江蘇省沙溪高級中學(xué) (215421) 譚海洋

解題教學(xué)，是數(shù)學(xué)教學(xué)重要的組成部分.解題教學(xué)的目的是什么，最直白的說法就是讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何解題.于是習(xí)題課上，教師們往往十分注重解題方法的傳授，都希望借助一個(gè)問題的解決來突破一類問題的解法，期待通過“一例多練”來達(dá)到理想的教學(xué)效果，然而往往事與愿違，雖然有些相類似的題目在課堂上教師講了多遍，學(xué)生也練了多遍，但考試中學(xué)生對這些題目依然“視若路人”.那么原因何在？難道教師重視解法的教學(xué)有錯(cuò)？的確，實(shí)踐證明只注重傳授解法的解題教學(xué)是達(dá)不到理想的教學(xué)效果的.筆者倒認(rèn)為，對于解題教學(xué)，與其說教解法，不如說教想法，教學(xué)生“想法”才是理想的解題教學(xué).本文結(jié)合教學(xué)案例談?wù)勛约旱目捶?

1、引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)審題，獨(dú)立思考，說出“想法”

審題，是解題的“前奏”，學(xué)生解題失敗往往是因?yàn)樗麄內(nèi)狈︻}目的認(rèn)識(shí)，缺乏獨(dú)立思考的能力，為此教師在解題教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)審題訓(xùn)練，有意識(shí)的設(shè)置思維障礙，有時(shí)可以讓學(xué)生在“形同質(zhì)疑”題中“吃點(diǎn)虧”，從內(nèi)心深處感悟?qū)忣}的重要性，并通過對比與思考，說出自己的“想法”.

案例1 一道函數(shù)綜合題的解法糾錯(cuò)

高一階段學(xué)習(xí)了函數(shù)內(nèi)容后，筆者上了一堂函數(shù)綜合應(yīng)用的習(xí)題課，給出了如下題讓學(xué)生獨(dú)立解答.

例1 已知函數(shù)f(x)=loga(ax2-x+2)值域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

在解題前，我要求學(xué)生認(rèn)真審題，再交流自己的“想法”.

對于這種解法，幾乎三分之二的學(xué)生認(rèn)為正確，而其余學(xué)生則不認(rèn)同，但說不出所以然來，于是筆者給出例1的變式題：

變式已知函數(shù)f(x)=loga(ax2-x+2)定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R就是ax2-x+2>0恒成立，不就是學(xué)生1的解答嗎？一字之差，怎么會(huì)答案完全一致呢？筆者要求學(xué)生再次審題，獨(dú)立思考，并說出自己的“想法”.

學(xué)生2：學(xué)生1的解答是錯(cuò)誤的，他把定義域?yàn)镽當(dāng)成了值域?yàn)镽.我認(rèn)為值域?yàn)镽，并不要求定義域?yàn)镽，而“定義域?yàn)镽”也不能保證“值域?yàn)镽”，其實(shí)只需內(nèi)函數(shù)y=ax2-x+2的值域中含有(0,+∞)即可.我是這樣解的：

當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)y=ax2-x+2即為y=-x+2，一次函數(shù)的值域?yàn)镽，含有(0,+∞)，符合；

至此，例1的正確解法已“浮出水面”.在教師的引領(lǐng)下，學(xué)生不僅注意到審題的重要性，同時(shí)也發(fā)表了自己的“想法”，在互相補(bǔ)充與完善中，不斷提升數(shù)學(xué)思維能力.

從本案例可以看出，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，說出“想法”，是解題教學(xué)的必由之路，從本質(zhì)上看，這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)是教師引導(dǎo)學(xué)生如何分析問題.試想，如果教師一味地講解法，卻忽視問題的分析，那么學(xué)生怎么可能實(shí)現(xiàn)“解決問題”的最終目的！

2、引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑補(bǔ)充，獨(dú)立動(dòng)手，實(shí)施“想法”

在許多教師看來，解題教學(xué)就是教會(huì)學(xué)生形成解題思路，學(xué)生在教師引導(dǎo)下產(chǎn)生解題的“想法”便認(rèn)為是“大功告成”了，于是教師會(huì)迫不及待的換上一個(gè)新的問題繼續(xù)探討.表面上看似乎加大了教學(xué)容量，學(xué)生會(huì)收益更多，其實(shí)不然，這種解題教學(xué)模式，會(huì)造成學(xué)生“只會(huì)說，不會(huì)做”，這種“眼高手低”現(xiàn)象歸咎于只有理論指導(dǎo)沒有實(shí)戰(zhàn)演練.常言道：紙上得來終覺淺，實(shí)踐才可出真知.筆者以為，解題教學(xué)，學(xué)生實(shí)戰(zhàn)演習(xí)的環(huán)節(jié)不可少，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑補(bǔ)充，獨(dú)立動(dòng)手，實(shí)施學(xué)生各自的“想法”.

案例2 一道解析幾何題的解法質(zhì)疑

解析幾何的重要教學(xué)目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，在教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，對于解析幾何題的解法，學(xué)生們大都說個(gè)子丑寅卯，但考試時(shí)失分卻很嚴(yán)重，其根本原因主要有選擇方法不當(dāng)或計(jì)算不過關(guān)，為了解決這個(gè)問題，筆者在圓錐曲線習(xí)題課上，給出如下問題要求學(xué)生確定解題策略，并加以獨(dú)立解答.

學(xué)生1：本題是直線與圓錐曲線位置關(guān)系含參問題，一般可借助“設(shè)而不求”的技巧，利用一元二次方程根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系來求解，我的解法如下：

學(xué)生3：學(xué)生2的解法雖然優(yōu)于學(xué)生1的解法，但我感覺還是計(jì)算量太大，而且需分類討論，一旦忘記了直線AB斜率不存在的情形，最終會(huì)導(dǎo)致解答對而不全的嚴(yán)重后果.而我利用了向量共線所得到兩個(gè)關(guān)系式(橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的關(guān)系都利用)來解，感覺比他們簡捷.

師:第三位同學(xué)的解法雖然沒有對x1+x2與x1x2的整體代入變形，但是計(jì)算量明顯比前兩位同學(xué)的解法小，而且由于沒有新的參數(shù)k，使得字母較少，變形的目標(biāo)更加明確.因此我們解答直線與圓錐曲線的問題時(shí)，不要過分依賴一元二次方程根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系，當(dāng)解方程組比較簡單時(shí)，不妨直接求出有關(guān)未知數(shù)的解，然后利用未知數(shù)的取值范圍建立不等式.

從本案例可以看出，學(xué)生說出“想法”誠可貴，但實(shí)施“想法”價(jià)更高.實(shí)施“想法”的過程中，能讓他們的數(shù)學(xué)思維暴露得更真實(shí)，能讓他們在互相質(zhì)疑中，不斷提高認(rèn)識(shí)，完善解答，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這不正是解題教學(xué)的目的嗎？由于實(shí)施“想法”要有充分的時(shí)間，所以教師應(yīng)該舍得把解題的時(shí)間還給學(xué)生，寧可少講一道題，也要讓他們把“想法”變成“現(xiàn)實(shí)”.

3、引導(dǎo)學(xué)生提煉思想，一題多變(多解)，升華“想法”

在解題教學(xué)中，教師不僅要教學(xué)生如何解題，更要教學(xué)生研究題目，研究題目的背景與知識(shí)點(diǎn)，研究解題的解法或解法中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，研究題目的可變性等要素，只有這樣，才能提升他們的數(shù)學(xué)思維水平，升華他們的“想法”，才能讓解題教學(xué)達(dá)到“通過一道題，解決一類題”的理想境界.

案例3 一堂基本不等式應(yīng)用的探究課

基本不等式堪稱求解最值問題的利器，面對一個(gè)具體問題，教師不僅要讓學(xué)生產(chǎn)生創(chuàng)造條件善于應(yīng)用基本不等式的“想法”，更要讓他們站在命題者的角度去嘗試“變(編)題”，舉一反三，從而從而實(shí)現(xiàn)把知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的目的.基于此，筆者上了一堂基本不等式應(yīng)用的自主變式探究課.

教師給出例題，要求先學(xué)生解答例題，并在例題基礎(chǔ)上圍繞基本不等式的應(yīng)用進(jìn)行趣味橫生的“變式接龍”活動(dòng).

師：此類問題的特點(diǎn)在于已知條件中變量位于分子(或分母)位置上，所求表達(dá)式變量的位置恰好相反，位于分母(或分子)上，則可利用常數(shù)“1”將已知與所求進(jìn)行相乘，從而得到常數(shù)項(xiàng)與互為倒數(shù)的兩項(xiàng)，然后利用基本不等式求解.下面請同學(xué)們根據(jù)例題圍繞基本不等式的應(yīng)用自主變式，并交流發(fā)言.

學(xué)生2：我由x+y=1聯(lián)想到sin2α+cos2α=1，于是把它變成一個(gè)三角函數(shù)最值問題：

學(xué)生3：我把條件與結(jié)論互換，得到如下變式：

學(xué)生4：我把條件變成直線方程的背景，得到如下變式：

學(xué)生5：我把例題的條件與所要求的最值的代數(shù)式都變得復(fù)雜些：

學(xué)生6：我把例題的條件與所要求的最值的代數(shù)式都變得復(fù)雜更復(fù)雜：

學(xué)生7：剛才大家編的題目都是變量一次型的，我編了個(gè)二次型的：

學(xué)生8：我把條件等式和所求最值的代數(shù)式都變成二次型：

……

真是一石激起千層浪，學(xué)生們躍躍欲試，幾乎每位學(xué)生都展示了自己的“佳作”.實(shí)際上，提出問題比解決問題更重要.解題教學(xué)，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生解決問題，更要引導(dǎo)學(xué)生提出問題，因?yàn)檫@是一條提煉思想，升華“想法”的“綠色通道”.從本案例可以看出，一個(gè)問題的解決不是解題教學(xué)的結(jié)束，而是點(diǎn)燃學(xué)生“想法”的“導(dǎo)火索”.在解題教學(xué)中，教師應(yīng)該充分相信學(xué)生，把思考的時(shí)間與空間還給學(xué)生，并積極加以引導(dǎo)，那么，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與能力必將得到升華，這樣的課堂必然會(huì)活力四射.

什么是理想的解題教學(xué)？筆者以為，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)題有“想法”，實(shí)施“想法”，并循著數(shù)學(xué)規(guī)律不斷產(chǎn)生新的“想法”的解題教學(xué)才是理想的解題教學(xué)，因?yàn)檫@種教法不僅符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，而且能讓學(xué)生的核心素養(yǎng)得到全面發(fā)展.