摘 要：建模是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的重要步驟.學(xué)生建模能力的強(qiáng)弱與其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)的好壞有著緊密的聯(lián)系.授課中為使學(xué)生更加深刻的認(rèn)識(shí)不同數(shù)學(xué)模型，并能靈活用于解答實(shí)際問(wèn)題，應(yīng)做好相關(guān)例題的講解，使其更好的掌握運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解答實(shí)際問(wèn)題的思路與技巧.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);建模;教學(xué);例談

中圖分類號(hào)：G632????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A????? 文章編號(hào)：1008-0333（2021）27-0020-02

收稿日期：2021-06-25

作者簡(jiǎn)介：蔡于兵（1980.1-），男，江蘇省泰興人，碩士，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

數(shù)學(xué)模型是基于對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的理解，通過(guò)概括與抽象，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).高中數(shù)學(xué)涉及很多的模型，其中函數(shù)模型、概率模型、數(shù)列模型在測(cè)試中的出現(xiàn)頻率較高.為使學(xué)生掌握并靈活應(yīng)用這些模型，有必要進(jìn)行針對(duì)性的講解.

一、函數(shù)模型的教學(xué)

為使學(xué)生能夠從實(shí)際的情境中抽象出對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型，應(yīng)注重為學(xué)生深入的講解函數(shù)模型的建立步驟、技巧，尤其通過(guò)函數(shù)模型的求解，使其掌握函數(shù)模型的求解思路.一般情況下，構(gòu)建函數(shù)模型后往往運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)求出最終的結(jié)果.

例1 銷售甲、乙兩種商品獲得的利潤(rùn)分別是P、Q（單位：萬(wàn)元），它們與投入資金t（單位：萬(wàn)元）存在的關(guān)系為P=35t，Q=15t，若將a（a>0）萬(wàn)元資金投入甲、乙兩種商品，其中對(duì)甲商品的投資為x（單位：萬(wàn)元）.如何分配投入資金才能使得總利潤(rùn)y（單位：萬(wàn)元）最大？

根據(jù)題意需要構(gòu)建總利潤(rùn)y與x的函數(shù)模型.乙的投資為（a-x）萬(wàn)元，則易得：y=35x+15（a-x）（0≤x≤a）.則令x=t，則x=t2，則y=35t+a-t25=-15（t-32）2+9+4a20（0≤t≤a）.當(dāng)a≥32時(shí)，此時(shí)a≥94，當(dāng)t=32，x=94時(shí)，y取得最大值.當(dāng)a<32時(shí)，此時(shí)0

綜上，當(dāng)0

二、概率模型的教學(xué)

建立概率模型應(yīng)通過(guò)審題明確問(wèn)題所述的概率類型.通過(guò)回顧對(duì)應(yīng)概率類型的計(jì)算公式，構(gòu)建對(duì)應(yīng)的模型.當(dāng)然在構(gòu)建概率模型時(shí)應(yīng)注重善于從問(wèn)題的反面出發(fā)，以簡(jiǎn)化解題步驟，提高解題效率.

例2 在某項(xiàng)體能測(cè)試中，要求每名學(xué)生必須參加且最多兩次，若第1次測(cè)試通過(guò)則不再參加第2次測(cè)試.否則將參加第2次測(cè)試.如果甲同學(xué)每次通過(guò)的概率為23，乙同學(xué)每次通過(guò)的概率為12，甲乙每次是否通過(guò)相互獨(dú)立.（1）求甲乙至少有一人通過(guò)體能測(cè)試的概率;（2）計(jì)X為甲乙兩人參加體能測(cè)試的次數(shù)和，求X的分布列和期望.

根據(jù)題意（1）甲未通過(guò)測(cè)試的概率P1=（1-23）（1-23）=19，乙未通過(guò)測(cè)試的概率P2=（1-12）（1-12）=14.則至少有一人通過(guò)測(cè)試的概率P=1-P1P2=1-19×14=3536.

（2）X=2，3，4，則X的分布列為：

X234P131216

∴E（X）=2×13+3×12+4×16=176.

三、數(shù)列模型的教學(xué)

構(gòu)建數(shù)列模型時(shí)往往有明確的關(guān)鍵詞，如以后每年比上一年多（少）時(shí)則需要構(gòu)建等差數(shù)列模型.如以后每年是上一年的多少倍（百分之幾）則需要構(gòu)建等比數(shù)列模型.然后根據(jù)題意運(yùn)用等差、等比數(shù)列的相關(guān)公式求解，完成題目的作答.

例3 甲、乙兩個(gè)企業(yè)向簽約10年的員工提供了兩種均為稅后的工資計(jì)算方式.甲公司第一年提供10萬(wàn)元的年薪，而后每年上漲20%;乙公司第一年提供20萬(wàn)元的年薪，而后每年上漲5%;若僅考慮收入水平，你會(huì)選擇哪個(gè)公司，并說(shuō)明理由.已知1.210≈6.19，1.0510≈1.63.

分析可知甲乙兩公司提供的工資計(jì)算公式均為等比數(shù)列模型.其中甲公司工資計(jì)算方式構(gòu)成以10為首項(xiàng)，以1.2為公比的等比數(shù)列.乙公司工資計(jì)算方式構(gòu)成以20為首項(xiàng)，以1.05為公比的等比數(shù)列.則an=10×1.2n-1，bn=20×1.05n-1，則S1=10（1-1.2n）1-1.2=50（1.2n-1），S2=20（1-1.05n）1-1.05=400（1.05n-1），當(dāng)n=10時(shí)，S1≈259.5>S2=252，因此，僅考慮收入水平去甲公司比較劃算.

再如，某個(gè)企業(yè)去年的純利潤(rùn)是500萬(wàn)元，由于設(shè)備老化因素影響，生產(chǎn)能力逐年下降，如果不能夠及時(shí)進(jìn)行技術(shù)升級(jí)，預(yù)計(jì)從今年起每年純利潤(rùn)較上年降低20萬(wàn)元，在年初時(shí)，投入600萬(wàn)元進(jìn)行技術(shù)升級(jí)，在未扣除技術(shù)改造資金時(shí)，第n年的利潤(rùn)是500（1+12n）萬(wàn)元，今年作為第一年，n是正整數(shù).（1）從今年起的前n年，不進(jìn)行技術(shù)升級(jí)，累計(jì)純利潤(rùn)是An，技術(shù)升級(jí)之后的純利潤(rùn)（取出技術(shù)升級(jí)資金）是Bn，求解出An和Bn的表達(dá)式.（2）從今年起算起，經(jīng)過(guò)多少年之后，技術(shù)升級(jí)后的純利潤(rùn)超過(guò)沒(méi)有技術(shù)升級(jí)的純利潤(rùn).

在數(shù)列模型構(gòu)建時(shí)，教師需要加強(qiáng)課堂引導(dǎo)，讓學(xué)生認(rèn)真審題，分析題目意思，保證模型建構(gòu)的準(zhǔn)確性.

在利用數(shù)列模型解題時(shí)，需要讓學(xué)生思考所學(xué)習(xí)的等差和等比數(shù)列知識(shí)，全面理解題目?jī)?nèi)容，構(gòu)建正確的數(shù)學(xué)模型，完成問(wèn)題的分析和求解.

四、不等式模型的教學(xué)

在高中數(shù)學(xué)中，不等式是重要的基礎(chǔ)知識(shí)，其題目類型較為復(fù)雜多變，而且不少題目和日常生活有關(guān).在實(shí)際的不等式解題中，需要學(xué)生構(gòu)建不等式模型，利用均值不等式知識(shí)完成解題.對(duì)于高中學(xué)生來(lái)說(shuō)，部分學(xué)生缺乏建模意識(shí)和能力，無(wú)法完成題目情境向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，使得學(xué)生解題存在一定的難度.作為高中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)當(dāng)以具體題目作為基礎(chǔ)，讓學(xué)生完成不等式模型構(gòu)建，掌握不等式模型構(gòu)建方式，提高學(xué)生不等式模型構(gòu)建能力.

例4 某貨船在甲乙兩點(diǎn)運(yùn)送貨物，貨船最大速度是35km/h，甲乙兩地之間的距離是500km.貨船每小時(shí)航行成本包括燃料以及其他費(fèi)用，燃料費(fèi)用和速度平方成正比，系數(shù)是0.6，其余費(fèi)用是960元每小時(shí).（1）把全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度x的函數(shù).（2）貨船航行以多大速度，全程的運(yùn)輸成本最少？

在構(gòu)建不等式模型時(shí)，需要準(zhǔn)確找到參數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)兩地之間的距離讓學(xué)生分析參數(shù)關(guān)系，先表示出從甲地到乙地的時(shí)間，根據(jù)貨船行駛速度可以得出時(shí)間是500/x小時(shí)，根據(jù)題意構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，y=500x·0.6x2+960·500x=480000x+300x（0

因此，通過(guò)此題目的講解，讓學(xué)生可以更加全面的了解不等式模型解題策略，僅僅正確寫(xiě)出表達(dá)式是不夠的，還需要去對(duì)定義域進(jìn)行分析，保證最終計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性.在此題解答中，當(dāng)y取最小值時(shí)，x的取值并不在定義域的范圍內(nèi)，因此，不能夠直接使用均值不等式進(jìn)行求解.在高中數(shù)學(xué)解題中，教師應(yīng)當(dāng)避免學(xué)生的定勢(shì)思維，引導(dǎo)學(xué)生靈活利用模型解題，保證解題效率和準(zhǔn)確性.

高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)過(guò)程中，不僅要為學(xué)生講解具體的例題，更要注重在課堂上預(yù)留一定的時(shí)間鼓勵(lì)學(xué)生反思與交流，使其把握不同數(shù)學(xué)模型特點(diǎn)，掌握數(shù)學(xué)建模的相關(guān)細(xì)節(jié).同時(shí)，要求學(xué)生在課下及時(shí)開(kāi)展相關(guān)的專題訓(xùn)練活動(dòng)，積累相關(guān)的數(shù)學(xué)建模技巧，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模水平的進(jìn)一步提升.

參考文獻(xiàn)：

[1]王薇.淺談高中數(shù)學(xué)建模課程實(shí)施的路徑[J].高中數(shù)理化，2020（24）：25.

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[責(zé)任編輯：李 璟]