陳丹陽

摘要：數(shù)學(xué)解題反思是數(shù)學(xué)解題的一個重要的組成部分，它不僅能進一步促進學(xué)生對知識的理解，也能提高學(xué)生對知識的建構(gòu)能力，還能能提高學(xué)生的思維能力。但在對小學(xué)高年級學(xué)生數(shù)學(xué)解題反思的現(xiàn)狀的調(diào)查看來，大多數(shù)學(xué)生缺乏解題反思的意識，不明確解題反思的內(nèi)容，解題反思策略比較單一等等。因此，厘清數(shù)學(xué)解題反思的內(nèi)容很有必要。學(xué)生可以在解題過程中不斷地學(xué)習(xí)，具備解題反思的意識，學(xué)會解題反思的方法，在數(shù)學(xué)解題過程中運用解題反思完善自己的數(shù)學(xué)知識體系、提高自身的思維水平，實現(xiàn)學(xué)會學(xué)習(xí)的目標(biāo)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)高年級，數(shù)學(xué)解題反思，解題反思能力

一、數(shù)學(xué)解題反思的重要意義

在《教育部關(guān)于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務(wù)的意見》中，明確界定了核心素養(yǎng)，即學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力。數(shù)學(xué)是一種理性的精神，它追求的是真理，促進人們認識世界和發(fā)展自己。通過不斷的批判和反思，探索知識的真正內(nèi)涵?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準》指出：“人們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運用數(shù)學(xué)解決問題時，不斷地經(jīng)歷直觀感知、反思與建構(gòu)等思維過程;能回顧解決問題的過程，初步判斷結(jié)果的合理性;通過應(yīng)用和反思，進一步理解所用的知識和方法，了解所學(xué)知識之間的聯(lián)系，獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗;學(xué)生只有明確了解題的目的，通過解題反思將知識、方法、策略內(nèi)化成自身的經(jīng)驗，才能提高學(xué)生的解題能力，提升學(xué)生的思維能力。

二、數(shù)學(xué)解題反思的概念界定及理論

數(shù)學(xué)解題反思就是學(xué)生對整個數(shù)學(xué)解題活動的“再認識”。具體而言，指的是對題意、知識、思想方法、拓展等各方面的反思，在不斷地解題反思中，改進解題思路、把握解題規(guī)律、優(yōu)化解題結(jié)果、總結(jié)解題經(jīng)驗、拓展解題方法等，進一步加深對數(shù)學(xué)問題的了解，提高自身的思維水平。

建構(gòu)主義的教育理論的主要觀點就是，知識不是通過感官或交流被動獲得的，而是通過認識主體的反省抽象來主動建構(gòu)的。數(shù)學(xué)解題反思是建立在學(xué)生已有的知識結(jié)構(gòu)上的，學(xué)生在解題后對解題過程、解題方法、解題結(jié)果等進行反思，其本質(zhì)就是自我的溝通過程，也就是重新建構(gòu)知識體系的過程。董奇教授認為元認知概念包括三方面：元認知知識、元認知體驗、元認知監(jiān)控。如果教師在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，能夠運用元認知理論去指導(dǎo)學(xué)生進行自我評價和自我調(diào)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)解題反思能力，養(yǎng)成反思習(xí)慣，那么學(xué)生會有更好地學(xué)習(xí)主動性、自主性、自覺性。波利亞在他的《怎樣解題》中提出了解題過程的四個基本步驟，即理解問題、擬定方案、執(zhí)行方案、回顧這四個步驟。第四步回顧是最重要且有益的環(huán)節(jié)，回顧即反思，通過回顧完整的答案，重新斟酌、審查結(jié)果及導(dǎo)致結(jié)果的途徑，能鞏固知識，并培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)解題能力。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)解題反思的內(nèi)容

在我們的教學(xué)中，教師們也經(jīng)常會讓學(xué)生反思，但大多只是回顧解題過程，或者摘抄錯題等等，并沒有系統(tǒng)地引導(dǎo)學(xué)生反思，更不清楚學(xué)生們應(yīng)該反思什么，這就導(dǎo)致學(xué)生的反思流于表面，并沒有很好地促進學(xué)生能力的發(fā)展。因此，教師先了解小學(xué)數(shù)學(xué)解題反思的內(nèi)容，才能更好地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會反思。

（一）反思解題的過程

反思解題的過程就是要求學(xué)生回顧從解題開始到結(jié)束的每一個步驟和相應(yīng)心理活動，實現(xiàn)認知監(jiān)控，培養(yǎng)元認知能力。

1.反思題意的理解過程

反思題意的理解過程就是要求學(xué)生重新思考自己從題目中獲取的信息是否準確、全面、深刻，信息之間有何關(guān)系，關(guān)鍵的信息是什么，哪些信息被遺漏、被忽略，哪些信息是多余、被隱藏的信息，信息理解不準確的原因是什么等。

例題：一本書共270頁，王強前3天看了78頁，后4天每天看了20頁。他一共看了多少頁？

師：從中你得到了哪些信息？

生：一本書共270頁，王強前3天看了78頁，后4天每天看了20頁。

師：要解決什么問題？

生：他一共看了多少頁？

師：你打算怎么列式解決？

錯誤方法一：78+20=98（頁）錯誤方法二：78×3+20×4=314（頁）

學(xué)生出錯的原因就在于沒有抓住題干的關(guān)鍵詞，沒有弄清題意就開始盲目做題，這時就應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生抓住關(guān)鍵句和關(guān)鍵詞進行解題反思。

師：你認為問題中有沒有關(guān)鍵的詞？

生：有，“看了”，我們要解決的是“看了”多少頁。

師：那題目中的信息都要用到嗎？

生：不是的，一本書共270頁，這個信息是多余的。

師：“王強前3天看了78頁”是什么意思？

生：就是前3天一共看了78頁。

師：“后4天每天看了20頁”又是怎么理解呢？

生：這里的20頁是每天看20頁，不是這4天的看的，這4天一共看了多少頁，還得算一算。

學(xué)生針對問題中的關(guān)鍵詞“看了”的理解，排除了一個多余信息。通過對兩個關(guān)鍵句的理解，學(xué)生明白了第一個信息的78頁是3天一共看的，而第二個信息的20頁是“每天”看的。通過題意理解過程的反思，促使學(xué)生學(xué)會審題，弄清題意給解題奠定正確的基礎(chǔ)，使她們的審題能力獲得顯著提升。

2.反思解題的探索過程

在解決一個數(shù)學(xué)問題時，往往不是馬上就產(chǎn)生明確的解題思路，而是通過不斷地嘗試、推演，反復(fù)分析思考，才能是問題解決不斷地明朗和具體。反思解題的探索過程其實是對信息進行加工的過程，即重新思考信息的檢索、提取、組合及重新組合的過程。思考在探索過程中走過哪些彎路，為什么會遇到困難：是信息把握不準確，還是被淺層信息所迷惑？是單一地看待問題，還是將問題進行了分割？是思維方向單一，還是自我條件設(shè)置？特別是對探索過程中出現(xiàn)的靈感、直覺思維要充分挖掘，仔細分析，才能是探索過程變得具體化，從而應(yīng)用于平時的解題中。

例題：求下圖長方形ABCD的面積（單位：厘米）。

師：我們來回顧一下是怎么找到求長方形ABCD的面積的。

師：首先，要求長方形的面積，需要知道什么？

生：長方形的長和寬。

師：但是從圖中的數(shù)據(jù)，我們無法確定長方形的長和寬（學(xué)生在剛開始解決這個問題時，由于對求解長方形面積方法的方向單一性，只想到了要求長方形的面積，就必須知道長方形的長和寬，導(dǎo)致解題思路中斷。）。

師：我們能從圖中觀察到什么？又能求出什么呢？（需要重新對題目進行思考，對于所給的信息進行再次加工，探索解題思路。）

生：從圖中我們觀察到有一個直角三角形，并且知道底和高分別是6厘米和8厘米，那么就可以求出三角形的面積等于12平方厘米。

師：求出來是否有用呢？這個三角形跟長方形有什么關(guān)系呢？我們求一個圖形的面積，還有什么方法呢？（面對第一種常規(guī)思路無法解決問題時，我們就需要打開思路，重新探索解決方法。）

生：求一個圖形的面積，我們還可以對圖形進行割補。

師：通過我們對長方形進行分割的嘗試，我們可以觀察到三角形的面積正好是長方形面積的一半，從而求的長方形的面積。

學(xué)生從一開始的無從下手，到思路的慢慢顯現(xiàn)，反思解題的探索過程，讓學(xué)生再一次系統(tǒng)地經(jīng)歷求解的過程，幫助學(xué)生學(xué)會思考，將這樣的探索過程遷移到別的問題解決上。

3.反思推理過程

推理是從一個或幾個一致的判斷得出一個新的判斷的邏輯方法。反思推理過程就是重新思考邏輯基礎(chǔ)是否充分，得到了怎樣的新判斷，整個推理的過程是否嚴謹、周密。教師先是引導(dǎo)學(xué)生展開推理，然后通過反思推理的結(jié)果，利用問題串的形式，進一步提升對小數(shù)的意義的認識。使學(xué)生收獲的不僅僅是知識，還有推理的方法、經(jīng)驗和思想。

4.反思運算過程

運算能力是小學(xué)生高年級學(xué)生的一個重要能力，反思運算過程就是要檢驗整個運算過程，思考用到了什么運算法則，運用是否得當(dāng)，有無增、減、漏、筆誤等情況，運算過程是是否簡便，運算方法是否可以推廣等。

例題：典型錯題

師：這道題，運用了什么運算定律？

生：乘法分配律。

師：你認為用的對嗎？你有什么想說的？

生：不對，原來是99乘17，怎么變成100乘17了，

師：你認為這道題錯誤的原因是什么？

生：不能看到99就把99變成了100，不能改變數(shù)的大小，不然結(jié)果就會變化。

師：那應(yīng)該怎么聯(lián)系99和100呢？

生：將99變成100-1。再利用乘法分配律進行計算。

這樣的錯誤做法在學(xué)生中很常見，學(xué)生總是片面的覺得要把99變成100，而忽略了簡便計算的前提是不改變結(jié)果的大小。只是盲目地湊整，僅僅只知道計算的結(jié)構(gòu)上，而并沒有理解算式的意義。讓學(xué)生去反思自己運算過程，明確錯誤的原因和改正的方法，從而加深對簡便運算、乘法分配律的認識和運用。

5.反思語言表述過程

數(shù)學(xué)有其獨有、特殊的語言符號。反思數(shù)學(xué)語言表述過程，就是重新思考符號、公式的表意是否準確，使用的數(shù)學(xué)語言是否正確，語言的表述過程可否簡略等。

在學(xué)生展示并說明了不同的解題思路后，首先，教師可以提問學(xué)生：這幾種方法和思路你都聽懂了嗎？你覺得都對嗎？如果是對的，為什么對？如果是錯的，錯誤的原因什么？其次，比較幾種正確的解題思路，教師可以提問學(xué)生：這幾種思路的相同之處是什么，又有什么不同的地方？哪種方法更加簡便？對你又有什么啟發(fā)？

通過問題串的形式，引導(dǎo)學(xué)生理性地的思考自己的思維過程和表達過程，合理的質(zhì)疑，幫助學(xué)生形成自覺反思的意識，養(yǎng)成理性思考的習(xí)慣。

（二）反思解題涉及的知識

認識數(shù)學(xué)對象的過程，不是一蹴而就的，而是需要在一次次的數(shù)學(xué)活動中不斷地認識再認識。在不同在情境下，同一個數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)特征是不變的，但是表現(xiàn)出來的形式卻多種多樣。通過在不同情境下對同一數(shù)學(xué)對象進行反思，可以提高認識的水平，產(chǎn)生更多新的認識，不斷豐富和完善自己對數(shù)學(xué)對象的理解。

1.反思知識的理解

反思知識的理解就是重新思考解題過程中涉及的概念、公式、法則等，反思解決問題的關(guān)鍵知識是什么？對涉及到的知識是否理解清楚準確？各概念之間的有什么關(guān)系？公式、法則等成立的條件如何？更多地思考還有哪些知識沒有掌握，沒掌握的原因是什么，是否對原有的知識有個新的認識等。

2.反思知識的運用

同一個概念可以以不同的形式呈現(xiàn)在不同的情境中，同一公式、法則也可以運用于不同的情形。反思知識的運用，首先，要回顧知識運用的情境，以促成知識的遷移;其次，要思考如何運用知識解決問題，是否對數(shù)學(xué)知識做到了活學(xué)活用;最后還要思考知識運用的靈活程度與熟練程度。

例題：六年級學(xué)生報名參加數(shù)學(xué)興趣小組，參加的同學(xué)是六年級總?cè)藬?shù)的，后來又有20人參加，這時參加的同學(xué)與未參加的人數(shù)的比是3：4。六年級一共有多少人？

師：在解決這道題時，我們用到了哪些知識，你是如何理解的？

生：用到了分數(shù)的意義，把六年級總?cè)藬?shù)看成單位“1”;用到了比的意義，參加的同學(xué)與未參加的人數(shù)的比時3：4;我們可以分數(shù)乘除法來解決這類問題。

師：解決這樣類型的題，關(guān)鍵的知識是什么？

生：找到一個具體的量除以所對應(yīng)的分率，就能求出單位“1”的量，也就是六年級一共有多少人。

師：我們是怎么找到具體的量和它所對應(yīng)的分率的？

生：具體的量題目中已經(jīng)告訴我們了，而對應(yīng)的分率需要從題目中算出來。

師：在求對應(yīng)的分率時，你用到了什么知識來解決？

生：六年級的總?cè)藬?shù)是不變的，而參加的人數(shù)改變了，原來是總?cè)藬?shù)的，現(xiàn)在是總?cè)藬?shù)的，所以參加的同學(xué)就多了。

師：最后用分數(shù)除法列式計算：（人），就能求出六年級一共有多少人。

基本上每個學(xué)生都明確知道求單位“1”的方法，但是當(dāng)題目中所給的信息無法直接解決問題時，這就需要學(xué)生靈活的運用所學(xué)的知識。經(jīng)過這樣的對知識運用的反思，讓學(xué)生對這一知識有了更深刻的理解，進一步提高運用知識的能力。

（三）反思數(shù)學(xué)思想方法

反思數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)解題反思的一個重要內(nèi)容，對數(shù)學(xué)思想方法進行挖掘和提煉，幫助學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)會、掌握和運用，從而提高學(xué)生的思維水平和數(shù)學(xué)能力。

1.反思解題所涉及的思想方法

每種數(shù)學(xué)思想都不是出現(xiàn)在某一道特定的數(shù)學(xué)題中，往往出現(xiàn)在具體的解題過程之中。反思解題所涉及的數(shù)學(xué)思想方法，就是重新思考和探究在解題過程中用到了哪一種數(shù)學(xué)方法，該類方法運用的原理是什么，反映了什么數(shù)學(xué)思想，這種數(shù)學(xué)思想可以具體表現(xiàn)在哪一類情境中。

2.反思數(shù)學(xué)思想方法的具體運用

反思數(shù)學(xué)思想方法的具體運用就是要重新思考解題的方法和策略的運用過程、運用是否合理，具體的運用程序、運用的背景和特點、在運用的過程有哪些注意事項等。還可以反思數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)下數(shù)學(xué)知識，如何用數(shù)學(xué)思想和方法統(tǒng)帥具體問題的解決。

教學(xué)片段：

例題：客車和貨車同時從甲、乙兩地相向開出，8小時相遇，相遇后又行了6小時，這時客車到達乙地，問貨車還要幾小時才能到甲地？

解法一：以全程為單位“1”。

先算客車行駛完全程需要多少小時：（小時）

再算貨車的速度：

再算貨車行駛完全程需要多少時間：（小時）

最后算出貨車還要幾小時才能到甲地：（小時）

解法二：先算客車行駛完全程需要多少小時：（小時）

再算，行駛同樣的路程，貨車所用的時間是客車的多少倍？

再算貨車行駛完全程需要多少時間：（小時）

最后算出貨車還要幾小時才能到甲地：（小時）

師：在解決這道題時，我們用到了兩種方法，你認為最關(guān)鍵的是什么？

生：畫出線段圖。

師：畫出線段圖后有什么好處？

生：我可以一眼就能看出，客車行駛完全程用了14小時;同樣一段路程，客車用的時間是6小時，而貨車用了8小時;

師：你知道借用線段圖解決問題的方法叫什么嗎？

生：數(shù)形結(jié)合法。

師：是的，關(guān)于行程問題，在讀完題卻沒有解題思路時，我們可以借助畫線段圖，利用數(shù)形結(jié)合的方法幫助我們理清數(shù)量關(guān)系，從而解決問題。

（四）反思數(shù)學(xué)問題之間的聯(lián)系

新的數(shù)學(xué)問題的解題過程中，必然與一些做過的題或者似曾相識的有一定地練習(xí)，所以在解題后要可以進行必要的收斂性思索，對這些有聯(lián)系的問題一起進行反思，并概括出某種規(guī)律或經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生進行舉一反三，以達到融會貫通的目的。

1.反思問題情景的聯(lián)系

反思問題情景的聯(lián)系就是要回過頭去思考問題的情景、問題的呈現(xiàn)形式與曾經(jīng)遇見過的哪些問題有什么相同之處，又有何不同之處，探究其是表面上的相似還是本質(zhì)上的相似。

2.反思方法間的聯(lián)系

反思方法間的聯(lián)系就是要回過頭去思考在整個解題過程中用到的策略、方法是否在過去的解題中運用過，對比前后的運用，是否存在差異，是否有規(guī)律可尋，得到的規(guī)律能否推廣，不同的解法之間又有什么樣的聯(lián)系和區(qū)別等。

教學(xué)片段

例題：一個籠子里，雞和兔子一共有7只，共有腳22只，雞和兔子各有幾只？（復(fù)習(xí)課）

教師呈現(xiàn)新課教學(xué)中的四種方法：畫一畫、列表法、算一算、解方程。

環(huán)節(jié)一：溝通畫一畫和列表法。教師畫一步，學(xué)生填表。

環(huán)節(jié)二：溝通畫一畫和算一算。教師畫一步，學(xué)生算一步。

環(huán)節(jié)三：體驗畫一畫和解方程。

環(huán)師：請你仔細觀察這四種解法，說說你的看法？

生：這四種方法其實是一樣的，只是呈現(xiàn)的方式不一樣。

師：是啊，都用到了“假設(shè)法”。

學(xué)生經(jīng)歷了對四種方法的再思考再溝通，通過反思，發(fā)現(xiàn)四種解法只是表達形式的不同，而內(nèi)在的本質(zhì)是一樣的，都是用到了“假設(shè)法”來思考問題的。從而將只關(guān)注表面的數(shù)學(xué)知識和技能，發(fā)展為更多地關(guān)注學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，比如思想、策略和方法等。

（五）反思是否可以拓展延伸

在解題之后，不僅要進行收斂性思考，還可以拓廣，進行發(fā)散性思考。

1.解題思路的拓展延伸

同一個數(shù)學(xué)問題，如果從不同的角度去思考，或者對信息采用不同的組合加工形式，那么在解題過程中所使用的解題策略、方法就不同，從而蘊含的數(shù)學(xué)思想也會有所不同。在完成解題后，不要拘泥于一種解題方法或解題模式，而是要多角度、多層次的探索不同的解題思路。在得到一題多解以后，比較各種解法之間的相同和不同之處，尋求最簡單、最自然、最合理的解題途徑。

2.問題本身的拓展延伸

學(xué)生不僅要具備解決問題的能力，也要學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題，更要學(xué)會提出問題，以提出問題為起點進行進一步地思考。這就要求對問題本身作更高層次的反思，求變求推廣。從問題本身出發(fā)，能否推出更一般或更特殊的問題;改變、刪減問題的條件，擴大或縮小條件的范圍，進行一題多變;提出開放型、探究型的問題等。以達到在變中求“活”、求“異”、求“新”、求“廣”。

教學(xué)片段：

例題：比較和的大小。

解法一：分母通分，，所以。

解法二：化為小數(shù)，，所以。

解法三：化為同分子分數(shù)：，，所以。

師：反思問題的特征，問題與結(jié)論的聯(lián)系，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（小組討論）

生：這兩個分數(shù)的分子相差2，分母也相差2。

師：你認為像這樣，分數(shù)的分子和分母相差一樣多時，他們之間有什么樣的大小關(guān)系？

生：分子和分母比較小的那個分數(shù)就小，分子和分母都比較大的那個分數(shù)就大。

師：同學(xué)們說的很有道理，其實啊，還有個前提，這樣的分數(shù)必須是真分數(shù)。也就是一個真分數(shù)的分子和分母同時加上一個相同的數(shù)（零除外），這個真分數(shù)就就會變小。

師：你能舉例來說一說嗎？

在復(fù)習(xí)完三種分數(shù)比較大小的方法后，再回去思考問題，從問題出發(fā)去發(fā)現(xiàn)一個規(guī)律，以此規(guī)律再來判斷分數(shù)之間的大小關(guān)系，拓廣了解題的思路，也可以將此“新”解法推廣。

（六）反思解題的情感與態(tài)度

對于小學(xué)高年級學(xué)生來說，反思解題涉及的知識、方法、思路等都是比較常見的，但卻往往忽視了解題的情感與態(tài)度。事實上，在學(xué)生的整個解題的過程中，不僅有知識的存在，也有情感和態(tài)度的參與，缺乏解題情感和態(tài)度的反思顯然是不完善的。因此，在引導(dǎo)學(xué)生反思知識、方法，形成新的認知結(jié)構(gòu)的同時，還應(yīng)該營造反思解題態(tài)度和情感情境，以催化、強化積極的解題反思的情感和態(tài)度，從而完善認知、健全品格，促進學(xué)生全面發(fā)展。

師：同學(xué)們，今天這節(jié)《百分數(shù)的應(yīng)用》你感覺學(xué)得怎么樣？如果從“滿意”和“遺憾”這兩個角度來評價自己，你能用百分數(shù)來說一說嗎？

生1：滿意占100%，沒有遺憾。因為我覺得百分數(shù)很好理解，今天的題我都會做，而且速度很快。

生2：滿意占80%，遺憾占20%。因為有一道題，我因為沒理解題意，最后列算式列錯了。

生3：滿意占50%，遺憾站50%。因為這節(jié)課，我有一些題沒有做出來，但是聽了同學(xué)的發(fā)言和老師的發(fā)言，我弄明白了。

師：看來，大部分同學(xué)既有滿意的地方，也有遺憾的地方，希望同學(xué)們可以多多思考滿意什么，又有什么遺憾。爭取滿意多一點，遺憾少一點。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，源自學(xué)生的思考和質(zhì)疑，反思和解題反思正是一項重要的思維活動，教師要引導(dǎo)學(xué)生不斷地進行反思、帶著問題去思考和探究，多角度地觀察、聯(lián)想，從而尋求更多的思維方式。只有這樣，才能真正提高學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新意識，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

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