陸星家徐敏

（1.寧波工程學(xué)院 理學(xué)院,浙江 寧波 315211;2.上海對(duì)外經(jīng)貿(mào)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與信息學(xué)院,上海 201620）

0 引言

微課和翻轉(zhuǎn)課堂的出現(xiàn)，改變了傳統(tǒng)課堂教學(xué)中知識(shí)傳授和學(xué)習(xí)的方式，借助“互聯(lián)網(wǎng)+”技術(shù)，學(xué)生可以在課堂以外隨機(jī)開展課程學(xué)習(xí)。學(xué)習(xí)方式的改變同時(shí)對(duì)傳統(tǒng)的教學(xué)方式也提出更高的要求，板書和多媒體課件越來(lái)越不能夠滿足課堂教學(xué)的要求。[1]國(guó)內(nèi)不同高校的教師紛紛提出“微課”課程改革的不同見解。李保強(qiáng)等提出“微課”須遵從“學(xué)生主導(dǎo)，教師協(xié)助”的原則，通過興趣引導(dǎo)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)。[2]邢曉丹提出將大學(xué)課程“微課化”重構(gòu)，提高高校MOOC平臺(tái)有效學(xué)習(xí)率。[3]周賢波等對(duì)基于“微課”的翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式進(jìn)行了研究，[4]邢磊等將大學(xué)物理翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)與“微課”結(jié)合起來(lái)，[5]通過翻轉(zhuǎn)課堂促進(jìn)“微課”的教學(xué)效果，結(jié)合視覺特效的課程動(dòng)畫逐漸成為推動(dòng)微課和翻轉(zhuǎn)課堂技術(shù)創(chuàng)新的重要力量。傳統(tǒng)的基于Camstasia、Focusky、GeoGebra制作的微課動(dòng)畫普遍具有對(duì)象控制不精確、不支持?jǐn)?shù)學(xué)符號(hào)，以及不支持坐標(biāo)軸操作等不足，隨著Python語(yǔ)言的快速發(fā)展，利用Python技術(shù)設(shè)計(jì)和開發(fā)微課，逐步受到到廣大高校教師的重視，Python語(yǔ)言具有代碼量短、易調(diào)試、功能強(qiáng)大等優(yōu)點(diǎn)，克服了Java語(yǔ)言、C++語(yǔ)言代碼量龐大，語(yǔ)言規(guī)則繁雜的不足。隨著Python語(yǔ)言對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)、視頻制作的支持，利用Python制作2D、3D形式的微課逐漸成為高校教師提升教學(xué)信息化水平的重要技術(shù)手段。

Manim是近年流行的一個(gè)基于Python的開源項(xiàng)目，項(xiàng)目由Grant Sanderson發(fā)起，Sanderson早期在可汗學(xué)院開發(fā)微課，由于可汗學(xué)院“微課”存在制作質(zhì)量不高的缺陷，Sanderson推出了Manim項(xiàng)目，其主要功能是利用Python程序制作2D、3D動(dòng)畫，具有開源、對(duì)系統(tǒng)配置要求低、支持多平臺(tái)、可以持續(xù)改進(jìn)、生成的視頻具有高質(zhì)量和低容量的優(yōu)勢(shì)等特征。Manim最大優(yōu)勢(shì)是開源和功能的高度定制化，使用者不需要付費(fèi)，也可以根據(jù)自身需要?jiǎng)討B(tài)地?cái)U(kuò)展Manim的功能，進(jìn)而滿足“微課”設(shè)計(jì)的需要。對(duì)于經(jīng)常需要數(shù)學(xué)推導(dǎo)、物理定理演繹的“微課”，Manim通過引用Latex語(yǔ)言，極大地方便了各種數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)和物理定理的演繹，尤其適合廣大高校教師制作精細(xì)程度要求高的“微課”。Manim制作的“微課”具有精度高、支持坐標(biāo)軸變換、支持?jǐn)?shù)學(xué)符號(hào)的優(yōu)點(diǎn)，設(shè)計(jì)的微課尤其適合“學(xué)生主導(dǎo)，教師協(xié)助”翻轉(zhuǎn)課堂學(xué)習(xí)原則。Manim技術(shù)在目前國(guó)內(nèi)高校處于發(fā)展階段，利用Manim進(jìn)行微課設(shè)計(jì)的教改研究尚未見報(bào)道。

1 Manim制作微課的步驟

Manim基于經(jīng)典的笛卡爾直角坐標(biāo)系，空間中的點(diǎn)、線、面的位置通過Python程序代碼設(shè)定，將點(diǎn)、線、面的函數(shù)形式和幾何表示完整地統(tǒng)一起來(lái)。與Camstasia、Focusky、GeoGebra等“微課”設(shè)計(jì)軟件相比，Manim不支持鼠標(biāo)點(diǎn)擊操作，完全依賴Python的Lambda表達(dá)式進(jìn)行幾何圖形繪制，并通過內(nèi)置函數(shù)完成圖形的移動(dòng)、旋轉(zhuǎn)和漸變等操作。Manin整合Latex語(yǔ)言環(huán)境，使其對(duì)數(shù)學(xué)、物理公式的展示和操作的靈活度要優(yōu)于“MathType”、“Word公式編輯器”生成的公式。

Manim制作“微課”通常包括3個(gè)步驟：①微課知識(shí)點(diǎn)的設(shè)計(jì)；②Python代碼的編寫；③代碼的編譯和效果測(cè)試。3個(gè)步驟形成閉環(huán)，任何一步出現(xiàn)錯(cuò)誤，都需要回溯到上一步，只有錯(cuò)誤步驟修改完畢才能進(jìn)入下一步驟。Manim支持3種分辨率的動(dòng)畫視頻，即低質(zhì)量渲染視頻（480像素，每秒15幀）、中等質(zhì)量渲染視頻（720像素，每秒30幀）、高質(zhì)量渲染視頻（1080像素，每秒60幀）。在代碼編譯和效果測(cè)試階段，可以采用輸出低質(zhì)量渲染視頻的方式，減少視頻渲染的等待時(shí)間，當(dāng)“微課”設(shè)計(jì)達(dá)到預(yù)期時(shí)，再輸出高質(zhì)量渲染視頻。

2 Manim在“微課”設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

2.1 導(dǎo)數(shù)的微課設(shè)計(jì)

導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)代表連續(xù)函數(shù)的局部特征，是函數(shù)極值、最優(yōu)化等應(yīng)用問題的理論基礎(chǔ)。在“導(dǎo)數(shù)微課”教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)中，首先需要學(xué)生能夠理解導(dǎo)數(shù)存在的條件，然后需要掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義，最后熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)定義。

在導(dǎo)數(shù)存在的條件環(huán)節(jié)中，連續(xù)性是需要學(xué)生掌握的第一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，通過在動(dòng)畫中引入在曲線上運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)來(lái)解釋函數(shù)的連續(xù)性。如果運(yùn)動(dòng)點(diǎn)遇到間斷點(diǎn)，則會(huì)停止運(yùn)動(dòng)。在導(dǎo)數(shù)的幾何意義環(huán)節(jié)中，將連續(xù)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)和該點(diǎn)的切線聯(lián)系起來(lái)，讓學(xué)生理解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是該點(diǎn)切線的斜率。最后引申出導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)定義與極限的關(guān)系，即導(dǎo)數(shù)是y增量與x增量商的極限形式。

通過曲線上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)說(shuō)明函數(shù)的連續(xù)性質(zhì)（圖1（a）），其中（1,1）點(diǎn)為固定點(diǎn)，（3,9）點(diǎn)為運(yùn)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)從（3,9）位置出發(fā)，沿著曲線移動(dòng)到固定點(diǎn)（1,1）點(diǎn)，與固定點(diǎn)重合之后，則得出y=x2在（1,1）點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)（圖1（b）），進(jìn)而根據(jù)在（1,1）點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算出通過該點(diǎn)的切線。

圖1 函數(shù)幾何意義：(a)連續(xù)性；(b)導(dǎo)數(shù)

如圖2，當(dāng)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)(3,9)通過曲線y=x2滑動(dòng)到（1,1）點(diǎn)形成的直線即y=x2在（1,1）點(diǎn)的切線y=ax+b，其中a就是切線的斜率a=f'（x0）。根據(jù)導(dǎo)數(shù)極限定義，有a=f'（x0），即通過（1,1）點(diǎn)的斜率和導(dǎo)數(shù)相同。導(dǎo)數(shù)極限定義兩端同時(shí)乘以Δx，可以得到微分形式f（x0+Δx）-f（x0）=f'（x0）Δx+o（Δx），其中o（Δx）是Δx的高階無(wú)窮小，由于f（x0+Δx）-f（x0）=Δy，可以得出y微增量Δy=f'（x0）Δx+o（Δx），當(dāng)Δx→0，Δx=dx，因?yàn)?，得，則Δy=dy+o（Δx），Δy-dy=o（Δx）。以上內(nèi)容通過動(dòng)畫形式向?qū)W生展現(xiàn)，使得同學(xué)可以準(zhǔn)確無(wú)誤地理解和掌握導(dǎo)數(shù)、切線、微分dy=f'（x0）、增量Δy-dy=o（Δx）之間的關(guān)系。

圖2 斜率、切線、微分與微增量的關(guān)系

2.2 曲面方程的微課設(shè)計(jì)

在曲面方程的“微課”設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)中，空間曲面的三維結(jié)構(gòu)與板書和PPT二維結(jié)構(gòu)存在維度差異，只能通過將三維結(jié)構(gòu)投影到二維平面上，這樣不利于學(xué)生的空間結(jié)構(gòu)理解。對(duì)于雙葉雙曲面、雙曲拋物面等不常見的空間曲面，絕大多數(shù)同學(xué)的學(xué)習(xí)都是很困難的，主要原因是學(xué)習(xí)者很難想象出空間曲面的空間結(jié)構(gòu)，進(jìn)而無(wú)法理解，只能采用死記硬背的方式記住公式，阻礙了學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和應(yīng)用。Manim通過Camera對(duì)象提供三維空間曲面模型的展示，通過旋轉(zhuǎn)、平移、漸變等操作，全視角地展示空間曲線的三維結(jié)構(gòu)，有利于學(xué)生先理解空間模型結(jié)構(gòu)，然后再掌握空間曲面的數(shù)學(xué)公式，進(jìn)而提升后續(xù)曲面積分和曲線積分等知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)效果。

在空間曲面的“微課”設(shè)計(jì)中，需要360°空間曲面的環(huán)繞展示和xoy平面的投影展示，其中360°環(huán)繞展示可以幫助學(xué)生理解空間曲面的三維結(jié)構(gòu)，xoy面的投影展示則是為后續(xù)的二重積分做鋪墊，便于學(xué)生掌握三維曲面在二維平面上的投影。圓錐面x2+y2=a2z2和橢圓錐面的“微課”設(shè)計(jì)如圖3所示。

圖3 圓錐面與橢圓錐面

球面x2+y2+z2=r2和橢球面的微課設(shè)計(jì)（圖4）。

圖4 球面與橢球面

圖5 單葉雙曲面和雙葉雙曲面

圖6 橢圓拋物面和雙曲拋物面

2.3 冒泡排序算法的微課設(shè)計(jì)

冒泡排序算法從前到后，即從下標(biāo)較小元素開始，依次比較相鄰元素的數(shù)值，若發(fā)現(xiàn)逆序數(shù)，則交換兩數(shù)的位置，使較大的元素逐漸從前向后移動(dòng)，其思想類似水中氣泡的沉浮，較大的氣泡代表較大的數(shù)，較小的氣泡代表較小的數(shù)，冒泡排序算法完成后，氣泡從上到下依次從小到大排列。

以（16,9,3,-1,-2）數(shù)組的冒泡排序?yàn)槔?/p>

1)比較16和9兩數(shù)是否是逆序，由于16>9，兩數(shù)為逆序，交換2個(gè)數(shù)的位置，交換后數(shù)組為（9,16,3,-1,-2）。

2)比較16和3是否逆序，由于16>3，兩數(shù)為逆序，交換2個(gè)數(shù)的位置，交換后的數(shù)組為（9,3,16,-1,-2）。

3)繼續(xù)比較相鄰元素，直到16移動(dòng)到數(shù)組的最后一位，數(shù)組為（9,3,-1,-2,16）。數(shù)組的最后一個(gè)元素是16，即最大數(shù)已經(jīng)排好位置，冒泡排序算法第一次內(nèi)循環(huán)結(jié)束。

4)由于16已經(jīng)位于數(shù)組的最后一位，下一次循環(huán)只考慮（9,3,-1,-2），通過逆序數(shù)比較，第二內(nèi)循環(huán)結(jié)束后，數(shù)組為（3,-1,-2,9,16）。

5)依次類推，排序好的數(shù)組為（-2,-1,3,9,16）。

通過排序動(dòng)畫，不僅可以觀察相鄰逆序元素的交換過程，同時(shí)也能夠清晰地理解冒泡排序算法的內(nèi)循環(huán)和外循環(huán)的范圍邊界，以及冒泡排序算法的時(shí)間復(fù)雜度。

2.4 應(yīng)用效果

基于Manim的微課設(shè)計(jì)能夠提供完整統(tǒng)一的動(dòng)畫設(shè)計(jì)方案，制作好的相關(guān)的課件視頻上傳到Github網(wǎng)站，給同學(xué)提供了方便學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)的平臺(tái)，可通過在線瀏覽或者下載方式進(jìn)行學(xué)習(xí)。微課不需要安裝任何的App或者小程序，只需瀏覽或下載即可，在使用過程中學(xué)生沒有排斥心理。（圖7瀏覽次數(shù)累計(jì)圖）是2020-2021年第一學(xué)期網(wǎng)絡(luò)2020級(jí)1班（30人）、網(wǎng)絡(luò)2020級(jí)2班（29人）在18個(gè)教學(xué)周內(nèi)瀏覽次數(shù)的每周累計(jì)圖，其中網(wǎng)絡(luò)2020級(jí)1班瀏覽總次數(shù)224次，網(wǎng)絡(luò)2020級(jí)2班瀏覽總次數(shù)226次，生均瀏覽次數(shù)為8次，對(duì)于學(xué)生在課外加深知識(shí)點(diǎn)的理解，起到了較好的效果。

圖7 學(xué)生瀏覽網(wǎng)址的累計(jì)圖

對(duì)采用和未采用以上微課內(nèi)容授課的網(wǎng)絡(luò)工程2020級(jí)與油儲(chǔ)工程2019級(jí)的期末考試成績(jī)、總評(píng)成績(jī)進(jìn)行雙樣本t檢驗(yàn)，假設(shè)以上兩個(gè)班級(jí)屬于獨(dú)立的兩個(gè)樣本，通過雙樣本t檢驗(yàn)比較兩個(gè)獨(dú)立組的平均值，以確定兩個(gè)班級(jí)成績(jī)是否具有顯著差異。表2是使用微課前后的網(wǎng)絡(luò)工程2020級(jí)與未使用微課油儲(chǔ)工程2019級(jí)的雙樣本t檢驗(yàn)的結(jié)果，結(jié)果顯示期末成績(jī)的P為0.031 2，小于0.05，即存在顯著性差異，總評(píng)成績(jī)的P為0.039 2，小于0.05，也存在顯著性差異，具有統(tǒng)計(jì)學(xué)差異，也就是通過以上微課內(nèi)容，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)有提升作用。

表2 雙樣本t檢驗(yàn)

3 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)高等數(shù)學(xué)、面向?qū)ο蟪绦蛟O(shè)計(jì)兩門課程教學(xué)中出現(xiàn)的難點(diǎn)和重點(diǎn)，利用Manim開展“微課”設(shè)計(jì)，制作了導(dǎo)數(shù)、切線、微分、曲面方程、冒泡排序等“微課”。相比傳統(tǒng)的Camstasia制作的微課，基于Manim的微課具有清晰度高、文件體積小、動(dòng)畫精度高的優(yōu)勢(shì)，尤其對(duì)運(yùn)動(dòng)、定位有很高要求的數(shù)學(xué)、物理“微課”設(shè)計(jì)，Manim是目前“微課”設(shè)計(jì)的最佳選擇。學(xué)生瀏覽次數(shù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，學(xué)生對(duì)于以上微課內(nèi)容較為歡迎，值得進(jìn)一步推廣。