提升數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的效率與品質(zhì)，教師需要在促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)方面下功夫。一般而言，深度學(xué)習(xí)是指在教師的組織和引領(lǐng)下，學(xué)生在面對(duì)具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)材料或問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下，全身心地主動(dòng)參與課堂學(xué)習(xí)活動(dòng)，從而獲得能力發(fā)展的學(xué)習(xí)進(jìn)程。深度學(xué)習(xí)是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的手段，教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中要積極探索促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的有效路徑。

一、在對(duì)話交流中進(jìn)入深度學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)知識(shí)可以分為隱性知識(shí)和顯性知識(shí)。隱性知識(shí)是指高度個(gè)體化的，難以形式化或溝通的，難以直接表達(dá)或與他人共享的知識(shí)，通常以個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)、印象、感悟等形式存在;顯性知識(shí)是指能夠以一種系統(tǒng)的方法表達(dá)的正式而規(guī)范的知識(shí)，通常以語(yǔ)言、公式等結(jié)構(gòu)化的形式呈現(xiàn)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師比較注重顯性知識(shí)的教學(xué)，容易淡化或忽略數(shù)學(xué)隱性知識(shí)。提升學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，教師除了優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)適切的學(xué)習(xí)活動(dòng)場(chǎng)景，還要注重隱性知識(shí)的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在對(duì)話交流中內(nèi)化隱性知識(shí)，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。

以教學(xué)“平均數(shù)”為例：平均數(shù)代表一組數(shù)據(jù)的一般水平，具有虛擬性的特點(diǎn)。這樣的描述性語(yǔ)言，學(xué)生容易記憶，而“總數(shù)÷份數(shù)=平均數(shù)”這樣的計(jì)算公式，學(xué)生也容易接受和理解。那么，學(xué)生如何理解“代表一般水平”“虛擬性”的含義呢？這就涉及將隱性知識(shí)進(jìn)行內(nèi)化的問(wèn)題，也是教學(xué)的難點(diǎn)。假如學(xué)生的學(xué)習(xí)處于淺層次，沒有深入理解其內(nèi)涵，沒有進(jìn)行深度探究，就難以突破這一學(xué)習(xí)難點(diǎn)。因此，教師在教學(xué)中要?jiǎng)?chuàng)設(shè)豐富的、具有對(duì)話交流空間的學(xué)習(xí)情境，讓學(xué)生在對(duì)話交流中逐漸進(jìn)入深度學(xué)習(xí)狀態(tài)，進(jìn)而理解數(shù)學(xué)概念及內(nèi)涵。

教師可以創(chuàng)設(shè)下面的學(xué)習(xí)情境：二年級(jí)學(xué)生要進(jìn)行60米短跑比賽，班主任要求大家回家練習(xí)，并填寫匯報(bào)單“60米，我跑了（? ）秒”。

A同學(xué)練習(xí)時(shí)跑了五次，成績(jī)分別是15秒、14秒、12秒、10秒、14秒。A同學(xué)填寫的匯報(bào)單如下：60米，我跑了（15）秒。不過(guò)，他想了想，還是劃掉了。于是，師生在課堂上針對(duì)A同學(xué)的匯報(bào)單展開了下面的對(duì)話。

師：A同學(xué)第一次填寫的是15秒，之后又劃掉了。這是為什么？

生：因?yàn)檫@是他跑得最差的成績(jī)。

師：A同學(xué)第二次填寫的是10秒，想了想還是劃掉了。這又是為什么？

生：這是他跑得最好的成績(jī)，可能擔(dān)心真正比賽時(shí)跑不出那么好的成績(jī)，有點(diǎn)心虛。

師：A同學(xué)第三次填寫的是14秒。你覺得他為什么填寫14秒呢？

生：因?yàn)樗芰宋宕?，其中有兩次?4秒，所以填14秒比較合適。

師：但A同學(xué)想了想，還是劃掉了。這又是為什么？

生：也許他認(rèn)為自己跑得慢，有點(diǎn)不好意思。

師：A同學(xué)第四次填寫的是12秒，想了想還是劃掉了。你猜這又是為什么？

生：可能他認(rèn)為這個(gè)時(shí)間還是顯得快了些，心虛。

這時(shí)，B同學(xué)認(rèn)為填寫13秒比較合適，因?yàn)椋?5+14+12+10+14）÷5=13。

師：（故作驚訝）這是為什么呢？同學(xué)們，可以填13秒嗎？

生：沒有出現(xiàn)過(guò)13秒，不可以。

生一時(shí)無(wú)法做出判斷，議論紛紛。

生C：A同學(xué)跑了五次，沒有出現(xiàn)過(guò)13秒，但是這并不意味著后面不會(huì)出現(xiàn)，也許跑到第六次就出現(xiàn)13秒了呢。

生C用概率知識(shí)進(jìn)行了推測(cè)。在師生的多次對(duì)話與交流中，教師逐步引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)代表一般水平的、具有虛擬性的數(shù)，即平均數(shù)。這個(gè)過(guò)程使得原本理解了“求平均數(shù)方法”這一顯性知識(shí)的學(xué)生又陷入了思考當(dāng)中，重新經(jīng)歷了一個(gè)由清晰到模糊再到清晰的過(guò)程，這是學(xué)生領(lǐng)會(huì)“平均數(shù)虛擬性”這一數(shù)學(xué)隱性知識(shí)的過(guò)程，也是學(xué)生在對(duì)話交流中進(jìn)入深度學(xué)習(xí)的過(guò)程。

二、在豐富經(jīng)驗(yàn)中走向深度學(xué)習(xí)

深度學(xué)習(xí)是在理解學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，以培養(yǎng)良好思維能力、反思能力和解決問(wèn)題能力為目標(biāo)的一種品質(zhì)學(xué)習(xí)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，其實(shí)就是讓學(xué)生在一定的情境沖突中主動(dòng)地、專注地、批判性地學(xué)習(xí)，并自然地進(jìn)入主動(dòng)探究問(wèn)題的狀態(tài)，能夠從多維視角分析數(shù)學(xué)問(wèn)題。再者，學(xué)習(xí)過(guò)程是一個(gè)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)不斷豐富的過(guò)程，經(jīng)驗(yàn)豐富的程度影響著學(xué)習(xí)的深度。因此，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的教學(xué)不應(yīng)平鋪直敘，而應(yīng)促使學(xué)生不斷深入思考且思維呈螺旋上升態(tài)勢(shì)，這樣才有利于不斷豐富有效經(jīng)驗(yàn)。

學(xué)習(xí)“負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)”這一內(nèi)容，當(dāng)學(xué)生理解了負(fù)數(shù)的相對(duì)意義關(guān)系和相反意義的規(guī)定性后，教師給出圖1并提出問(wèn)題：“小華的身高用-2厘米表示可以嗎？”有的學(xué)生認(rèn)為可以，有的學(xué)生認(rèn)為不可以。此時(shí)，教師可以組織學(xué)生分組討論。學(xué)生討論的過(guò)程就是明確知識(shí)內(nèi)涵的過(guò)程，也是深入探究問(wèn)題的過(guò)程。

師：請(qǐng)兩個(gè)小組分別派一名代表闡述本組的觀點(diǎn)和理由。

生1：嬰兒出生時(shí)都有高度，何況是小華，所以，不能用-2厘米表示小華的身高。

生2：如果以一個(gè)同學(xué)身高120厘米作為標(biāo)準(zhǔn)，小華身高118厘米，那么，小華身高可以表示為-2厘米。

有的學(xué)生點(diǎn)頭表示認(rèn)可生2的觀點(diǎn)。

師：給你提供一個(gè)信息，全國(guó)12周歲兒童身高的正常范圍是140—160厘米。

生：小華身高158厘米，如果以160厘米作為標(biāo)準(zhǔn)，記作0，小華身高可以表示為-2厘米。

師：如果以140厘米作為標(biāo)準(zhǔn)呢？

生：小華身高可以表示為+18厘米。

師：同樣是小華的身高，為什么既可以用正數(shù)表示，又可以用負(fù)數(shù)表示？

生：以哪個(gè)作為“0”的標(biāo)準(zhǔn)非常重要。

師：好一個(gè)變化多端的“0”呀！看來(lái)，確定標(biāo)準(zhǔn)是什么十分關(guān)鍵。一旦“標(biāo)準(zhǔn)”發(fā)生了變化，就會(huì)引起正負(fù)數(shù)的變化。如果分別以140厘米、160厘米這兩個(gè)數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)，你能表示自己的身高嗎？

這樣的練習(xí)結(jié)合了生活中的數(shù)學(xué)場(chǎng)景，通過(guò)對(duì)話、分析，學(xué)生明白了“標(biāo)準(zhǔn)”的重要性。當(dāng)教師提出問(wèn)題：小華的身高用-2厘米表示可以嗎？學(xué)生在分析和討論中逐漸明白了“-2厘米”是小華身高與某一標(biāo)準(zhǔn)量進(jìn)行比較后的相對(duì)結(jié)果，并且隨著經(jīng)驗(yàn)認(rèn)知不斷豐富以及“標(biāo)準(zhǔn)”發(fā)生變化，會(huì)意識(shí)到這一相對(duì)數(shù)值將由負(fù)數(shù)變?yōu)?或變?yōu)檎龜?shù)。學(xué)生將經(jīng)歷從“已有知識(shí)→矛盾沖突→經(jīng)驗(yàn)豐富→打破平衡→重新建構(gòu)”的過(guò)程，思維逐層遞進(jìn)，變得活躍而靈動(dòng)。

學(xué)生對(duì)數(shù)字“0”比較熟悉，“0”既可以表示沒有，又可以表示起點(diǎn)。受已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的影響，學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)的時(shí)候，能夠快速領(lǐng)會(huì)數(shù)字“0”是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)?？梢哉f(shuō)，學(xué)生學(xué)習(xí)“負(fù)數(shù)”之前，對(duì)數(shù)字大小表示多與少的認(rèn)識(shí)比較深刻。因此，教師在教學(xué)“負(fù)數(shù)”時(shí)要強(qiáng)調(diào)，“數(shù)”不僅表示多與少，還表示一種狀態(tài)。這個(gè)認(rèn)知過(guò)程是學(xué)生經(jīng)驗(yàn)不斷變得豐富的過(guò)程，最明顯的表現(xiàn)是對(duì)數(shù)字“0”的認(rèn)識(shí)。這種相對(duì)性的認(rèn)知體驗(yàn)，是學(xué)生提升數(shù)感的過(guò)程。因此，靜態(tài)數(shù)字“0”顯然不足以揭示“負(fù)數(shù)”產(chǎn)生的必要性，要使學(xué)生真正體會(huì)正數(shù)和負(fù)數(shù)的規(guī)定性與相對(duì)性，必須對(duì)數(shù)字“0”進(jìn)行辨析，使學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)變得豐富，并且開始進(jìn)入一種主動(dòng)探究的狀態(tài)。

三、在思維碰撞中實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)

有人說(shuō)，好課沒有標(biāo)準(zhǔn)，但是一節(jié)好課往往能夠讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中產(chǎn)生思維的碰撞。教學(xué)中，教師要讓學(xué)生不斷地挑戰(zhàn)富有思辨性的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)師生互動(dòng)、生生互動(dòng)進(jìn)入深度思考，從中習(xí)得知識(shí)與技能、積累經(jīng)驗(yàn)、發(fā)展思維，進(jìn)入深層學(xué)習(xí)狀態(tài)。

教學(xué)“平行與垂直”這一內(nèi)容時(shí)，當(dāng)學(xué)生理解了“同面，永遠(yuǎn)不相交的兩條直線，互相平行”這一知識(shí)點(diǎn)后，有的教師認(rèn)為教學(xué)到這里就可以了。筆者以為，教學(xué)還不夠深入，而應(yīng)在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題：“異面，永遠(yuǎn)不相交的兩條直線，是否互相平行？”從數(shù)學(xué)學(xué)理層面看，“異面”兩條直線平行是不存在的，但從學(xué)生經(jīng)驗(yàn)層面看，“異面”兩條平行直線是存在的。圍繞這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生積極思考問(wèn)題，做法如下：

師：假如兩條直線同時(shí)在電腦屏幕這個(gè)平面，我們可以說(shuō)“同面，永遠(yuǎn)不相交的兩條直線互相平行”。如果a∥b，那么直線b平移到任何位置都將與直線a平行或重合，直線b可以上下平移并停留，請(qǐng)問(wèn)它有多少個(gè)地方可以停留？

生：無(wú)數(shù)個(gè)地方可以停留。

師：如果我們?cè)谥本€b每一個(gè)停留的地方用淡灰色表示，這些淡灰色區(qū)域?qū)?huì)形成什么？

生：形成一個(gè)淡灰色的平面。

師：（課件演示線動(dòng)成面）同面，永遠(yuǎn)不相交的兩條直線，互相平行，即a∥b。有同面，就有異面，如果把直線b請(qǐng)出電腦平面，放到紙板平面上，直線a與直線b就成為異面直線。那么，異面，永遠(yuǎn)不相交的兩條直線，也互相平行嗎？老師為大家準(zhǔn)備了學(xué)具，請(qǐng)你擺一擺，議一議。

生動(dòng)手?jǐn)[放學(xué)具并展示，認(rèn)為兩條直線有可能平行，也有可能不平行。

師：異面的兩條直線永遠(yuǎn)不相交，是互相平行的，那么，平移直線a慢慢靠近直線b，直線a平移留下的痕跡將會(huì)變成一個(gè)面。你能用手比畫一下這個(gè)面嗎？

生用手比畫想象中的第三個(gè)平面。

師：第三個(gè)平面產(chǎn)生，直線a與直線b又在第三個(gè)平面同面了。（課件演示）你能在教室找到這樣異面的永遠(yuǎn)不相交的兩條直線互相平行嗎？

生觀察、交流，思考。

以上操作活動(dòng)，從“同面，永遠(yuǎn)不相交的兩條直線，互相平行”到“異面，永遠(yuǎn)不相交的兩條直線，可能平行，也可能不平行”，再到“異面，永遠(yuǎn)不相交的兩條直線互相平行，平移其中一條直線慢慢靠近另一條直線，平移軌跡形成第三個(gè)面，這兩條直線又會(huì)在同面”。這個(gè)從異面到同面的辯證統(tǒng)一的過(guò)程，是學(xué)生深度思考的過(guò)程，在此過(guò)程中，學(xué)生的思維發(fā)生了碰撞，空間觀念得到了培養(yǎng)。

四、在回顧與反思中實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)

解決問(wèn)題是數(shù)學(xué)教學(xué)的常態(tài)。教師設(shè)置什么樣的問(wèn)題，在什么時(shí)間以什么樣的形式呈現(xiàn)問(wèn)題，對(duì)問(wèn)題的解決如何進(jìn)行追蹤評(píng)價(jià)，都需要精心設(shè)計(jì)。教師要善于組織學(xué)生回顧和反思解題的過(guò)程，讓學(xué)生掌握解題的方法，以合理的教學(xué)秩序構(gòu)建學(xué)生自主學(xué)習(xí)的秩序，從而提高深度學(xué)習(xí)的有效性。

比如，用“1、2、3、4、5”這五個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)乘兩位數(shù)（數(shù)字不重復(fù)使用），使得乘積最大。首先，要求學(xué)生用“2、3、4、5”這四個(gè)數(shù)字組成數(shù)位上沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)，看看能組成多少個(gè)？然后教師提出問(wèn)題：“從這些兩位數(shù)中任選一組兩位數(shù)，使兩個(gè)兩位數(shù)相乘，乘積盡可能大，并說(shuō)明理由?！睂W(xué)生最后聚焦到52×43或53×42這兩個(gè)算式，這體現(xiàn)了估算的理念。接著教師可以追問(wèn)：“到底哪一個(gè)算式乘積更大呢？”學(xué)生經(jīng)過(guò)思考后一般有以下結(jié)論：一是運(yùn)用常規(guī)思維直接計(jì)算結(jié)果，比較積的大小;二是運(yùn)用估算思維，比較兩個(gè)算式結(jié)果的大小，看較大乘數(shù)的十位和較小乘數(shù)的個(gè)位，前者是3個(gè)50，后者是2個(gè)50，前者比后者多出1個(gè)50，因此，前面的算式結(jié)果要大;三是運(yùn)用求聯(lián)思維，即周長(zhǎng)一定，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬越接近，積越大。接著，教師再次提問(wèn)：“如果再給你一個(gè)數(shù)‘1，用‘1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)乘兩位數(shù)（數(shù)位上的數(shù)字沒有重復(fù)），使乘積最大?！边@個(gè)問(wèn)題就是本課學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，有利于推動(dòng)學(xué)生思維的發(fā)展。學(xué)生可以在算式52×43的基礎(chǔ)上完成思維的挑戰(zhàn)，一般有兩種結(jié)論：521×43或52×431，當(dāng)學(xué)生無(wú)法直接確定算式結(jié)果大小時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行筆算驗(yàn)證。最后，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)習(xí)過(guò)程，總結(jié)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，然后拋出問(wèn)題：“如果用‘2、5、7、8、3這五個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)乘兩位數(shù)（數(shù)位上的數(shù)字沒有重復(fù)），積要最大，怎么辦？”

該教學(xué)過(guò)程大致圍繞五個(gè)環(huán)節(jié)展開：數(shù)的組成→兩位數(shù)乘兩位數(shù)積的大小策略優(yōu)化比較→三位數(shù)乘兩位數(shù)積的大小比較的問(wèn)題解決→回顧和反思學(xué)習(xí)過(guò)程→方法的習(xí)得、遷移與強(qiáng)化。教師引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)習(xí)過(guò)程，就是學(xué)生習(xí)得學(xué)習(xí)方法的過(guò)程，也是積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程，有利于學(xué)生從學(xué)習(xí)“術(shù)”的層面向“道”的層面推進(jìn)，是學(xué)生從淺層學(xué)習(xí)走向深度學(xué)習(xí)的過(guò)程，更是提高課堂效度的對(duì)策。

圍繞深度學(xué)習(xí)促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)品質(zhì)的提升，是教師教學(xué)實(shí)踐的重要課題，這個(gè)課題不是常規(guī)教學(xué)可以實(shí)現(xiàn)的，也并非一朝一夕能夠完成的，這需要教師用心、用力、用智慧去探索與實(shí)踐，在實(shí)踐中不斷反思，在反思中不斷調(diào)整，最終找到有效的教學(xué)路徑。

（作者簡(jiǎn)介：張翼文，浙江省特級(jí)教師，正高級(jí)教師，杭州師范大學(xué)講習(xí)教授）

（責(zé)編 歐孔群）