李雪竹

（運城學院 數(shù)學與信息技術(shù)學院，山西 運城044000）

0 引言

高等數(shù)學是各高等院校工科類專業(yè)的一門公共基礎(chǔ)核心課，是學生學習后續(xù)課程的基礎(chǔ).其內(nèi)容較多、學時較少，教學進度較快，對學生的培養(yǎng)要求較高.因此為了實現(xiàn)有效的教學，切實提高教學質(zhì)量，許多教師投入到高等數(shù)學教學方法的研究中.而隨著“互聯(lián)網(wǎng)+”及“慕課時代”的大力發(fā)展，“微課模式”的教學改革已被各大高校大力推廣.其中金朝永，李鋒探討了高等數(shù)學的微課程教學設(shè)計與翻轉(zhuǎn)課堂教學實踐研究［1］，陳昆，黃激珊探討了“高等數(shù)學”微課教學設(shè)計與實踐［2］.文中指出微課資源適合學生自主學習、移動學習、泛在學習，能夠進一步解放思想，創(chuàng)新理念.

BOPPPS教學模式創(chuàng)建于1976年，以建構(gòu)主義和交際法為理論依據(jù)，主張以學生為中心，是近幾年加拿大諸多院校為培養(yǎng)年輕教師采取的一種教學模式.隨著課堂改革的日益普遍，BOPPPS教學模式作為一種新興的教學模式，受到了中外越來越多教育學者的關(guān)注［3-8］.

基于BOPPPS模型下的高等數(shù)學微課教學設(shè)計的文章也很多［9-12］.但關(guān)于二重積分的微課教學設(shè)計并未發(fā)現(xiàn).二重積分是高等數(shù)學中的重點和難點，它是連接定積分和曲線、曲面積分的紐帶，在積分學中起著關(guān)鍵的作用，在這幾年的教學中，發(fā)現(xiàn)學生對這一知識掌握的并不太好，因此，本文以二重積分的概念為例，探討基于BOPPPS模式的高等數(shù)學微課程教學設(shè)計的方法.幫助學生更好的理解和掌握二重積分的概念.

1 BOPPPS模型概述

因為人的注意力一般只能持續(xù)15分鐘，所以BOPPPS模式根據(jù)這個規(guī)律，把教學內(nèi)容分割成六個小環(huán)節(jié)，使學生能夠持續(xù)集中注意力，全程專注于課堂，在課堂中獲取更多的有效知識.其包括：導入（Bridge-in）、學習目標（Object）、先測（Pre-assessment）、參與式學習（Participatory learning）、后測（Post-as‐sessment）、總結(jié)（Summary），把整節(jié)課堂安排的合理有序.其中，導入階段，吸引學生注意力，激發(fā)他們的好奇心，使學生們產(chǎn)生學習動力，從而快速進入新知識的學習；學習目標階段，根據(jù)布魯姆學習目標分為：知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度價值觀，明確學生通過本節(jié)課的學習應(yīng)該達到的目標；先測階段，評價學生目前所掌握知識的情況，教師參考結(jié)果來安排教學后續(xù)環(huán)節(jié)；參與式學習階段，采用恰當?shù)慕虒W方法，使學生的注意力能夠完全參與到課堂中去，從而實現(xiàn)教學目標；后測階段，通過一些方法確定學生在經(jīng)過本次課堂學習后，是否達到了所規(guī)定的教學目標；總結(jié)階段，教師帶領(lǐng)學生回顧本節(jié)課所學內(nèi)容，對所學內(nèi)容進行一個整合，并布置安排延伸作業(yè).

2 BOPPPS模式下高等數(shù)學微課設(shè)計理念——以“二重積分的概念”為例

筆者結(jié)合高等數(shù)學課程的特點，在BOPPPS教學模式的指導下，按照BOPPPS模式的六步教學法對高等數(shù)學課堂教學設(shè)計進行了嘗試.設(shè)計強調(diào)以學生為中心、以問題為導向的探究式教學理念，時時牢記以學生為主體，教師為主導這一教學原則，充分調(diào)動學生的積極性和主動性.

以“二重積分的概念”為例，在介紹本小節(jié)內(nèi)容之前，學生已經(jīng)學習了定積分的概念及其思想.學完本節(jié)內(nèi)容，不僅將定積分成功的推廣至二重積分，也為下一章學習曲線積分、曲面積分奠定了基礎(chǔ)，因此本節(jié)課承上啟下，起著至關(guān)重要的作用.

結(jié)合大綱的要求，在設(shè)計本課時，通過問題激發(fā)學生的興趣，由一元定積分自然推廣到二重積分，得到二重積分的概念，通過例題、練習加強概念的理解.

3 基于BOPPPS模型下“二重積分的概念”的教學設(shè)計

3.1 問題導入（Bridge-in）

在高等數(shù)學的上冊學習中，我們通過求曲邊梯形的面積和變速直線運動的路程引入了定積分的概念.（我們知道：數(shù)學中每個具體的概念都是由實際問題牽引而得）.因此與定積分的概念類似，二重積分的概念也是由兩個具體問題牽引得出.一是計算曲頂柱體的體積，二是求平面薄片的質(zhì)量，通過這兩個問題我們將引入二重積分的概念.著重介紹第一個引例：求曲頂柱體的體積，在講解中類比求曲邊梯形的面積的思想方法（分割、近似、求和、取極限），并告知學生這種思想在解決實際問題中有著廣泛的應(yīng)用.引導學生注重思想方法的滲透.因為方法類似，第二個引例的講解可適當簡化.（利用多媒體輔助教學，分割、近似更加形象直觀）.

3.2 教學目標（Object）——PPT展示

知識技能目標：理解曲頂柱體體積計算的思想方法；掌握二重積分的概念及幾何意義.

思想方法目標：通過定積分和二重積分的對比講解，培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合、類比推廣的數(shù)學思想方法.

情感態(tài)度目標：享受探究的樂趣，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣.

3.3 先測（Pre-assessment）——提問并板書

提問：（1）定積分的概念是怎么來的呢？

（2）定積分的思想是什么？

（3）定積分的概念是什么？

板書：（1）曲邊梯形的面積、變速直線運動的路程

（2）分割、近似、求和、取極限

3.4 參與式學習（Participatory learning）——特色設(shè)計

（1）首先對求曲頂柱體的體積、求平面薄片的質(zhì)量兩個引例進行分析，分析過程中把握“分割-近似-求和-取極限”的思想.

（2）通過上面兩個引例的分析，強調(diào)雖是兩個不同領(lǐng)域的問題，但有其共同的特性，于是引入二重積分的定義：

定 義［13］設(shè)z=f()x，y是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域D任意分成n個小閉區(qū)域Δσ1，Δσ2，…，Δσn，其中Δσi代表第i個小閉區(qū)域，也表示它的面積.在每個Δσi上任取一點(ξi，ηi)，作乘積并作和，如果當各個小區(qū)域的直徑的最大值λ→0時，這和的極限總存在，且與閉區(qū)域的分割及點(ξi，ηi)的取法無關(guān)，那么此極限稱為函數(shù)f(x，y)在區(qū)域D上的二重積分，記作，即

其中f(x，y)-被積函數(shù)；D-積分區(qū)域；x，y-積分變量；f(x，y)dσ-被積表達式-積分和.

關(guān)于上面的定義，要給學生做幾點說明，以幫助學生更好的理解定義.

說明：①在直角坐標系下，用平行于坐標軸的直線劃分D，則有dσ=dxdy，于是有=

③類比定積分的幾何意義，那二重積分的幾何意義是什么呢？（學生交流，教師總結(jié)）.

二重積分的幾何意義：當f(x，y)≥0時表示曲頂柱體的體積；當f(x，y)≤0時，表示體積的相反數(shù)；當f(x，y)既有正又有負時表示上體積減下體積.④若f(x，y)≡1，則區(qū)域D的面積）.

3.5 后測（Post-assessment）——課堂練習

3.6 總結(jié)（Summary）

利用PPT展示本節(jié)課主要內(nèi)容，二重積分和定積分對比列表總結(jié)，歸納數(shù)學思想.

4 應(yīng)用反思

基于BOPPPS模式的微課教學設(shè)計，上例從求曲頂柱體的體積、平面薄片的質(zhì)量兩個實際問題出發(fā)，通過與定積分的對比學習，進一步引入刻畫二重積分的概念，進而引導學生對定義進行分析，得出二重積分的幾何意義.采用問題驅(qū)動，對比教學的教學方法，促進學生積極思維，主動學習.

在高等數(shù)學的教學過程中，教師完全可以以知識點為獨立模塊，按照BOPPPS教學模式精心設(shè)計每一個知識點的單元微課，再把各知識點連接起來，真正做到以學生為中心，以問題為導向，積極引導學生參與到知識獲得的過程中，努力營造一個民主的、平等的、高效的數(shù)學課堂.