江蘇省南通田家炳中學(xué) 楊 旭

趣味性問題是指基于學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、學(xué)情、心理特點(diǎn)設(shè)計的問題，學(xué)生在學(xué)習(xí)問題時會產(chǎn)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)欲望，愿意主動經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、探究、抽象、鞏固、梳理、延伸的過程?，F(xiàn)應(yīng)用“相似三角形”的教學(xué)案例說明趣味性問題的設(shè)計與實踐方法。

一、導(dǎo)入——提出問題

在導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師要應(yīng)用一則典型的數(shù)學(xué)案例，讓學(xué)生把抽象化的概念與具象化的體驗結(jié)合起來，讓學(xué)生回顧以往的知識，夯實學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，從而能夠為開展后續(xù)的學(xué)習(xí)打好準(zhǔn)備。在這一環(huán)節(jié)，教師不必給出具有很大難度的問題，而要確保問題的典型性。當(dāng)學(xué)生能結(jié)合以往學(xué)過的知識找到問題的答案時，他們會產(chǎn)生成就感，這種成就感會讓他們有信心進(jìn)行后續(xù)的學(xué)習(xí)。

問題1：如圖1，線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，請寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系，并應(yīng)用數(shù)學(xué)理論說明自己的依據(jù)。

圖1

學(xué)生回答：在△AOD中，∠AOD=180 ° - ∠A- ∠D；在△BOC中， ∠BOC=180 ° - ∠B- ∠C。 應(yīng) 用對頂角相等的性質(zhì)可得∠AOD=∠BOC，那么可得180°-∠A-∠D=180°-∠B-∠C，從而可得∠A+∠D=∠B+∠C。

【設(shè)計思路】應(yīng)用典型的案例，幫助學(xué)生回顧了對頂角相等的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和的知識，學(xué)生在解決問題過程中夯實了基礎(chǔ)知識。

二、探究——交流問題

當(dāng)學(xué)生理解一個數(shù)學(xué)問題以后，教師需要引導(dǎo)學(xué)生辨析問題，了解這個數(shù)學(xué)問題背后呈現(xiàn)的機(jī)理，形成數(shù)學(xué)理論。如果教師能夠遵循學(xué)生的學(xué)情，讓學(xué)生由淺入深地學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)自主性，那么學(xué)生就會感受到學(xué)習(xí)的樂趣。學(xué)生在學(xué)習(xí)時，受到知識視野、思維水平、實踐能力的局限，有時會遇到學(xué)習(xí)挫折。為了幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)困難，教師需要引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用合作學(xué)習(xí)的方法共同探究知識，以此讓學(xué)生感受到交流的樂趣，并讓學(xué)生在共同突破學(xué)習(xí)困境的過程中感受到探究知識的樂趣。

問題2：（1）圖2 中有幾對“對頂三角形”？（2）如果∠D=40°，∠B=36°，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N，請利用三角形對頂角的性質(zhì)來計算∠P的度數(shù)；（3）假設(shè)∠D和∠B為任意角，其他條件不變，你認(rèn)為∠P與∠D、∠B之間的關(guān)系是什么？

圖2

【設(shè)計思路】讓學(xué)生分工合作逐步完成這三個任務(wù)，在任務(wù)完成以后交流學(xué)習(xí)，交換知識。（1）不僅要求學(xué)生找到正確的答案，還要找到解題的方法，令學(xué)生意識到在復(fù)雜的幾何圖形中要找到正確的圖形，可以將角、邊等作為依據(jù)，避免重復(fù)找圖，或者漏掉圖形。該題需要學(xué)生具備發(fā)散思維和聚斂思維，在訓(xùn)練思維的過程中，學(xué)生能感受到思維提升的快樂。（2）結(jié)合問題（1）中獲得的知識來解題，驗證自己學(xué)習(xí)到的知識，產(chǎn)生學(xué)習(xí)成就感。（3）讓學(xué)生結(jié)合幾何圖形的特殊性，與自己的直覺形成數(shù)感，然后驗證自己的感覺，在探索、驗證的過程中感受學(xué)習(xí)的樂趣。

三、建構(gòu)——形成理論

當(dāng)學(xué)生通過探索獲得知識以后，需要形成知識體系。教師需要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)典型習(xí)題，結(jié)合具象化的案例來形成抽象理論知識，并在完成習(xí)題的過程中梳理知識，形成知識體系，這一體系就是學(xué)生需要掌握的理論知識。

問題3：（1）如圖3，計算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=？（2）如圖4，如果已知∠B=50°，∠D=32°，∠BAM= ∠BAD，∠BCM= ∠BCD，請計算∠M。（3）如圖5，設(shè)∠B=x°，∠D=y°，∠BAM=∠BAD，∠BCM=∠BCD，請用含n、x、y的式子表示∠M的度數(shù)。（4）如圖6，已知點(diǎn)E在BA的延長線上，∠DAE的平分線和∠BCD的平分線交于點(diǎn)N，請計算∠ANC。（5）如圖7，已知點(diǎn)E在BA的延長線上，點(diǎn)F在BC的延長線上，∠DAE的平分線和∠DCF的平分線交于點(diǎn)P，請直接寫出∠APC的度數(shù)。

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

【設(shè)計思路】讓學(xué)生通過完成這幾道習(xí)題，全面回顧與相似三角形有關(guān)的知識。學(xué)生邊完成這幾道習(xí)題，邊回憶相關(guān)的概念、理論，為梳理知識體系做好準(zhǔn)備。

四、鞏固——解決問題

學(xué)生是否掌握理論知識，要從學(xué)生知識轉(zhuǎn)化的效果來驗證。教師需要為學(xué)生設(shè)計習(xí)題，幫助學(xué)生驗證知識結(jié)構(gòu)。教師設(shè)計的習(xí)題要緊扣相關(guān)知識點(diǎn)，讓學(xué)生了解自己是否掌握了知識點(diǎn)、是否了解知識點(diǎn)與知識點(diǎn)之間的聯(lián)系。

問題4：如圖8，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且BO，CO分 別 平 分∠ABC， ∠ACB。（1）如果∠ABC=80°，并且∠ACB=60°，計算∠BOC。（2）如果∠A=40°，求∠BOC的度數(shù)。（3）如果∠A=α，請含α的代數(shù)式表示∠BOC。

圖8

【設(shè)計思路】當(dāng)學(xué)生完成知識體系的梳理以后，需要讓學(xué)生應(yīng)用理論解決問題，讓學(xué)生驗證知識體系是否存在缺陷。這三道習(xí)題緊扣概念和理論，（1）需要應(yīng)用三角形的內(nèi)角和定理求值，（2）（3）需要應(yīng)用角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理求值。三道習(xí)題全面、系統(tǒng)地幫助學(xué)生驗證知識結(jié)構(gòu)。

五、延伸——深化問題

如果要讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識的樂趣，就要讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)知識的變化。比如，學(xué)生需要看到，一個已知條件或者一個未知答案的變化，會讓解題的過程發(fā)生哪些變化。這種讓習(xí)題開放式的變化，能讓學(xué)生的視野變得開闊，同時也要讓學(xué)生看到普遍性問題和特殊性問題之間的變化，使學(xué)生看到抽象化理論應(yīng)用于具象化問題中，可以發(fā)生哪些變化。

問題5：（1）如圖9，如果BO，CO分別平分△ABC的兩個外角，你認(rèn)為∠BOC與∠ABC的關(guān)系是什么？（2）如圖9，如果BO，CO分別平分△ABC的一個內(nèi)角和一個外角，交于點(diǎn)O，你認(rèn)為∠O與∠A之間是什么關(guān)系？

圖9

【設(shè)計思路】這兩道習(xí)題都是問題4 的變式。（1）考核學(xué)生的聚斂思維，如果學(xué)生具備類比和推理的思維，就能從解答問題4 中得到啟示，應(yīng)用問題4 中獲得的理論來建構(gòu)新的解題模型。于學(xué)困生而言，這是一道具有挑戰(zhàn)性的問題。（2）考核學(xué)生的想象力，這一題對于學(xué)中生而言有一些難度，學(xué)優(yōu)生也需要通過思考才能得到答案。學(xué)生可以通過發(fā)散聯(lián)想，關(guān)聯(lián)知識點(diǎn)來逐漸推理出問題的答案。學(xué)中生和學(xué)優(yōu)生可以在解答（2）中享受到挑戰(zhàn)難題的樂趣。

讓學(xué)生完成趣味性的習(xí)題，可以起到讓學(xué)生以完成習(xí)題作為目標(biāo)，指引自己快樂學(xué)習(xí)的效果。如果要讓習(xí)題具有趣味性，首先，就要明晰習(xí)題設(shè)計的目標(biāo)，讓學(xué)生每完成一道習(xí)題就能獲得成就感；其次，要讓知識深入探究的過程循序漸進(jìn)地發(fā)生，使學(xué)生能夠奠定好學(xué)習(xí)基礎(chǔ)以后，做好后續(xù)的知識挑戰(zhàn)；最后，習(xí)題要具有層次性，讓每個層次的學(xué)生都能感受到完成習(xí)題的樂趣。