摘要:函數(shù)最值問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容,因其解法靈活多樣,且綜合性強(qiáng),對(duì)于學(xué)生而言是一大難點(diǎn).解決函數(shù)最值問(wèn)題的關(guān)鍵是方法的選擇,而在求解函數(shù)最值的諸多方法中,數(shù)形結(jié)合法處于一個(gè)十分重要的地位.函數(shù)最值問(wèn)題往往與其他知識(shí)內(nèi)容綜合起來(lái)進(jìn)行考查,這需要解題者善于對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析、處理,將其轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題情境.
關(guān)鍵詞:函數(shù)最值問(wèn)題;解題方法;數(shù)形結(jié)合
函數(shù)最值問(wèn)題作為高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容,因其解法靈活多樣,且綜合性強(qiáng),對(duì)于學(xué)生而言是一大難點(diǎn),需要解題者能夠綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)各方面內(nèi)容,選擇正確易解的方法進(jìn)行求解。在求解函數(shù)最值問(wèn)題的方法中,數(shù)形結(jié)合法處于一個(gè)十分重要、不可或缺的地位.當(dāng)題目涉及到函數(shù)的圖像和幾何意義,此時(shí)借助條件中隱含著的幾何信息,以形助數(shù),不僅可以幫助我們開(kāi)闊解題思路使問(wèn)題變得清晰直觀(guān)、簡(jiǎn)捷易解,幫助我們開(kāi)闊解題思路,還可以避免錯(cuò)解,提升問(wèn)題解決的能力 [1].
本文從一道數(shù)學(xué)高考題出發(fā),揭示解題過(guò)程中的思維演進(jìn)和問(wèn)題轉(zhuǎn)化,從而加深對(duì)函數(shù)最值問(wèn)題的認(rèn)識(shí)與理解,促進(jìn)數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展.
一、問(wèn)題呈現(xiàn)
分析:變式與原題的呈現(xiàn)方式不同,此題給出一個(gè)初等函數(shù),解題者需要觀(guān)察函數(shù)的形式,通過(guò)巧妙地?fù)Q元進(jìn)行求解,這部分的處理略有難度,對(duì)解題者的解題經(jīng)驗(yàn)有一定的要求.順利完成對(duì)問(wèn)題的初步表征后,此時(shí)的問(wèn)題情境與原題本質(zhì)上是相同的,都是通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法,求解直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交時(shí)的最值問(wèn)題.但需要注意的是,此題中的曲線(xiàn)存在限制條件,并非原題中的整圓情形,而是位于 軸上方的半圓,因此解答時(shí)需要注意范圍的限制,以防錯(cuò)解.
四、回顧反思
回顧本題的解題過(guò)程,有以下兩點(diǎn)感悟:
一是靈活選擇解題方法.函數(shù)最值問(wèn)題的解法多樣,解題時(shí)需要根據(jù)問(wèn)題的情境以及給出的條件靈活選擇解題方法.其中,數(shù)形結(jié)合法往往會(huì)使問(wèn)題變得簡(jiǎn)潔、直觀(guān),通過(guò)將數(shù)量關(guān)系與空間形式巧妙結(jié)合,解題者會(huì)更容易發(fā)現(xiàn)解題信息之間的關(guān)聯(lián),從而迅速找到問(wèn)題的突破口.因此,解題者需要充分挖掘“數(shù)”背后隱含著的“形”方面的信息,當(dāng)問(wèn)題涉及函數(shù)圖像以及相關(guān)幾何意義時(shí),優(yōu)先考慮數(shù)形結(jié)合的方法,提高解題的效率.
二是善于轉(zhuǎn)化問(wèn)題情境.求解本題的一個(gè)難點(diǎn)在于如何處理題目中給出的 ,利用平面向量的相關(guān)知識(shí),將求 的最大值轉(zhuǎn)化為求 的最大值,對(duì)于部分解題經(jīng)驗(yàn)欠缺的解題者來(lái)說(shuō)無(wú)疑是十分棘手的.然而解題目標(biāo)(求 的最大值)一經(jīng)轉(zhuǎn)化,此時(shí)問(wèn)題就變?yōu)槲覀兪煜さ念}型,即直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交時(shí)的最值問(wèn)題,問(wèn)題到此往往可以得到順利解答.因此,在解題過(guò)程中,我們需要善于“撥云見(jiàn)日”,去除覆蓋在問(wèn)題表面的復(fù)雜形式,發(fā)掘問(wèn)題考察的實(shí)質(zhì)內(nèi)容,將問(wèn)題回歸于我們熟悉的問(wèn)題情境,將解題思維由朦朧的問(wèn)題表征引向光明的通途[2].
參考文獻(xiàn)
[1] 戴海軍.巧用數(shù)形結(jié)合思想求解最值問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2018(27):17-18.
[2] 段志貴.數(shù)學(xué)解題研究——數(shù)學(xué)方法論的視角[M].北京:清華大學(xué)出版社,2018:17-19.
作者簡(jiǎn)介:
楊潔濤(1997-)男,漢族,安徽省滁州市,碩士研究生,研究方向:中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)