文|馮舒瑩

《平行與垂直》是小學(xué)數(shù)學(xué)的經(jīng)典課例，研究的教師比比皆是。在《小學(xué)教學(xué)設(shè)計》2020年11月刊“典型課例”欄目中就刊登了張森、居曉紅老師關(guān)于這節(jié)課同課異構(gòu)的兩篇課例，著名特級教師劉松對這兩節(jié)課進(jìn)行了深度點評，閱讀下來感悟很深。張老師借助智慧課堂技術(shù)，致力于發(fā)展學(xué)生的空間觀念；居老師從學(xué)生知識起點出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的學(xué)習(xí)歷程。仔細(xì)分析兩位老師的課堂，除了都是精彩紛呈、各有巧思之外，還有一個最大的區(qū)別：張老師先教平行后教垂直，居老師則先教垂直后教平行。對此，劉松老師在點評中這樣說：“基于兒童視角，平行與垂直這兩個抽象概念中垂直更直觀可檢驗，學(xué)生會更容易掌握，但人教版等教材均是先學(xué)平行（不相交）后學(xué)相交和特例（垂直），這不是教學(xué)設(shè)計的絕對順序，也不是課堂教學(xué)的唯一選擇?！?/p>

平行與垂直是并列的兩個概念，不同的教學(xué)順序具體有怎樣的區(qū)別呢？為了弄清楚這個問題，根據(jù)張老師和居老師的課例，我整理出兩種教學(xué)流程：

同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系可分為相交、不相交與重合。相交研究兩直線的角度，不相交（平行）研究兩直線間的距離，重合既沒有角度也沒有距離，因此一般不研究。

兩種教學(xué)順序都抓住了同一種重要但學(xué)生易混淆的模型，即看似不相交但延長后會相交的兩直線，以凸顯平行與垂直的最大區(qū)別——相交，以“相交”為概念起點，之后教學(xué)順序走向分流。下面分別摘錄了張老師和居老師課例的教學(xué)片斷，試圖分析兩種不同順序的教學(xué)邏輯。

【教學(xué)片斷1】

師：③號圖形看似不相交，實際則相交。那④號圖形延長后，會不會相交？

（學(xué)生猜想后，在平板電腦上驗證）

師：無限延長都不會相交嗎？

生：都不會。

師：除了延長，是否會相交還可以怎么看？

生：還可以看它們之間的距離。

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師：通過剛才的分類辨析，我們知道同一個平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系分為相交和不相交兩種。不相交的這兩條線叫做平行線。

在學(xué)生已經(jīng)猜想驗證兩條直線是否相交后，張老師直接驗證平行，前后任務(wù)銜接非常自然，學(xué)生能馬上猜想操作，思維沒有停滯，這是因為這一過程符合邏輯。判斷平行與垂直的鑰匙在于“相交”。由“相交”到“垂直”的過程需經(jīng)歷尋找特殊位置關(guān)系的一步，不能直接跳躍到“垂直”。而到“平行”卻只要否定就能直接指向目標(biāo)。以“相交”為判定標(biāo)準(zhǔn)，按照教材從否定方向推出“平行”的概念，思維可以一步到位，遵循的是一種更加簡潔明晰的邏輯順序。

【教學(xué)片斷2】

教師講解“相交”和“交點”的概念。

師：仔細(xì)觀察這五組相交的直線，你發(fā)現(xiàn)了什么相同點和不同點？

生1：每一組直線都相交，都有一個交點。

生2：兩條相交的直線會形成一個角，每一組角的大小都不同。

學(xué)生驗證直角，教師小結(jié)垂直的概念。

居老師是為數(shù)不多先教垂直的。找相交直線的不同時，學(xué)生馬上分析角度不同，抓住了垂直的本質(zhì)，這是因為角與角度是學(xué)生已有的認(rèn)知，學(xué)生在本冊第三單元剛學(xué)過角的度量，對再次出現(xiàn)的角度比較敏感，能馬上調(diào)動起相關(guān)經(jīng)驗，對平行則較為陌生；從操作簡易程度來說，相較于驗證平行要測量距離，驗證垂直僅需一把三角尺或量角器，操作時學(xué)生更為輕松、迅速，表達(dá)時更加自如、規(guī)范，能將抽象的概念層層內(nèi)化。同時，按照皮亞杰同化與順應(yīng)的理論，新知識的學(xué)習(xí)可以被舊知識包容，也可以順著已有知識延伸生長，由熟悉的“相交”“直角”到新知識“垂直”，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

結(jié)合上述分析可以發(fā)現(xiàn)，兩種教學(xué)順序分別從教學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在邏輯和學(xué)生心理特點、認(rèn)識能力兩方面考量，安排教學(xué)順序，看似過程相左，實則殊途同歸。

教學(xué)順序是教學(xué)邏輯的體現(xiàn)，數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，知識體系具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)南到y(tǒng)性，故而數(shù)學(xué)教學(xué)的邏輯非常重要。因此，依據(jù)以上分析與思考，結(jié)合數(shù)學(xué)知識邏輯和學(xué)生心理發(fā)展的特點，筆者認(rèn)為在數(shù)學(xué)教學(xué)時應(yīng)該處理好以下三種關(guān)系：

1.各個教學(xué)內(nèi)容之間的邏輯關(guān)系。

在教學(xué)圖形與幾何時，不能割裂地看待各個教學(xué)內(nèi)容，不僅要注重對每一個教學(xué)內(nèi)容的準(zhǔn)確理解，還要關(guān)注該教學(xué)內(nèi)容在整個知識系統(tǒng)中的位置以及它們之間的關(guān)系。這種關(guān)系一方面體現(xiàn)在一節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容在其所處的學(xué)科知識中的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)性；另一方面體現(xiàn)在前后教學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系上。以點、線、面、體的邏輯關(guān)系為例，點動成線，線動成面，面動成體，四者關(guān)系密切。但因為課時、學(xué)段、教學(xué)內(nèi)容的劃分等多種原因，無法一次性連貫地把相關(guān)知識教授完畢，那么在教學(xué)相關(guān)內(nèi)容時，應(yīng)有意識地互相滲透、互相溝通。

2.教學(xué)內(nèi)容自身的邏輯關(guān)系。

教學(xué)內(nèi)容不管是陳述性知識還是程序性知識，都需關(guān)注其自身的邏輯關(guān)系，學(xué)生以這種邏輯將新知識融合匹配到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。以《平行與垂直》為例，“相交”就是知識點之間的邏輯連接，不能跳過“相交”孤立地來看“平行”“垂直”，故本課所有課例都先拋出相交的概念，借由這一邏輯連接，后續(xù)知識才能一一銜接，學(xué)生的知識體系才能環(huán)環(huán)相扣、越來越完善。

計算教學(xué)同樣也有自身的邏輯關(guān)系，以乘法為例，乘法以同數(shù)連加為現(xiàn)實模型，各個版本教材都是以加法作為邏輯連接，浙教版教材更是在一年級連續(xù)教學(xué)加法與乘法。這告訴我們對數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解要環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)，切不可跳躍式教學(xué)。

3.學(xué)生心理特點和認(rèn)知能力與教學(xué)順序的關(guān)系。

學(xué)生是教與學(xué)互動中的主體，教學(xué)順序要依據(jù)學(xué)生的心理特點和認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，遵循由簡單到復(fù)雜、由具體到抽象、由低級到高級螺旋上升的過程。教學(xué)中要處理好學(xué)生心理特點和認(rèn)知能力與教學(xué)順序的關(guān)系。第一，要考慮同一學(xué)生在不同階段呈現(xiàn)的心理特點和認(rèn)知能力。第二，要照顧學(xué)生群體間認(rèn)知水平的差異，制定個性化難度適宜的教學(xué)活動，因材施教。

以上對《平行與垂直》教學(xué)順序的思考，提醒我們：課堂教學(xué)不僅要理清教學(xué)的邏輯，也需要關(guān)注學(xué)生的心理特點，順邏輯而教，依心理而學(xué)，才能事半功倍。