賈蓓蓓

（燕山大學 理學院，河北 秦皇島 066004）

一、研究背景與意義

隨著科學技術的進步，勞動生產(chǎn)力日益提升，商品市場處于供求平衡或是需求較小的市場飽和狀態(tài)，質(zhì)量成為贏得市場的關鍵因素。質(zhì)量管理貫穿產(chǎn)品生產(chǎn)的整個環(huán)節(jié)，從設計、生產(chǎn)到銷售，每一個環(huán)節(jié)的產(chǎn)品質(zhì)量管理都不可或缺，對產(chǎn)品生產(chǎn)的全過程進行監(jiān)控管理就顯得尤為重要[1]。統(tǒng)計過程控制（Statistical Process Control，SPC）便是用來監(jiān)控這些波動，保證波動處于穩(wěn)定狀態(tài)或是在可以控制的范圍內(nèi)的一種方法[2]。

控制圖是SPC技術進行產(chǎn)品質(zhì)量監(jiān)控的主要工具。20世紀40年代，Hotelling提出了控制圖，用于解決多元統(tǒng)計過程問題。該控制圖通過當前觀測點，對多變量進行監(jiān)控，由于僅利用了當前信息，歷史數(shù)據(jù)價值損失巨大，對波動較小的過程監(jiān)控極為困難。針對此缺陷，多元累積和控制圖（MCUSUM）與多元指數(shù)加權移動平均控制圖（MEWMA）應運而生[3]。這些控制圖以監(jiān)控數(shù)據(jù)服從多元獨立正態(tài)分布為基本假設，但是在生產(chǎn)過程實際應用中，通常無法判定數(shù)據(jù)所服從的分布類型，并且很難做到變量間相互獨立，使得控制圖監(jiān)控不準確，造成一定的局限性。

隨著大數(shù)據(jù)時代的到來，數(shù)據(jù)挖掘、機器學習技術飛速發(fā)展，機器學習算法被更多人接受并應用于各大領域[4]。因此，開始將機器學習的方法與控制圖理論相結合，用來解決控制圖由于統(tǒng)計原理不完善、數(shù)據(jù)分布不確定、參數(shù)多元帶來的限制問題[5]。支持向量數(shù)據(jù)描述（SVDD）是基于統(tǒng)計學理論的新興機器學習方法，適用于高維度、小樣本、對樣本分布要求不高的數(shù)據(jù)，剛好彌補了控制圖缺陷，應用價值極高。因此，將SVDD模型引進MEWMA控制圖，具有極高的研究價值。

二、MEWMA控制圖與支持向量數(shù)據(jù)描述算法相關理論

（一）MEWMA 控制圖

MEWMA控制圖不僅利用了當前信息與歷史信息，而且將時間序列應用于控制圖模型中，對統(tǒng)計過程中的小偏移波動反應敏感，具有良好的監(jiān)控性能。

假設觀測值 X=[x1，x2，x3，…，xp]′服從均值向量為u0，協(xié)方差矩陣為∑的p元正態(tài)分布N（u0，∑）。定義一個統(tǒng)計量：

其中，Zi為第i個樣本觀測值與之前i-1個樣本觀測值的加權值，Zi的初始值為Z0。R代表各質(zhì)量特征值的權重，R=diag（r1，r2，…，rp），0≤rj≤1，j=1，2，…，p。I為p階單位矩陣。根據(jù)統(tǒng)計量Zi，MEWMA控制圖的統(tǒng)計量為：

其中，∑Zi是統(tǒng)計量Zi的協(xié)方差矩陣，如果權重相同，協(xié)方差矩陣可簡化為：

對于MEWMA控制圖的控制限，通常通過平均運行鏈長（ARL）計算獲得，當權重系數(shù)取不同的值，控制限的取值也不同。當控制圖統(tǒng)計量超過控制限范圍，控制圖報警。

（二）支持向量數(shù)據(jù)描述理論

支持向量數(shù)據(jù)描述（SVDD）理論是通過將特定的訓練集映射到高維空間獲得超球體，并使超球體盡可能多的將同類數(shù)據(jù)包含其中，將不同類數(shù)據(jù)排除在外的分類方法[6]。因此，該方法也避免了無法獲取異常樣本的問題，減少了過擬合。

比如，有N個訓練集，給定訓練集T={xi∈Rd，i=1，…，N}，其中xi是一個d維向量。支持向量數(shù)據(jù)描述的目的就是企圖用一個球心為α，半徑為R，R＞0的超球體盡可能多地將目標數(shù)據(jù)集包含其中。若要滿足球體最小，可以通過最小化獲得最優(yōu)解，公式表示為：

其中，ξi代表松弛變量，C為懲罰因子。

在最小化問題中，所有的目標數(shù)據(jù)需要包含在超球體中，即每個目標數(shù)據(jù)到超球體球心的距離小于超球體半徑，條件公式表示為：

對于以上求解最優(yōu)化，一般引進拉格朗日乘子進行計算，有公式：

αi，γi≥0為拉格朗日因子。拉格朗日函數(shù)對各參數(shù)求導，使求導結果為0。

圖1 支持向量數(shù)據(jù)描述的數(shù)據(jù)描述過程

將以上求解結果帶入拉格朗日方程并轉(zhuǎn)化為對偶問題，有：

針對以上對偶問題進行求解，假設α*為最優(yōu)解集，α*不為0時對應點Xi的就為分類器邊界的支持向量。設R2為超球體半徑，定義為支持向量到球心的距離，公式為：

當存在一個點c，判斷c點是否數(shù)據(jù)目標集，就看c點到超球體球心的距離是否在半徑內(nèi)，如果在就屬于目標集，不在便可歸類于異常數(shù)據(jù)。點c到球心的距離表示為：

當數(shù)據(jù)點到球心的距離小于等于半徑時，認為該數(shù)據(jù)點屬于目標集，否則認為是異常點。

實際操作中，數(shù)據(jù)并非如此理想化，有些數(shù)據(jù)并不是線性可分的，為了提高支持向量數(shù)據(jù)描述的泛化能力，提高靈活性，引入核函數(shù)這一概念。當原始數(shù)據(jù)集不線性可分時，那么通過核函數(shù)將線性不可分的數(shù)據(jù)集映射到高維空間，轉(zhuǎn)化為高維空間線性可分的問題。研究證明，函數(shù)只要滿足Mercer定理，該函數(shù)便可作為核函數(shù)。用核函數(shù)代替內(nèi)積，問題轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/p>

相應的，超球體半徑和數(shù)據(jù)c到球心的距離分別轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/p>

三、基于支持向量數(shù)據(jù)描述的MEWMA控制圖模型設計

產(chǎn)品生產(chǎn)過程受控狀態(tài)下，有一組觀測值為Y（y1，y2，…，ym），作為訓練數(shù)據(jù)，用支持向量數(shù)據(jù)描述算法對訓練樣本進行學習，得到一個球心為a，半徑為R2的超球體。一組新的觀察值 X（x1，x2，…，xn），數(shù)據(jù)到超球體球心距離為，基于支持向量數(shù)據(jù)描述的MEWMA控制圖設計如下：

其中，Xk為第k個觀測值，初始值為Z0，權重為λ，0≤λ≤1?？刂葡逓閔，當產(chǎn)品生產(chǎn)過程受控時，平均運行鏈長（ARL）決定了控制限h的值。當基于支持向量數(shù)據(jù)描述的MEWMA控制圖統(tǒng)計量Zk＞h時，控制圖報警。

四、S-MEWMA控制圖與MEWMA控制圖對比分析與研究

本文將通過仿真實驗，將S-MEWMA控制圖MEWMA控制圖進行對比，驗證S-MEWMA控制圖在多元非獨立情況下的性能。利用平均運行鏈長作為控制圖的評價標準，當控制圖在控平均運行鏈長ARL0一定時，監(jiān)控過程發(fā)生不同程度的偏移，對比失控平均運行鏈長ARL1，具有較小ARL1的控制圖性能較好。

（一）維度方面

表1 S-MEWMA控制圖與MEWMA控制圖控制限h

S-MEWMA控制圖與MEWMA控制圖在不同偏移量下的ARL1結果見表2：

表2 S-MEWMA控制圖與MEWMA控制圖ARL1

通過萬次仿真實驗得出的實驗結果可知，當φ＜2時，S-MEWMA控制圖三維正態(tài)分布下的ARL1要低于二維正態(tài)分布的ARL1；當φ＞2.5時，三維S-MEWMA控制圖與二維S-MEWMA性能基本相同。說明發(fā)生偏移越小時，支持向量數(shù)據(jù)描述對更高維控制圖的作用越明顯，優(yōu)越性越顯著；當偏移程度增大時，支持向量數(shù)據(jù)描述對更高維控制圖優(yōu)勢減弱。但是對于MEWMA控制圖，二維控制圖ARL1稍微低于三維控制圖ARL1，性能相差不大。無論是二維或是三維，相同維度下，S-MEWMA控制圖ARL1明顯低于MEWMA控制圖ARL1，S-MEWMA控制圖性能優(yōu)于MEWMA控制圖，也驗證了支持向量數(shù)據(jù)描述算法比控制圖的優(yōu)勢大。

（二）相關性方面

基于二維正態(tài)分布，通過構造不同的相關系數(shù)，驗證基于支持向量數(shù)據(jù)描述算法的MEWMA控制圖的性能。二維正態(tài)分布中，S-MEWMA控制圖與MEWMA控制圖的ARL0仍然設為200，參數(shù)f、s值仍然為0.025、1.5，控制圖控制限h，失控狀態(tài)下平均運行鏈長ARL1同上節(jié)。

表3 S-MEWMA與MEWMA控制圖的控制限

S-MEWMA控制圖與MEWMA控制圖在不同偏移量、不同、不同的結果見表4：

表4 二維正態(tài)分布下不同相關系數(shù)ARL1值

實驗結果表明，對于S-MEWMA控制圖，變量間相關系數(shù)的變化并不會對ARL1產(chǎn)生較大的影響，但是對MEWMA控制圖來講，當變量間相關系數(shù)逐漸增大時，控制圖性能不穩(wěn)定性增加，因此，當數(shù)據(jù)變量間非獨立時，S-MEWMA控制圖表現(xiàn)出了更好的性能。

五、結論

本文通過仿真模擬方法，將S-MEWMA控制圖和MEWMA控制圖進行對比，探究S-MEWMA控制圖在服從非獨立二維正態(tài)分布及三維正態(tài)分布的情況下的性能。利用平均運行鏈長作為控制圖的評價標準，當控制圖在控平均運行鏈長一定時，監(jiān)控過程發(fā)生不同程度的偏移，對比失控平均運行鏈長，具有較小鏈長的控制圖性能較好。實驗結果表明，S-MEWMA控制圖在數(shù)據(jù)服從非獨立二維正態(tài)分布及三維正態(tài)分布的情況下，相較MEWMA控制圖具有更好的性能。