陸建

摘? 要：在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，實施多元表征教學(xué)，有利于學(xué)生完善CPFS結(jié)構(gòu)，優(yōu)化概念認(rèn)知，促進概念的理解融通. 橢圓概念的表征形式有模型表征、操作表征、方程表征、軌跡表征等. 運用多元表征教學(xué)時要注意兩點：增加結(jié)點，豐富連線;合理取舍，把握時機.

關(guān)鍵詞：多元表征;CPFS結(jié)構(gòu);橢圓

南京師范大學(xué)喻平教授提出了CPFS結(jié)構(gòu)理論，其中個體CPFS結(jié)構(gòu)是指學(xué)生頭腦中的知識網(wǎng)絡(luò)，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中特有的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 它由下列四個概念組成：概念域（Concept field），指學(xué)生在學(xué)習(xí)一個概念時頭腦中形成了一組等價定義;概念系（Concept system），指學(xué)生在學(xué)習(xí)新概念時頭腦中形成了一組相關(guān)概念及相互之間的關(guān)系;命題域（Proposition field），指學(xué)生在學(xué)習(xí)命題后頭腦中形成了一組命題;命題系（Proposition system），指學(xué)生頭腦中貯存了一組命題，以及相互存在的推理關(guān)系.“CPFS”即概念、命題、域、系四個單詞的首字母縮寫. 相關(guān)研究指出，CPFS結(jié)構(gòu)對學(xué)生的數(shù)學(xué)理解、學(xué)習(xí)、遷移、探究問題、解決問題等能力都會產(chǎn)生直接的正面影響. 因此，CPFS結(jié)構(gòu)理論對數(shù)學(xué)教學(xué)具有很好的指導(dǎo)意義，它要求教師努力完善學(xué)生的知識網(wǎng)絡(luò)，幫助他們形成完備的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

多元表征是指對一個信息加工對象，通過心原碼的建構(gòu)過程，對信息進行編碼并形成多種轉(zhuǎn)譯，從而形成對信息的多元化表征形式. 學(xué)生能用不同的形式表征數(shù)學(xué)概念，實現(xiàn)多元表征的融合轉(zhuǎn)化，形成相對完善、精致的概念網(wǎng)絡(luò)是對數(shù)學(xué)概念理解融通的標(biāo)志. 有研究表明，個體形成的CPFS結(jié)構(gòu)與問題表征有密切聯(lián)系，具備優(yōu)良CPFS結(jié)構(gòu)的學(xué)生更能合理、正確地表征問題，進而有效地解決問題. 可見，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，完善學(xué)生CPFS結(jié)構(gòu)，有利于實施多元表征教學(xué)，優(yōu)化概念認(rèn)知，促進概念的理解融通. 下面以“橢圓”概念教學(xué)為例，談?wù)勥@方面的思考，敬請批評指正.

一、“橢圓”概念的多元表征

1. 模型表征：追尋原始形態(tài)，感受幾何魅力

數(shù)學(xué)概念是從大量數(shù)學(xué)現(xiàn)象甚至現(xiàn)實事物中比較、概括、抽象得到的，大多數(shù)概念都有一段厚重的歷史，往往是經(jīng)過數(shù)學(xué)家艱辛探索、反復(fù)求證、逐步完善得到的. 而在現(xiàn)實教學(xué)中，教師常常忽略概念的形成過程，直接教授學(xué)生現(xiàn)成的結(jié)論，學(xué)生無法體會到概念背后發(fā)現(xiàn)的曲折、探索的艱辛、思維的跌宕. 正如荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾所說，沒有一種數(shù)學(xué)思想是以它們被發(fā)現(xiàn)時的樣子公開發(fā)表出來，一個問題被解決后，相應(yīng)地發(fā)展為一種形式化技巧，結(jié)果把求解丟一邊，使得火熱的發(fā)現(xiàn)變成了冰冷的美麗. 數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)追尋概念產(chǎn)生背后的思考，挖掘數(shù)學(xué)家當(dāng)年的思維軌跡，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)家當(dāng)初的困惑，重走數(shù)學(xué)概念發(fā)現(xiàn)之路，激起學(xué)生的認(rèn)知沖突和探索興趣，使數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生自然而然、水到渠成. 筆者從以下幾個問題切入，引導(dǎo)學(xué)生理解橢圓的概念.

問題1：用一個既不與圓錐的軸平行、垂直，又不與母線平行的平面截圓錐面，所得到的截線具有什么幾何特征呢？

若用一個垂直于圓錐的軸的平面去截圓錐面，所得截線是一個圓，此時若在截面的上方、下方各放一個球，兩球與圓錐面及截面均相切，則兩個球與截面的切點均與截面圓心重合，截線上任一點到切點的距離為定值（截面圓的半徑）. 由此聯(lián)想到問題1，如圖1所示，若改變截面的位置，使截面既不與圓錐的軸平行、垂直，又不與母線平行，那么截線上的點滿足什么幾何性質(zhì)呢？設(shè)點[M]為截線上任一點，由于此時切點由1個變?yōu)?個（點[F1]和點[F2]），類比前面的思考，自然想到需探究[MF1]與[MF2]的關(guān)系，抑或它們具有什么不變的性質(zhì).

1822年，比利時數(shù)學(xué)家旦德林構(gòu)建了雙球模型，該方法利用純幾何知識，構(gòu)建了橢圓的概念，構(gòu)思精巧、論證嚴(yán)謹(jǐn)，滲透了數(shù)學(xué)之美，充分彰顯了幾何知識的魅力. 教師充分利用模型表征，追尋數(shù)學(xué)家探究的歷史軌跡，描繪橢圓概念發(fā)現(xiàn)的原始形態(tài)，在數(shù)學(xué)家的“廢紙簍”里找回火熱的思考，發(fā)展了學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，滲透了數(shù)學(xué)文化教育.

2. 操作表征：積累活動經(jīng)驗，彰顯概念內(nèi)涵

建構(gòu)主義認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并非一個被動的接受過程，而是一個建立在學(xué)生已有知識結(jié)構(gòu)和經(jīng)驗基礎(chǔ)上的主動建構(gòu)過程. 按照這種觀點，最好的學(xué)習(xí)方法就是“做數(shù)學(xué)”. 正如弗賴登塔爾所說，數(shù)學(xué)是人的一種活動，如同游泳一樣，要在游泳中學(xué)會游泳. 我們必須在“做數(shù)學(xué)”中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué). 沒有經(jīng)過比較分析、抽象概括、演繹歸納等深刻思維活動得到的概念是空洞的、標(biāo)簽式的，是沒有靈魂的符號. 因此，在概念教學(xué)中，教師要以活動為載體，讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”中，經(jīng)歷深度的思維，學(xué)會數(shù)學(xué)地思考，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，從而把握數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵.

問題2：給你一根定長的細繩，兩枚圖釘，一支鉛筆，能畫出橢圓嗎？

將細繩的兩端分別利用圖釘固定在點[F1，F(xiàn)2]，用鉛筆尖將繩子拉緊，使筆尖在畫板上慢慢移動，觀察筆尖的移動（即動點的變化），其數(shù)學(xué)特征是筆尖的每一個位置到兩個定點的距離之和不變，都等于細繩的長度，顯然畫出的圖形是一個橢圓.

問題3：準(zhǔn)備一張圓形紙片，在圓內(nèi)任取不同于圓心O的點[F]，將紙片折起，使圓周過點[F]，如圖2所示. 然后將紙片展開，就得到一條折痕[l]. 這樣繼續(xù)折下去，得到若干折痕，觀察這些折痕圍成的圖形的輪廓，它們形成了什么曲線？

學(xué)生形成了橢圓的概念后，并不代表學(xué)生真正理解了概念，還需要從不同的角度進行抽象概括，以固化概念本質(zhì)屬性，深化學(xué)生對概念的理解. 教師通過“畫”“折”這兩個活動，形成操作表征，讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”中感悟橢圓的定義，雖然我們在操作過程中花了很多時間，但學(xué)生積累了更多活動經(jīng)驗，豐富了認(rèn)知結(jié)構(gòu)，概念域也逐步趨于完善，發(fā)展了直觀想象、邏輯推理素養(yǎng).

3. 方程表征：構(gòu)建數(shù)量關(guān)系，揭示本質(zhì)特征

解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究幾何問題，坐標(biāo)系的建立，使得點可以用坐標(biāo)表示，曲線可以用方程刻畫，進而使得通過代數(shù)方法研究曲線成為可能. 建立橢圓的概念后，僅從形的方面我們尚不能全面地認(rèn)識、理解它，還需要從數(shù)的方面探索橢圓的代數(shù)表示，使得數(shù)與形完美結(jié)合，從而使形的研究能夠插上數(shù)的翅膀. 正如法國數(shù)學(xué)家拉格朗日所指出的，代數(shù)同幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄，但是當(dāng)兩門科學(xué)結(jié)成伴侶時，它們就能相互吸收新鮮的活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善.于是接下來要探究的自然是：圍繞橢圓的幾何條件，挖掘橢圓上動點坐標(biāo)滿足的數(shù)量規(guī)律，建立橢圓的方程，進而發(fā)揮代數(shù)的力量，借助方程研究橢圓的幾何性質(zhì).

問題4： 如何建立橢圓的方程？（推導(dǎo)過程略.）

這里，我們用數(shù)量關(guān)系與符號語言準(zhǔn)確、簡潔地表征了橢圓的概念和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，建立了橢圓的幾何特征與數(shù)量關(guān)系之間的有機聯(lián)系. 橢圓的概念從幾何特征上反映了橢圓的本質(zhì)屬性，而橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則從數(shù)量關(guān)系上抽象出橢圓的本質(zhì)規(guī)律. 運用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以幫助學(xué)生從不同視角理解橢圓的概念，完善其概念域，解釋和驗證不同情境中橢圓不同呈現(xiàn)形式的同一性.

問題5與問題6都是從橢圓的方程表征入手，進行等價變形，從距離與斜率出發(fā)，由數(shù)到形認(rèn)識橢圓的幾何特征. 通過橢圓的方程表征建立統(tǒng)一結(jié)構(gòu)，打通多種幾何刻畫之間的相互聯(lián)系，把橢圓的相關(guān)性質(zhì)予以統(tǒng)一，既抽象了橢圓的本質(zhì)屬性，又豐富了橢圓的CPFS結(jié)構(gòu).

4. 軌跡表征：注重知識關(guān)聯(lián)，完善概念體系

世界是聯(lián)系的，聯(lián)系是有規(guī)律的，站在聯(lián)系的角度認(rèn)識事物，有利于把握事物的本質(zhì)與規(guī)律. 由于數(shù)學(xué)知識聯(lián)系緊密、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)、結(jié)構(gòu)緊湊，因此數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要突出知識之間的相互關(guān)聯(lián)，在聯(lián)系中理解知識的整體性和邏輯性，從而認(rèn)識數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 學(xué)習(xí)、理解橢圓的概念，要基于聯(lián)系的視角，立足圓錐曲線整章學(xué)習(xí)，做到“瞻前顧后”，絕不能單打獨斗、孤立片面. 接下來，要進一步探索橢圓的多種表征方式，以豐富概念域，完善概念系.

此處，我們?nèi)匀皇菑倪\動變化的角度探究橢圓與雙曲線的聯(lián)系，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美與和諧美. 其實，橢圓可以由雙曲線生成，雙曲線也可以由橢圓類似地生成，它們是互為“伴隨曲線”的. 全新的視角、多元的表征，帶給學(xué)生一個“不一樣”的、超凡脫俗的橢圓，至此對橢圓的理解透徹深刻，完善的CPFS結(jié)構(gòu)悄然生成.

二、兩點思考

1. 增加結(jié)點，豐富連線

CPFS結(jié)構(gòu)理論啟示我們，數(shù)學(xué)概念教學(xué)的重要目標(biāo)是形成和完善學(xué)生的概念域、概念系及相關(guān)的知識網(wǎng)絡(luò). 在CPFS結(jié)構(gòu)中，數(shù)學(xué)概念等知識點處于結(jié)點的位置，而結(jié)點之間的連線常包含著重要的數(shù)學(xué)思想方法，由此形成的知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)是知識與方法的復(fù)合體. 結(jié)點和連線越多，任意兩個結(jié)點之間的通路也就越多，網(wǎng)絡(luò)也就越有效、越強大. 因此，形成和完善概念域和概念系的基本途徑是增加概念結(jié)點的數(shù)量，豐富概念之間的方法連線.

橢圓概念的多元表征，提供了認(rèn)識橢圓的不同視角，使得圍繞橢圓的知識結(jié)點充足有效，而多種表征形式之間的相互溝通、融合、轉(zhuǎn)化，使結(jié)點之間的聯(lián)系更加緊密. 在表征轉(zhuǎn)換過程中，運用了定義法、直接法、轉(zhuǎn)移法、參數(shù)法、交軌法等求動點軌跡的基本方法，滲透了運動變化、選參消參、對立統(tǒng)一等數(shù)學(xué)思想，極大地豐富了知識結(jié)點之間的連線，有利于形成多元聯(lián)系、結(jié)構(gòu)緊密的CPFS結(jié)構(gòu)，有利于發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng).

2. 合理取舍，把握時機

盡管橢圓的概念有多種表征，但并非越多越好，由于學(xué)生在一節(jié)課中所能接受的內(nèi)容是有限的，故不可能把所有的表征形式全教給學(xué)生，事實上，過多的表征信息可能會造成學(xué)生理解上的困難和混亂，反而得不償失. 因此，教師要根據(jù)教情和學(xué)情，合理選擇表征形式，同時要把握好各種表征形式出現(xiàn)的時機. 模型表征是滲透數(shù)學(xué)文化、優(yōu)化直觀想象素養(yǎng)的好素材，但圖形復(fù)雜且過于抽象，因此教學(xué)中要做好鋪墊，使探究自然、過渡順暢、避免突兀. 同時，要發(fā)揮多媒體的作用，盡量減輕學(xué)生認(rèn)知上的負擔(dān). 對于操作表征，“畫橢圓”可以借助幾何畫板軟件來完成，“折紙片”可以讓學(xué)生課后實踐操作，體驗感悟. 三種形式的方程表征是教學(xué)的重點，要認(rèn)真探究，要突出代數(shù)式的變形，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，引導(dǎo)學(xué)生挖掘代數(shù)式的幾何背景，深刻體會方程是曲線的“代數(shù)表示”. 對于軌跡表征，要結(jié)合具體的例題、習(xí)題，循環(huán)往復(fù)、螺旋上升，在不同的學(xué)習(xí)階段分散講解，讓學(xué)生在問題解決中體會橢圓的本質(zhì)屬性. 在高三復(fù)習(xí)階段，可以圍繞橢圓概念的表征，專門設(shè)計微專題復(fù)習(xí)，力求見微知著，幫助學(xué)生系統(tǒng)地總結(jié)歸納，使學(xué)生對橢圓的認(rèn)知由分散、不完整的印象上升到集中、完整的理解，形成更加牢固的、關(guān)于概念對象和結(jié)構(gòu)的陳述性知識，再通過橢圓概念在解決相關(guān)問題中的反復(fù)應(yīng)用，鞏固程序性知識，最后逐步完善概念域和概念系，形成結(jié)構(gòu)優(yōu)良，易于提取、遷移的CPFS結(jié)構(gòu).

參考文獻：

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