蘆建章

[摘 要]學(xué)生在 “乘法分配律”的作業(yè)中的錯誤率非常高，究其原因是沒有真正理解、構(gòu)建乘法分配律的意義。文章從對各類錯誤現(xiàn)象的分析出發(fā)，明確錯誤形成的原因，并從教材編寫、知識邏輯結(jié)構(gòu)、教學(xué)設(shè)計、練習(xí)設(shè)置等方面進行調(diào)整，以促進學(xué)生真正構(gòu)建乘法分配律的意義，提高應(yīng)用這一運算定律進行正確計算的能力。

[關(guān)鍵詞]調(diào)正;構(gòu)建;乘法分配律

筆者在教學(xué)人教版教材四年級下冊“乘法運算定律”時發(fā)現(xiàn)：由于學(xué)生已有加法交換律和結(jié)合律的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，在學(xué)習(xí)乘法交換律和結(jié)合律時，方法明確，作業(yè)的正確率非常高。但是，隨著乘法分配律的引入，不少學(xué)生的認(rèn)知開始 混亂，計算錯漏百出。對此，筆者進行了如下的分析。

一、對錯誤現(xiàn)象的思考

【思考一】為什么會出現(xiàn)錯誤①②？從練習(xí)層次來說，這兩題屬于基本題，沒有難度，筆者對出現(xiàn)這些錯誤的學(xué)生進行訪談，發(fā)現(xiàn)這些學(xué)生學(xué)習(xí)能力都比較弱，屬于“模仿類”的學(xué)生，相對于乘法交換律和結(jié)合律，乘法分配律的思維層次要求比較高，僅通過一節(jié)課的學(xué)習(xí)，他們還沒有真正理解和掌握，因此出現(xiàn)了錯誤的、“四不像”的模仿現(xiàn)象。

【思考二】為什么學(xué)習(xí)了乘法分配律后，學(xué)生計算的錯誤率直線上升？主要有三個原因：

1.學(xué)生的“錯覺”。學(xué)習(xí)乘法分配律后，不少學(xué)生，尤其是學(xué)習(xí)能力弱的學(xué)生產(chǎn)生了“錯覺”——只要是形如“（? ?○? ?）×? ?”的形式，就能用乘法分配律進行計算，忽視了括號內(nèi)兩數(shù)間的運算形式，因而造成了錯誤④。

2.思維層次的遞增。乘法交換律和乘法結(jié)合律中，運算符號只有“×”，不管幾個數(shù)連乘，學(xué)生僅僅需要考慮的是“哪些數(shù)先乘能使計算又快又對？”，只要計算細致，幾乎不會出錯。而乘法分配律中，出現(xiàn)了兩級運算，涉及拆（添）括號，思維難度大大提高。

一言以蔽之，學(xué)生在應(yīng)用乘法分配律進行簡便計算時之所以產(chǎn)生各種類型的錯誤，是由于沒有真正理解乘法分配律的意義，沒有有效構(gòu)建乘法分配律的模型。

二、對教學(xué)偏差的分析

學(xué)生沒有構(gòu)建乘法分配律的模型，一方面是學(xué)生的差異發(fā)展造成的;另一方面，教材的編寫體系、教師的教學(xué)行為也起到了“推波助瀾”的作用。

1.例題編寫不合理

在 “乘法運算定律”章節(jié)中，教材編排了植樹的問題情境，乘法的三個運算定律都是圍繞這一主題展開的。教材關(guān)于“乘法分配律”的編排情況如下：

根據(jù)教材的編寫意圖，預(yù)設(shè)主要教學(xué)環(huán)節(jié)與難易度如下所示：

（1）結(jié)合具體情境，用2個不同的算式計算總?cè)藬?shù)，并說明算式意義。（易）

（2）根據(jù)計算結(jié)果的意義與值，判斷2個算式相等后用等號連接。（易）

（3）觀察等號兩邊的算式特征，討論、歸納乘法分配律，并會用字母公式表示。（易）

（4）應(yīng)用乘法分配律進行簡便計算。（難）

為什么前三個環(huán)節(jié)容易，第四個環(huán)節(jié)就一下子變難了呢？原因如下：

（1）前三個環(huán)節(jié)是以情境為依托，學(xué)生關(guān)注的是算式的意義：先算什么，再算什么，類似的問題在之前經(jīng)常出現(xiàn)，所以對學(xué)生而言沒有難度。

（2）教師引導(dǎo)學(xué)生觀察等號兩邊式子的變化時，學(xué)生關(guān)注的是數(shù)據(jù)的特征，潛意識中思維仍然停留在借助情境理解意義上。在這樣的思維層次下，學(xué)生是不可能關(guān)注符號變化情況的。

（3）僅在一組等式的基礎(chǔ)上歸納和概括規(guī)律，素材量太少，不符合不完全歸納的要求。同時，用字母表示規(guī)律，僅需把一組等式中的數(shù)據(jù)改成字母即可，是一種“填鴨式”的行為。

（4）根據(jù)認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，數(shù)學(xué)模型構(gòu)建基本過程如下：

對照教材編寫可以發(fā)現(xiàn)：由于學(xué)習(xí)素材的不足，導(dǎo)致抽象化過程不充分，符號化意識不強，應(yīng)用（解模）時就會“問題百出”。

基于上述分析，要使學(xué)生構(gòu)建乘法分配律的模型，需根據(jù)認(rèn)知規(guī)律對現(xiàn)有教材進行補充、提升。

2.沒有找準(zhǔn)知識的“生發(fā)點”

誠然，教材是借助具體情境、以問題解決的形式展開 “乘法分配律”的教學(xué)，易于學(xué)生感知理解、表象觀察。但從數(shù)學(xué)的本質(zhì)意義來說，這一知識的“根基”不實。因此，要對這一知識“追根溯源”，尋找它的“生發(fā)點”。對教材進行梳理，發(fā)現(xiàn) “生發(fā)點”在二年級“表內(nèi)乘法”（兩個單元）的練習(xí)中。

通過觀察不難發(fā)現(xiàn)：由6×3+6到6×4和由3×7到2×7+7、4×7-7，這些是乘法分配律順、逆向的基本練習(xí)和發(fā)展性練習(xí)，學(xué)生借助乘法的意義很容易理解。然而，在實際教學(xué)中，不少教師以能正確計算為最終目標(biāo)，忽視了對特征和規(guī)律的歸納提煉，使學(xué)生失去了一次關(guān)鍵的知識的儲備與經(jīng)驗的積累機會，學(xué)生在學(xué)習(xí)四年級下冊“乘法分配律”時又“從頭開始”，新知就變成了“無根之木、無源之水”?？梢?，乘法分配律意義的構(gòu)建需要兩個“基石”支撐：一是結(jié)合情境，感知積累;二是深化乘法意義，形成知識體系。這兩者缺一不可。

3.重表象輕意義

心理學(xué)研究表明：表象是指感知過的事物形象在頭腦中再現(xiàn)的過程，具有直觀性和概括性的特征。因此，有些教師在教學(xué)“乘法分配律”時，對教材做了調(diào)整，設(shè)計如下教學(xué)流程。

上述教學(xué)摒棄了具體的問題情境，以計算情境為入口展開教學(xué)。這樣的教學(xué)模式有利于學(xué)生模仿和掌握基本的形式特征，學(xué)習(xí)能力弱的學(xué)生也能迅速掌握。但這樣的模仿易流于形式，過于強化表象，不利于意義的構(gòu)建。

4.練習(xí)設(shè)計不恰當(dāng)

練習(xí)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一種基本活動，其目的是“打好基礎(chǔ)，促進發(fā)展，反饋教學(xué)”。有效的練習(xí)除了達到上述目的，還要利于發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識與創(chuàng)新能力。練習(xí)設(shè)計目的要明確，針對性要強。然而，教材中關(guān)于乘法分配律的練習(xí)設(shè)計沒能很好地體現(xiàn)練習(xí)設(shè)計應(yīng)有的目的和意義。如：配套“練習(xí)七”中的1～5題都是口算、意義判斷、解決問題等形式，僅有兩道算式計算題（如圖3）：

7.下面每組算式的得數(shù)是否相等？如果相等，選擇其中一個算出得數(shù)。

這樣的練習(xí)題存在以下問題：

（1）缺少基本練習(xí)。乘法分配律的應(yīng)用有“順”“逆”兩種形式，給學(xué)生構(gòu)建意義帶來了一定的困難，而教材卻沒有出現(xiàn)這種形式的練習(xí)，學(xué)生連基本的模仿機會都沒有。

（2）形式單一，沒有層次性。練習(xí)七中明確要求用乘法分配律計算只有第6題，而第6題的三道習(xí)題都屬于“先拆再算”類型的提高型題目，缺少“先補再算”“先創(chuàng)造公因數(shù)再算”等練習(xí)形式。由于形式單一，練習(xí)還沒有層次性。

可見，教材中的練習(xí)編寫無論是數(shù)量上，還是質(zhì)量上，都達不到本課的教學(xué)要求，不利于學(xué)生運算能力的提高和應(yīng)用能力的發(fā)展。

三、實施策略

1.重視基礎(chǔ)

在教學(xué)“乘法分配律”前，要重視學(xué)生與之相關(guān)的知識與技能的積累。一是要在解決二年級上冊乘法口訣的練習(xí)時，深挖意義，且在后續(xù)教學(xué)中不斷重復(fù)，深化乘法的意義，使這條“暗線”得到延伸。二是訓(xùn)練學(xué)生用不同的方法解決問題的能力，幫助學(xué)生發(fā)展思維，積累經(jīng)驗。

2.豐富素材

當(dāng)學(xué)生結(jié)合具體情境用不同方法解決問題，且得出第一個等式（4+2）×25=4×25+2×25后，教師需增加得到多個類似的等式的計算情境。在多個同屬性素材的基礎(chǔ)上進行觀察、歸納，才符合有意義學(xué)習(xí)的要求。同時，還要使學(xué)生的注意力從“具體情境”過渡到“計算情境”，為符號化的抽象做好準(zhǔn)備。

3.意義建構(gòu)

引導(dǎo)學(xué)生觀察等式、歸納規(guī)律時，要“表里如一、內(nèi)外互補”。

表，即外在的表象。通過色彩、箭頭等形式，突出數(shù)據(jù)與運算符號的變化情況。

里，即內(nèi)在的意義。對等號兩邊的式子，用乘法的意義加以解釋，摒棄情境因素的干擾。

通過顯性的觀察和隱性的思考，規(guī)律的概括與歸納水到渠成，意義構(gòu)建初步達成。

4.巧設(shè)練習(xí)

學(xué)習(xí)乘法分配律的意義與作用在于能靈活應(yīng)用定律進行計算。根據(jù)本課的教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生的實際情況，以及乘法分配律類型的復(fù)雜性，練習(xí)要體現(xiàn)“量、質(zhì)、層次”三個要素（此處的練習(xí)僅指計算題）。具體層次如下：

上述練習(xí)只有在保證“量”的基礎(chǔ)上分階段進行，才能實現(xiàn)提高運算能力的目標(biāo)。

（責(zé)編 金 鈴）