宋向東, 楊 儀

(燕山大學 理學院 河北 秦皇島 066004)

休哈特控制圖的改進

宋向東, 楊 儀

(燕山大學 理學院 河北 秦皇島 066004)

在常規(guī)控制圖的基礎上提出了“平均鏈長(ARL)無偏的常規(guī)控制圖”及“控制圖的ARL無偏性質”. 首先, 通過利用樣本的分布函數(shù)精確求解出標準差, 獲得控制圖的上下控制限. 然后比較ARL無偏控制圖和常規(guī)控制圖在監(jiān)控生產過程中的質量變化. 最后結合數(shù)值算例, 得出ARL無偏控制圖在監(jiān)控生產過程中和質量變化時更具有優(yōu)勢.

休哈特R控制圖； 休哈特s控制圖； 平均鏈長； 概率分布函數(shù)

0 引言

在研究中往往假設常規(guī)控制圖R圖和s圖都是近似正態(tài)分布, 在實際問題中, 樣本的極差R和標準差s都是從0開始趨近無限大, 在控制圖的右側無限延長且趨近于零. 當α=0.002 7 時, 在許多情況下R和s控制圖平均鏈長最大值不是370, 這種缺陷在小樣本檢測中更加明顯,原因在于監(jiān)控生產過程中R和s圖的最小值均是從0開始, 去掉了負數(shù)部分的下控制限,使整個控制圖呈偏態(tài)分布的.

為了克服這些問題, 文獻[1]提出了一種改進的R圖(IRC).文獻[2]討論了常規(guī)s圖的不足, 提出了一種修正的s控制圖.文獻[3]研究了高產過程的 CCC-r控制圖.文獻[4-6]提出了多種改進的常規(guī)控制圖.文獻[7]展示了改進的R和s控制圖(IRC和ISC),通過計算順序統(tǒng)計量的分布函數(shù)得到IRC和ISC.本文在文獻[7]的基礎上, 通過定義無偏的平均鏈長, 得到了ARL無偏的R(UBRC)和s(UBSC)控制圖, 并精確計算控制圖的上下限的參數(shù).

定義1 對于某個同時具有上下控制限的控制圖, 若σ=1時，平均鏈長達到最大；當σ偏離標準值1時，平均鏈長變小, 則稱該控制圖為ARL無偏的.否則稱該控制圖為ARL有偏的.

1 ARL無偏的R和s控制圖

1.1 ARL無偏的R控制圖

假設X服從獨立同分布的標準正態(tài)分布N(μ,σ2)，已知其均值μ和標準差σ0.有一組大小為n的樣本,對這些樣本進行排序得到x(1),x(2),…，x(n).標記σ為過程標準差,其標準值為σ0.設0<λ<∞，用λσ0表示系統(tǒng)偏移量,當λ=1時表示無偏移.

R控制圖的上下控制限UCLR和LCLR分別表示為[7]

(1)

(2)

(3)

ARL無偏的R控制圖的平均鏈長為LR(λ)=1/p(λ),當λ=1時,平均鏈長L(λ)取極大值L(1)=370.398 3，即發(fā)出失控信號的概率為p(λ),當λ=1時得到極小值.當λ=1時,由方程(3)整理可得

(4)

其中g,G分別為R圖的概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù).

表1 ARL無偏的休哈特R圖和改進的R圖的參數(shù)值

1.2 ARL無偏的s控制圖

(5)

(6)

s控制圖的ARL為Ls(λ)=1/p(λ). 當λ=1 時，由方程(6)可以得到

其中f和F分別為自由度為n-1的2分布的概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù).ARL無偏s控制圖的上下控制限分別為：σ；σ.同理可得在α未知時參數(shù)為和.表2表示在第一類錯誤α下,參數(shù)值隨n的變化趨勢.圖1b表示當n=10時,兩種控制圖的平均鏈長曲線,可以看出ARL無偏控制圖無偏斜的平均鏈長曲線.

圖1 當 n=10 時無偏的和改進的常規(guī)控制圖的平均鏈長曲線Fig.1 Unbiased chavts and improved charts ARL profiles when n=10

2 數(shù)值比較

2.1 平均鏈長精確值的比較

可使用數(shù)值積分方法精確計算出控制圖R圖和s圖的平均鏈長.標記σ0為標準差(σ0=1),σ為生產過程中發(fā)生偏差的標準差,δ(δ=σ/σ0)為偏差幅度.

表2 ARL無偏的休哈特s圖和改進的休哈特s圖的參數(shù)值

表3和表4分別給出在不同樣本容量n和系統(tǒng)偏差δ下的控制圖R圖(UBRC和IRC)和控制圖s圖(UBSC和ISC)的平均鏈長.可以發(fā)現(xiàn)ARL無偏的R圖和s圖的平均鏈長最大值都在370,當系統(tǒng)偏差逐漸變小或變大時平均鏈長都會變小,并且隨著樣本容量的變大,監(jiān)控更加靈敏.

表3 當最長平均鏈長為370下,隨著系統(tǒng)誤差的變化ARL無偏的R圖和改進的R圖的平均鏈長

表4 當最長平均鏈長為370下,隨著系統(tǒng)誤差的變化ARL無偏的s圖和改進的s圖的平均鏈長

2.2 UBRC圖和UBSC圖的比較

對樣本容量n=5,10,20時,ARL無偏的R圖和s圖的平均鏈長進行了比較,圖2a，2b，2c中R圖和s圖的平均鏈長分別為

pR=p(σ)=1-G(D2σ)+G(D1σ)，即ARLR=1/pR,

(7)

ps=p(σ)=1-F((n-1)(B6/σ)2)+F((n-1)(B5/σ)2)，即ARLs=1/ps.

(8)

當n=5時,圖2a給出了系統(tǒng)偏差σ從1到3的曲線.圖2a中可以看到,當σ<1且逐漸趨近于1時,R圖(UBRC)比s圖(UBSC)有更短的平均鏈長，當σ>1且逐漸趨近于無窮時,UBSC控制圖比UBRC控制圖的平均鏈長減少速度更快,較快的減少速率代表檢測水平更為敏感.對比圖2a、圖2b及圖2c,隨著樣本容量的變大,兩條曲線越來越趨近，當0.1<σ<1時,兩條曲線幾乎沒什么區(qū)別，當σ>1時,UBSC圖比UBRC更加有效.

圖2d表示兩個控制圖平均鏈長的差,可以更直觀地比較兩個控制圖平均鏈長.當n逐漸增大時,兩個控制圖的平均鏈長之差越來越小,當σ趨近無窮時,兩個控制圖平均鏈長幾乎相等.將圖2中四個圖形比較可以發(fā)現(xiàn),當樣本容量足夠大時，s圖處處比R圖能進行更有效的監(jiān)測.當0.6<σ<1時,R圖監(jiān)測效果非常靈敏.原因在于公式(7)和(8)中兩個微小的概率密度,它們的變化對平均鏈長之差產生很大的影響.當樣本容量足夠大時,s圖比R圖更有效，是因為R圖只利用了樣本最大值和最小值,沒有利用所有統(tǒng)計量的信息.

圖2 ARL無偏的休哈特R圖和ARL無偏的休哈特s圖的平均鏈長曲線Fig.2 Unbiased R and s chorts ARL profiles

3 對隨機模擬數(shù)據的檢驗

在隨機模擬中檢測ARL無偏控制圖的性能.隨機模擬20組樣本容量為10的變量,前10組是N(0,1)的獨立同分布數(shù)據,后10組數(shù)據系統(tǒng)誤差為δ=σ/σ0=2.圖3中顯示，ARL無偏控制圖具有優(yōu)秀的監(jiān)控效果.

圖3 ARL無偏控制圖對隨機數(shù)據的監(jiān)控Fig.3 Unbiased ARL charts for monitoring simulated variance

4 結論

提出的“平均鏈長(ARL)無偏的休哈特控制圖”及“控制圖的ARL無偏性質”是對傳統(tǒng)常規(guī)控制圖的有效改進.通過數(shù)據顯示,無偏控制圖、常規(guī)控制圖在σ=1時，均達到平均鏈長的最大值370，在監(jiān)控生產過程中質量變化并無差異.而σ≠1時，隨著σ的變化，無偏控制圖平均鏈長逐漸減小,而常規(guī)控制圖并無此優(yōu)勢.此外,在大樣本容量下,通過比較ARL無偏的s控制圖和ARL無偏的R控制圖的平均鏈長,發(fā)現(xiàn)在質量控制中，ARL無偏s控制圖更具有優(yōu)勢.

[1] KHOO M B C, LIM E G. An improvedR(range) control chart for monitoring the process variance[J]. Quality and reliability engineering, 2004, 21(1): 43-50.

[2] KHOO M B C. A modifiedschart for the process variance [J]. Quality engineering,2005, 17(4): 567-577.

[3] 宋宗偉，宋向東. 高產過程的CCC-r圖控制限優(yōu)化[J]. 遼寧工程技術大學學報，2014,33(4):535-538.

[4] 孫耀東，徐寶，趙志文. 固定設計下時間序列非參數(shù)回歸模型的方差變點檢驗[J]. 鄭州大學學報(理學版), 2014, 46(1): 1-4.

[5] 王海宇. 基于Bootstrap方法的分布未知情況下的小波動過程質量控制[J]. 鄭州大學學報(理學版), 2014, 46(1): 63-67.

[6] 宋向東，宋宗偉. 監(jiān)測過程均值小的偏移的綜合控制圖[J]. 鄭州大學學報(理學版),2014, 46(1): 49-53

[7] ZHANG G. Improvedrandscontrol charts for monitoring the process variance[J]. Journal of applied statistics, 2014, 41(41): 1260-1273.

[8] 全國統(tǒng)計方法標準化技術委員會. GB/T 4091-2001常規(guī)控制圖[S].北京：中國標準出版社，2001.

(責任編輯：方惠敏)

The Improvement ofRandsControl Charts

SONG Xiangdong, YANG Yi

(CollegeofScience,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004,China)

The “average run length (ARL) unbiased control charts ofRands” and “unbiased ARL property of control charts” were proposed. Firstly, cumulative distribution function of the sample range was used to accurately solve standard deviation to control limits of control charts. Then,the quality changes of unbiased control charts and shewhart control charts were compared.The numerical examples showed that ARL unbiased control charts were more efficient in monitoring quality changes that emerged in production.

shewhartRchart; shewhartschart; average run length unbiased; cumulative distribution function

2016-09-07

宋向東(1965—)，男，河北保定人，副教授，主要從事非參數(shù)統(tǒng)計和質量控制研究，E-mail：Songxd@ysu.edu.cn; 通訊作者：楊儀(1991—)，男，山西臨汾人，碩士研究生，主要從事質量控制研究，E-mail：yangyi--314@163.com.

O213.1

A

1671-6841(2017)01-0001-06

10.13705/j.issn.1671-6841.2016223