王 瑩

（上海工程技術(shù)大學(xué) 管理學(xué)院，上海 201620）

一、引言

一直以來，股票市場(chǎng)在金融領(lǐng)域中有著舉足輕重的地位。股票價(jià)格的波動(dòng)能夠在一定程度上反映一個(gè)國(guó)家經(jīng)濟(jì)周期的變化。尤其作為權(quán)重股的銀行股，其價(jià)格波動(dòng)對(duì)于整個(gè)股市的變化趨勢(shì)有著重要的影響[1]。而股票價(jià)格往往對(duì)時(shí)間因素非常敏感，所以建立時(shí)間序列模型能夠有效地對(duì)股票價(jià)格進(jìn)行分析及預(yù)測(cè)[2]。常用的時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法有自回歸（AR）模型、移動(dòng)平均（MA）模型和自回歸移動(dòng)平均（ARMA）模型[3]。本文將運(yùn)用ARMA模型對(duì)中國(guó)銀行股票開盤價(jià)歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合分析，并對(duì)未來三天的開盤價(jià)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

二、模型的介紹及建模步驟

（一）ARMA模型的介紹

ARMA模型是由AR自回歸過程和MA移動(dòng)平均過程組成的自回歸移動(dòng)平均模型，是時(shí)間序列分析模型的一種，其基本思想是通過揭示歷史時(shí)間序列的運(yùn)行規(guī)律，從而對(duì)未來的事物發(fā)展進(jìn)行預(yù)測(cè)。在ARMA（p，q）模型中，p為自回歸階數(shù)，q為移動(dòng)平均階數(shù)。

一般的ARMA（p，q）模型的形式可以表示為：

式（1）中，{εt}是白噪聲序列，AR和MA模型都是特殊的ARMA（p，q）模型，當(dāng)p=0 時(shí)，ARMA（0，q）就是MA（q）；當(dāng)q=0 時(shí)，ARMA（p，0）就是AR（p）。當(dāng)時(shí)間序列不平穩(wěn)時(shí)，不能直接運(yùn)用ARMA模型，而是需經(jīng)過差分或取對(duì)數(shù)等處理后，形成一個(gè)新的平穩(wěn)的時(shí)間序列[4]。

對(duì)于非平穩(wěn)時(shí)間序列，可以擬合模型ARIMA（p，d，q），其方程式如下：

其中：d為差分階數(shù)；

B為滯后算子；

特別地，當(dāng)d=0 時(shí)，ARIMA模型就是ARIMA模型。

（二）ARMA模型的定階方法

ARMA模型的定階方法主要是通過觀察自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖，根據(jù)其系數(shù)的相關(guān)特性來判斷階數(shù)。若AC是拖尾的，PAC是p階截尾的，則選擇AR（p）模型；若PAC是拖尾的，AC是q階截尾的，則選擇MA（q）模型；若AC和PAC都表現(xiàn)為拖尾性，則選擇ARMA（p，q）模型，然后通過模型的參數(shù)檢驗(yàn)，進(jìn)一步判斷p、q的階數(shù)。

但由于樣本具有隨機(jī)性，相關(guān)系數(shù)并不會(huì)表現(xiàn)出完美截尾的情況，通常會(huì)呈現(xiàn)出小值振蕩的情況，這就給模型的定階帶來了一定的困難。根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，如果樣本自相關(guān)系數(shù)或偏自相關(guān)系數(shù)在初始的d階明顯大于兩倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍，其后幾乎95%的自相關(guān)系數(shù)都在兩倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)，并且由非零自相關(guān)系數(shù)衰減為小值波動(dòng)的過程非常突然。這時(shí)可以視為自相關(guān)系數(shù)或偏自相關(guān)系數(shù)d階截尾[5]。

（三）ARMA模型的平穩(wěn)性檢驗(yàn)——單位根檢驗(yàn)

單位根檢驗(yàn)是通過檢驗(yàn)特征根距離單位圓的位置來判斷序列的平穩(wěn)性的。通常采用的是ADF檢驗(yàn)，ADF檢驗(yàn)主要有三種類型：無趨勢(shì)無截距、有截距無趨勢(shì)、有截距有趨勢(shì)。形式如下：ADF 檢驗(yàn)主要步驟如下：首先進(jìn)行第三種情形的檢驗(yàn)，若拒絕原假設(shè)，則檢驗(yàn)時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)系數(shù)的顯著性，若顯著性拒絕原假設(shè)，則該序列為趨勢(shì)平穩(wěn)。反之進(jìn)行第二種情形的檢驗(yàn)，若拒絕原假設(shè)，則檢驗(yàn)截距項(xiàng)系數(shù)的顯著性，若顯著性拒絕原假設(shè)，則為含截距項(xiàng)平穩(wěn)；若不拒絕原假設(shè)，則進(jìn)行第一種情形的檢驗(yàn)，若拒絕原假設(shè)，則該序列為不含截距項(xiàng)和時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)平穩(wěn)。若三種情形均不能拒絕原假設(shè)，則應(yīng)綜合第一種和第二種的AIC、SC、HQ 判斷選擇哪種情形下的單位根檢驗(yàn)。

三、股票價(jià)格預(yù)測(cè)的實(shí)證分析

本文通過東方財(cái)富網(wǎng)選取了中國(guó)銀行（601988）2019 年8 月20 日至2020 年8 月21 日的股票日開盤價(jià)數(shù)據(jù)，一共245 個(gè)樣本。運(yùn)用Eviews 10 軟件進(jìn)行建模分析對(duì)未來三天的股價(jià)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

（一）原始數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性檢驗(yàn)

1.時(shí)序圖檢驗(yàn)。首先對(duì)數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性進(jìn)行判斷：將原始數(shù)據(jù)輸入Eviews 軟件，生成時(shí)間序列圖（見圖1）。平穩(wěn)時(shí)間序列的圖像始終圍繞著某一個(gè)值上下波動(dòng)且波動(dòng)范圍有界，沒有明顯的趨勢(shì)和周期性。由圖1 所示，序列趨勢(shì)不太明顯，存在上下波動(dòng)的狀態(tài)，可以初步判斷中國(guó)銀行股票開盤價(jià)大致平穩(wěn)的。

圖1 中國(guó)銀行股票開盤價(jià)時(shí)序圖

2.單位根（ADF）檢驗(yàn)。為了準(zhǔn)確判斷原始序列是否平穩(wěn)，進(jìn)一步對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行三種情況下ADF檢驗(yàn)（結(jié)果如圖2、圖3、圖4 所示），其ADF test statistic值分別為-3.410 698、-2.954 879 和-0.152 588，P值分別為0.052 3、0.040 7、0.630 1，經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)三種情況中，在有截距情況下的單位根檢驗(yàn)的P值小于0.05，拒絕原假設(shè)，可以認(rèn)為原始數(shù)據(jù)為平穩(wěn)時(shí)間序列。

圖2 有截距有趨勢(shì)項(xiàng)的單位根檢驗(yàn)

圖3 有截距的單位根檢驗(yàn)

圖4 無截距無趨勢(shì)項(xiàng)的單位根檢驗(yàn)

（二）模型的識(shí)別

在對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)之后，我們需要根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的拖尾性和截尾性來識(shí)別模型的類型，并確定滯后階數(shù)p和q的值。

觀察樣本自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖（見圖5），其中p值均為0，說明原始序列為平穩(wěn)非白噪聲序列，可以進(jìn)行模型擬合。由圖5 可知，序列自相關(guān)系數(shù)緩慢衰減且過程相當(dāng)連續(xù)，呈現(xiàn)拖尾性質(zhì)。而偏自相關(guān)系數(shù)除了滯后一階的數(shù)值較大，其他數(shù)值均在兩倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)作小值隨機(jī)波動(dòng)，并且相關(guān)系數(shù)衰減的過程非常突然，所以可以判斷偏自相關(guān)系數(shù)為一階截尾。綜上所述，可以考慮擬合模型為AR（1）。

圖5 序列自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖

（三）模型的建立與參數(shù)估計(jì)

根據(jù)上文，選擇AR（1）模型作為最佳預(yù)測(cè)模型進(jìn)行擬合，如圖6 所示，根據(jù)圖中結(jié)果，模型AR（1）對(duì)應(yīng)的p值為0，小于0.05，模型參數(shù)顯著有效。進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，可以寫出表達(dá)式為：xt=0.999950xt-1+εt，其中εt為殘差序列。

圖6 AR（1）模型擬合

（四）模型的顯著性檢驗(yàn)

參數(shù)估計(jì)完成后，還需要對(duì)模型進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。目的是檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠癯浞值奶崛×藭r(shí)間序列中的信息，即殘差序列是否為白噪聲序列。若殘差序列為非白噪聲序列，那就說明殘差序列中還有殘留的相關(guān)信息未被提取，還需對(duì)模型進(jìn)一步完善。

對(duì)擬合AR（1）模型進(jìn)行殘差檢驗(yàn)，結(jié)果如圖7 所示，延遲6 階和12 階的Q統(tǒng)計(jì)量值分別為4.150 5和8.322 3，P值分別為0.528 和0.684。由于P 值大于顯著性水平α，所以該序列不能拒絕原假設(shè)，即殘差序列為白噪聲序列，模型顯著有效。事實(shí)上，DW檢驗(yàn)同樣可以判斷殘差序列的自相關(guān)性。圖6 中DW 檢驗(yàn)值為2.016 319，十分接近2，因此可以認(rèn)為殘差序列不具有自相關(guān)性。

圖7 殘差序列自相關(guān)圖

從圖8 的模型擬合效果圖來看，擬合值和真實(shí)值還是十分貼合的，殘差也為圍繞著某個(gè)值隨機(jī)波動(dòng)，殘差信息提取的較為充分。

圖8 模型擬合效果圖

（五）模型的預(yù)測(cè)分析

最后用擬合的ARMA模型對(duì)中國(guó)銀行股票未來三天的開盤價(jià)進(jìn)行預(yù)測(cè)，并將預(yù)測(cè)結(jié)果與真實(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表1 所示。

表1 中國(guó)銀行未來三天股價(jià)的預(yù)測(cè)結(jié)果

根據(jù)表1，用模型預(yù)測(cè)出的股票價(jià)格與真實(shí)價(jià)格較為接近，誤差較小，說明ARMA模型預(yù)測(cè)股票價(jià)格的效果比較理想。但由于影響股票長(zhǎng)期價(jià)格的因素較多，在利用ARMA模型進(jìn)行時(shí)間跨度大的預(yù)測(cè)時(shí)，誤差也隨之增大，因此本模型更適合于股票價(jià)格的短期預(yù)測(cè)[6]。

四、結(jié)語(yǔ)

股票價(jià)格預(yù)測(cè)一直是一個(gè)值得關(guān)注的問題。本文采用ARMA模型對(duì)中國(guó)銀行股票開盤價(jià)進(jìn)行預(yù)測(cè)的實(shí)證，表明了時(shí)間序列模型對(duì)于股票價(jià)格的短期預(yù)測(cè)是可行的。模型對(duì)價(jià)格信息提取比較充分，擬合效果較好，預(yù)測(cè)值與真實(shí)值的誤差相對(duì)較小。但由于下一期的預(yù)測(cè)是根據(jù)上一期的預(yù)測(cè)值計(jì)算的，因此產(chǎn)生的累計(jì)誤差將越來越大。對(duì)于股票價(jià)格的長(zhǎng)期預(yù)測(cè)來說，ARMA模型的預(yù)測(cè)效果會(huì)大大降低。而且股票價(jià)格的長(zhǎng)期趨勢(shì)受到行業(yè)政策等環(huán)境因素的影響較大，而短期預(yù)測(cè)受到的干擾因素的影響較小。因此投資者應(yīng)該選擇模型的短期預(yù)測(cè)值作為投資決策的參考。