關著的門。其中，兩扇門后面各有一只山羊，另一扇門后面有一輛汽車。參與者選中有汽車的那扇門即可贏得汽車。當參與者選中一扇門后，主持人并不立即打開它，而是開啟剩余兩扇門中的一扇，露出后面的山羊（主持人事先知道每扇門后面分別是什么）。隨后，主持人詢問參與者是否要換另外一扇仍然關著的門。參與者可以更改原來的選擇，也可以保持原來的選擇不變。教學“條件概率”后，教師可以將這一游戲情境改編為習題，讓學生計算更換前后贏得汽車的概率。大部分學生憑借直覺，會認為無論更改與否，概率都相等;而通過計算，可以幫助他們糾正錯誤的觀點，加深對條件概率的理解。

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