【摘要】? ? 常微分方程是一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，它在數(shù)學(xué)、自然科學(xué)與工程技術(shù)中的應(yīng)用是十分廣泛的，但是常微分方程課程的學(xué)習(xí)是十分枯燥困難的，因此教師在進(jìn)行常微分方程課程授課過程中需結(jié)合物理背景，并滲透數(shù)學(xué)建模思想，這樣不僅能夠激發(fā)學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容的興趣，還能提高教師的教學(xué)質(zhì)量。本文結(jié)合人口模型闡述了數(shù)學(xué)建模思想在常微分方程教學(xué)中的必要性及基本思路，并進(jìn)一步分析了其優(yōu)點(diǎn)，希望能在教學(xué)多元化方面作進(jìn)一步提升。

【關(guān)鍵詞】? ? 常微分方程? ? 數(shù)學(xué)建模? ? 教學(xué)? ? 人口模型? ? 應(yīng)用

引言：

17世紀(jì)，牛頓和萊布尼茨共同研究出了微積分這門學(xué)科，而后科學(xué)家們在利用微積分處理實(shí)際問題的過程中進(jìn)一步給出了微分方程概念、相關(guān)性質(zhì)及應(yīng)用。隨后，萊布尼茨、雅克比·伯努利、惠更斯、歐拉等科學(xué)家們對微分方程的解進(jìn)行深入研究，將微分方程提升到更高的理論水平。微分方程經(jīng)過不斷發(fā)展，目前已經(jīng)有很多領(lǐng)域開始結(jié)合微分方程思想解決相關(guān)問題，如：與流體力學(xué)結(jié)合研究牛頓流、非牛頓流的特性，與空氣和動(dòng)力結(jié)合研究原子彈、炸藥爆炸后，激波在介質(zhì)中的傳播規(guī)律，與化學(xué)結(jié)合研究物質(zhì)反應(yīng)的平衡關(guān)系等。至今，常微分方程已經(jīng)發(fā)展為各個(gè)領(lǐng)域中解決問題的重要工具，更是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一門核心課程。

而常微分方程課程是比較抽象、枯燥且不易理解的，教學(xué)過程中需要探索更多學(xué)生容易接受的方法，便于學(xué)生理解，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。另一方面，近年來數(shù)學(xué)建模在國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)中占有很重要的地位，且在美國、英國等一些西方國家是一類非常熱門的話題。1991年起，中國逐步開展數(shù)學(xué)建模競賽活動(dòng)，隨著國內(nèi)競賽體系不斷發(fā)展，帶動(dòng)了大學(xué)課程體系的不斷完善，使得數(shù)學(xué)建模課程稱為大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中必不可少的部分，也成為其他課程的必備工具。

一、常微分方程教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想的必要性

常微分方程課程主要是讓學(xué)生掌握相關(guān)的概念、原理和方法[1]，為后續(xù)的課程打下基礎(chǔ)，比如偏微分方程、泛函分析等，更重要的是，通過常微分方程課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生們能用微積分思想來解決實(shí)際生活、工作中存在的問題。數(shù)學(xué)建模是利用事物變化的因果關(guān)系形成系統(tǒng)，分析系統(tǒng)中各個(gè)變量對整體產(chǎn)生的影響[2]。教師在教學(xué)的過程中把相關(guān)的教學(xué)課題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)模型就是一種將抽象問題轉(zhuǎn)換為具體問題的一種重要方式，這種方式對于學(xué)生分析問題、解決問題來說有很大幫助[3，4]。因此雖然常微分方程學(xué)習(xí)起來較為枯燥困難，但若在知識講授過程中引入實(shí)際模型案例，便可加深學(xué)生對知識的理解和掌握，課后引導(dǎo)學(xué)生在知識的應(yīng)用中進(jìn)一步結(jié)合數(shù)學(xué)建模思想，從而達(dá)到知識的鞏固和應(yīng)用。

二、數(shù)學(xué)建模在常微分方程教學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用

2.1 知識講授過程中滲透數(shù)學(xué)建模思想

常微分方程學(xué)習(xí)的初始階段，多數(shù)學(xué)生在知識的學(xué)習(xí)中暫時(shí)處于被動(dòng)接受的過程，沒有探索知識的主觀能動(dòng)性，對常微分方程的解法，如分離變量法、常數(shù)變易法等，及解的相關(guān)問題，如求邊界值、初值等概念模糊，相關(guān)方法掌握不透徹，教學(xué)過程中如果單純的從理論出發(fā)給學(xué)生講授求解常微分方程，學(xué)生無法形成系統(tǒng)的認(rèn)識，此時(shí)若引入生活中實(shí)際的案例便可幫助學(xué)生理解概念，例如：教師在講授常微分方程的初等解法之“分離變量法”內(nèi)容時(shí)，首先講授分離變量法的基本理論，然后循序漸進(jìn)引入人口發(fā)展模型。

具體地，首先我們以第七次全國人口普查（2020年開展的全國人口普查）引入人口預(yù)測問題。事實(shí)上，人口普查只能為我們提供部分時(shí)間點(diǎn)的橫截面數(shù)值，但往往在現(xiàn)實(shí)生活中，我們可能需要其他時(shí)間點(diǎn)的人口構(gòu)成及總數(shù)，于是我們的目標(biāo)就是如何利用已知的部分時(shí)間點(diǎn)的信息盡可能準(zhǔn)確的預(yù)測出其他時(shí)間點(diǎn)的人口數(shù)據(jù)。為了更好的讓學(xué)生理解人口預(yù)測模型，教師在案例教學(xué)的過程中首先分析引入馬爾薩斯人口模型[5]：

（1）

其中x（t）表示t時(shí)刻的人口數(shù)量，r表示人口增長率。我們發(fā)現(xiàn)（1）式為常微分方程且能夠進(jìn)行分離變量，若令x（0）=x0，可解得：

（2）

通過上式我們就能發(fā)現(xiàn)馬爾薩斯人口模型的一個(gè)顯著特點(diǎn)是種群數(shù)量以指數(shù)形式增長，這顯然不符合人口實(shí)際發(fā)展態(tài)勢，其原因是該模型中假定人口增長率是穩(wěn)定的。事實(shí)上，人口的增長率受到很多因素的影響，如：經(jīng)濟(jì)因素、醫(yī)療衛(wèi)生因素、文化因素等。接下來教師便可引入Verhulst-Pearl改進(jìn)后的模型。

假設(shè)目前地球的飽和人口數(shù)量為K，則人口增長率為，此時(shí)

（3）

上式便是Verhulst-Pearl于1938年提出的Logistic人口模型[5]。觀察發(fā)現(xiàn)（3）式是一個(gè)可分離變量的方程，再次利用本節(jié)課學(xué)習(xí)的分離變量法解該方程，其解為：

（4）

通過對本方程各變量的分析，發(fā)現(xiàn)Logistic人口模型更符合人口發(fā)展規(guī)律，之后有許多對人口模型作出了改進(jìn)[6]，而且有效地預(yù)測我們所需要的人口數(shù)據(jù)。

通過引入人口模型讓學(xué)生們意識到知識是需要不斷探索的，它來源于生活又應(yīng)用于生活，也能夠讓學(xué)生提前對數(shù)學(xué)建模有一定的認(rèn)知，為以后的數(shù)學(xué)建模課程打下扎實(shí)的基礎(chǔ)，所以將數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)用于課程講授中是大有裨益的。

2.2在知識應(yīng)用中滲透數(shù)學(xué)建模思想

常微分方程的應(yīng)用領(lǐng)域非常廣泛，在很多學(xué)科都可以找到常微分方程的影子。該課程教學(xué)目的是培養(yǎng)學(xué)生利用常微分方程解決生活中的實(shí)際問題能力。因此課后的知識應(yīng)用尤為重要。我們在課后可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題。例如，學(xué)習(xí)一階微分方程的初等解法后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：通過數(shù)據(jù)得搜集和統(tǒng)計(jì)，建立一個(gè)能真正預(yù)測某傳染病的發(fā)展的合理的數(shù)學(xué)模型，并且以此模型為依據(jù)從而為某傳染病預(yù)防和控制工作給出合理的建議。

2.2.1 建模思路

事實(shí)上，建立一個(gè)合理準(zhǔn)確的模型對于某傳染病的防控極其重要，我們知道，logistic模型對傳染病的發(fā)展趨勢能夠進(jìn)行合理的模擬。假設(shè)沒有境外輸入和人員的大量流竄，logistic曲線的S型能夠很好的模擬某傳染病的發(fā)展，從而對某傳染病進(jìn)行預(yù)測，并與實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，可以得出較為準(zhǔn)確的預(yù)測值。在本模型中我們使用增長率r（x）為病例數(shù)x（t）的線性減函數(shù)來模擬政府、醫(yī)療機(jī)構(gòu)的措施抑制病情的發(fā)展。并對病例數(shù)x（t）求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)研究某傳染病的發(fā)展?fàn)顟B(tài)，即可對某傳染病的預(yù)測和估計(jì)。

2.2.2 模型的建立

要對若干天的傳染病感染人數(shù)進(jìn)行預(yù)測和評估，最重要的影響因素是初始時(shí)刻的確診人數(shù)x0和在若干天后確診人數(shù)的增長率r（r>0）。t天后的確診人數(shù)x（t）可表示為：

（5）

將離散型（5）式連續(xù)化，得到指數(shù)增長模型：

（6）

隨著確診人數(shù)的增加和擴(kuò)散，政府、醫(yī)療部門會(huì)采取有效措施預(yù)防和控制疾病的迅速蔓延，確診人數(shù)的增長率會(huì)隨著確診人數(shù)的增加而逐漸減少最終為零?？捎迷鲩L率表示確診人數(shù)x（t）的減函數(shù)r（x），假設(shè)r（x）與x（t）呈線形關(guān)系：

（7）

顯然，當(dāng)確診人數(shù)達(dá)到最大值時(shí)會(huì)出現(xiàn)零增長現(xiàn)象。于是令xm為最大傳染病例數(shù)，當(dāng)x=xm時(shí)，增長率為零，即r（xm）=0代入（7）式得到，所以確診人數(shù)的增長率r（x）可表示為：

（8）

將（8）代入（6）中得：

（9）

解上述非線性微分方程得：

（10）

（10）式即為關(guān)于某傳染病的logistic數(shù)學(xué)模型。

logistic曲線的特點(diǎn)是初期增長緩慢，而在以后某一時(shí)間范圍內(nèi)迅速增長，達(dá)到某一限度后，增長又緩慢下來直至零增長，曲線略呈S型。下面對logistic函數(shù)作進(jìn)一步的研究，進(jìn)而了解某傳染病的傳播規(guī)律。

首先求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)得到傳染過程中的速度函數(shù)：

（11）

然后求（11）速度函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，并令其等于0，解得：

此時(shí)某傳染病傳播速度最快，即為高峰期。

其次求（11）生長速度函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，并令其的等于0，解得：

這是速度函數(shù)得兩個(gè)拐點(diǎn)，加上高峰點(diǎn)，這樣logistic曲線有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。這三個(gè)點(diǎn)對應(yīng)著傳染病傳染過程的三個(gè)關(guān)鍵時(shí)期：始盛期，高峰期，消退期，利用速度函數(shù)的兩個(gè)拐點(diǎn)將logistic曲線的生長過程分為漸增期0→t1，快增期t1→t2，緩增期t2→tm。學(xué)生可搜索相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行模型求解，從而可進(jìn)一步預(yù)測某傳染病的傳播和發(fā)展趨勢。

這些問題能夠讓學(xué)生在研究的過程中更加理解常微分方程相關(guān)知識，還能提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和學(xué)生對知識的求知欲望，同時(shí)也感受到團(tuán)隊(duì)的力量，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)結(jié)協(xié)作能力。另外，教師在對學(xué)生授課時(shí)也融入了課程思政理念，讓學(xué)生間接體會(huì)抗疫者的偉大，體會(huì)國家的偉大，不僅達(dá)到提高教師教學(xué)質(zhì)量的目的，也響應(yīng)了教育部的號召。

三、結(jié)束語

綜上所述，通過在常微分方程教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想，使實(shí)際問題具象化、符號化，首先，引入模型思想與傳統(tǒng)教學(xué)模式相比，更易理解，且利于提升學(xué)生的分析問題解決問題能力;讓學(xué)生在應(yīng)用中學(xué)習(xí)，感受到知識來源于生活、回歸于生活，這樣既能提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生將抽象問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，使之對數(shù)學(xué)學(xué)科有更深刻的理解和認(rèn)識，為學(xué)生后續(xù)的發(fā)展打下基礎(chǔ)，也為以后的科研方向起引導(dǎo)作用。

作者簡介：王金妮（1991-），女，漢族，陜西志丹，碩士研究生，助教，偏微分方程

參? 考? 文? 獻(xiàn)

[1] 王高雄，周之銘，朱思銘，等.常微分方程（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

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