王 東

（渤海大學 實驗中心，遼寧 錦州121013）

0 引言

眾所周知，在實際工業(yè)過程中，絕大多數(shù)系統(tǒng)都是非線性的.因此，有關于非線性系統(tǒng)的研究一直是控制領域的熱點、重點以及難點．T-S模糊模型方法作為處理復雜非線性系統(tǒng)建模與控制問題的有效手段之一，受到了控制領域國內(nèi)外學者的廣泛關注.文獻［1-4］基于傳統(tǒng)的二次型Lyapunov函數(shù)研究了T-S模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與控制綜合問題.為了克服傳統(tǒng)的二次型Lyapunov函數(shù)帶來的保守性，文獻［5-8］基于模糊Lyapunov函數(shù)研究了T-S模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與控制綜合問題.文獻［9］提出了一種新的積分型模糊Lyapunov函數(shù)，有效地避免了在連續(xù)T-S模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析條件中出現(xiàn)隸屬度函數(shù)的導數(shù)項，大大簡化相應的分析過程.基于積分型模糊Lyapunov函數(shù)，文獻［10-17］分別考慮了不同情形下模糊系統(tǒng)的控制問題.

考慮到現(xiàn)有利用積分型模糊Lyapunov函數(shù)研究T-S模糊系統(tǒng)H∞控制問題的結果較少.本文將基于積分型模糊Lyapunov函數(shù)進一步利用線性矩陣不等式技術研究連續(xù)T-S模糊系統(tǒng)的H∞狀態(tài)反饋控制器設計問題.本文的主要貢獻在于通過增加松弛矩陣變量和積分型模糊Lyapunov函數(shù)，以線性矩陣不等式的形式給出了兩個充分設計條件，有效地解決了連續(xù)T-S模糊系統(tǒng)H∞狀態(tài)反饋控制器的設計問題.

1 問題描述

考慮如下連續(xù)T-S模糊系統(tǒng)：

其中，x(t)∈Rn是狀態(tài)變量，u(t)∈Rm是控制輸入變量，ω(t)∈Rl是擾動變量且能量有界，z(t)∈Rp是被控輸出變量，ξ(t)=[ ]ξ1(t)，ξ2(t)，…，ξp(t)，ξd(t)，d=1，2，…，p為前提變量；Mdi(d=1，2，…，p，i=1，2，…，r)為模糊集，并且r表示模糊規(guī)則數(shù)；Ai，Bi，Ci，Di，Ei是適當維數(shù)的系統(tǒng)矩陣.hi(ξ(k))=是前提變量ξd(k)相對于模糊集合Mdi的隸屬度且滿足hi(ξ(k))≥

那么根據(jù)上述的闡述，系統(tǒng)（1）可以重新寫為：

其中Λ(h)=hi(ξ(k))Λi，Λ=A，B，C，D，E.

考慮如下狀態(tài)反饋模糊控制器，

由式（2）和式（3）可以得到如下的閉環(huán)控制系統(tǒng)：

至此，本文的目的可闡述為對于已經(jīng)給出的H∞性能指標γ>0，設計（3）所示的模糊狀態(tài)反饋控制器使得以下兩個條件成立：

（1）當ω(t)=0時，閉環(huán)系統(tǒng)（4）是漸近穩(wěn)定的；

（2）閉環(huán)系統(tǒng)（4）具有給定的H∞性能指標γ，即在x(0)=0的條件下，對于任意的非零ω(t)，均能夠使被控輸出滿足

下面引理將會在后面的推導中用到.

引理1：文獻［4］的兩個結論是等價的.

（1）存在P>0滿足T+ATP+PA<0

（2）存在P>0，L和H滿足

引理2：文獻［10］假設Q是任意給定的正定矩陣，下面的兩個陳述是等價的.

（1）Φ+Γ+ΓT<0

2 主要結果

本節(jié)將分別依據(jù)引理1和引理2給出T-S模糊系統(tǒng)H∞控制器的存在條件和設計方法.

定理1：考慮閉環(huán)系統(tǒng)（4），其能夠在存在外部擾動信號的情況下漸近穩(wěn)定并且滿足給定的H∞性能指標γ>0，如果存在矩陣Nk>0，Ψ和使得下述線性矩陣不等式成立：

證明：考慮積分型模糊Lyapunov函數(shù)［9-10］，則其沿著系統(tǒng)的微分有

如果上面的式（6）小于0，即可根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定理論得出閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的且具有給定的H∞性能指標γ>0.那么對于任意的只需要滿足

對上式應用引理1則式（7）成立，如果存在矩陣G滿足

對上式應用Schur補引理，可以得到

（3）煉化產(chǎn)業(yè)產(chǎn)能過剩存在地區(qū)不平衡。整體來看煉化產(chǎn)業(yè)已經(jīng)產(chǎn)能過剩，但從地區(qū)來看，在有些地區(qū)產(chǎn)能嚴重過剩的情況下，部分地區(qū)的產(chǎn)能利用率在90%以上，存在產(chǎn)能不足，一定程度上反映煉化企業(yè)存在地區(qū)分布不均衡，產(chǎn)能過剩嚴重的地區(qū)集中在中國東部和西部，而中部整體過剩并不明顯。

類似于定理1的推導過程，可以使用引理2得到如下的模糊控制器設計條件.

定理2：考慮閉環(huán)系統(tǒng)（4），其能夠在存在外部擾動信號的情況下漸近穩(wěn)定并且滿足給定的H∞性能指標γ>0，如果存在矩陣Nk>0，X1，W2，J1，J2和K?j使得下述線性矩陣不等式成立：

證明：類似于定理1，可知閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的且具有給定的H∞性能指標γ>0，如果不等式（7）成立.對不等式（7）應用引理2，則式（7）成立，如果存在矩陣W和J滿足

對不等式（13）執(zhí)行同余變換，即左右分別乘以diag{I，I，P-1k，I，I}及其轉置，再通過運用Schur補引理，可以得到

對不等式（14）執(zhí)行同余變換，即左右分別乘以diag{W-11，I，I，I，I，I}及其轉置，并結合可以得到

3 數(shù)值算例

為證明定理1的有效性，我們考慮形如（1）的連續(xù)T-S模糊模型，其相應系統(tǒng)參數(shù)如下：選取隸屬度函數(shù)為h1(ξ(t))=1(1+exp(x1+0.5))，h2(ξ(t))=1-h1(ξ(t)).

運用本文給出的定理1，通過MATLAB軟件的線性矩陣不等式（LMI）工具箱，得到控制器參數(shù)如下：

此時，控制性能指標可優(yōu)化到的最小值為γmin=2.9481.

為證明定理2的有效性，我們考慮形如（1）的連續(xù)T-S模糊模型，其相應系統(tǒng)參數(shù)如下：

選取隸屬度函數(shù)為h1(ξ(t))=1-1(1+exp(-3(x1-π2)))，h2(ξ(t))=1-h1(ξ(t)).

運用本文提出的定理2，通過MATLAB軟件的線性矩陣不等式（LMI）工具箱，得到控制器參數(shù)如下：此時，控制性能指標可優(yōu)化到的最小值為γmin=2.2193.

從仿真結果就能看出，本文提出的兩種方法都可以實現(xiàn)連續(xù)T-S模糊系統(tǒng)的H∞狀態(tài)反饋控制器的設計，證明了所提出方法的有效性.

4 結論

本文基于積分型模糊Lyapunov函數(shù)研究了連續(xù)T-S模糊系統(tǒng)的H∞狀態(tài)反饋控制器設計問題.通過兩個不同的矩陣不等式變換技術引入松弛變量，以線性矩陣不等式的形式給出了兩個H∞狀態(tài)反饋控制器存在的充分條件.該設計方法采用積分型模糊Lyapunov函數(shù)，有效地解決了以往在運用模糊Lyapunov函數(shù)時產(chǎn)生的隸屬度函數(shù)導數(shù)項.仿真結果表明，所提出的方法是可行且有效的.