張陽(yáng)

摘? 要：數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng). 根據(jù)SOLO分類理論運(yùn)算等級(jí)，2020年全國(guó)新高考Ⅰ卷中的所有試題均可以按照四種層次進(jìn)行分析，不同層次的數(shù)學(xué)運(yùn)算源于學(xué)生對(duì)問題的表征差異，而學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)水平直接影響其表征能力. 在教學(xué)中，教師需要從課程標(biāo)準(zhǔn)演進(jìn)中解讀數(shù)學(xué)運(yùn)算，在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中理解數(shù)學(xué)運(yùn)算，依據(jù)系統(tǒng)論原則培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：新高考;數(shù)學(xué)運(yùn)算;表征;系統(tǒng);流程圖

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng). 數(shù)學(xué)運(yùn)算包括算理與算法兩個(gè)部分：算理指數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)則，如四則運(yùn)算、代數(shù)式運(yùn)算法則、方程與不等式的恒等變換、三角恒等變換、矩陣運(yùn)算等;算法指數(shù)學(xué)運(yùn)算的方案與程序，是在算理自覺運(yùn)用的前提下，與所學(xué)內(nèi)容高度融合，形成某個(gè)特定問題的解題思維方法，是學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)與綜合能力的體現(xiàn).

數(shù)學(xué)運(yùn)算考查的內(nèi)容主要集中在掌握運(yùn)算法則、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序兩個(gè)部分. 前者強(qiáng)調(diào)算理，后者體現(xiàn)算法.

一、基于SOLO分類理論的數(shù)學(xué)運(yùn)算分析

以2020年全國(guó)新高考Ⅰ卷為例，對(duì)基于SOLO分類理論的數(shù)學(xué)運(yùn)算進(jìn)行分析. SOLO分類理論是以等級(jí)劃分的形式來(lái)描述學(xué)生思維能力目標(biāo)，從而評(píng)價(jià)學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量的一種“質(zhì)性評(píng)價(jià)”方法. 按照這一分類理論將數(shù)學(xué)運(yùn)算進(jìn)行層次劃分，如表1所示.

2020年全國(guó)新高考Ⅰ卷共22道題，除了第20題立體幾何題第（1）小題可以用邏輯推理進(jìn)行證明外（考查線面垂直關(guān)系的證明，也可以通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量計(jì)算的方法進(jìn)行證明），其余各題都需要進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算.

可以看出，數(shù)學(xué)運(yùn)算是高考數(shù)學(xué)的考查重點(diǎn)，作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，與其他數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)相互聯(lián)結(jié)，共同為解題服務(wù).

1. 概念引發(fā)單一表征，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)則（單點(diǎn)結(jié)構(gòu)U）

問題中的概念理解沒有難度，其表征形式單一，解題路徑唯一，僅考查數(shù)學(xué)運(yùn)算中學(xué)生的算理能力. 在解題時(shí)，學(xué)生沒有歧義，方法選擇及運(yùn)算均沒有困難.

【評(píng)析】問題表征對(duì)象單一，目標(biāo)明確，考查學(xué)生復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，易于操作，難度低.

2. 概念引發(fā)多元表征，形成不同運(yùn)算路徑（多點(diǎn)結(jié)構(gòu)M）

低難度的數(shù)學(xué)題考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基本概念、基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法等數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握情況. 此類問題的特點(diǎn)是概念本身引發(fā)的多元表征，學(xué)生通過表征數(shù)學(xué)問題（表征世界），映射所掌握的內(nèi)在知識(shí)（被表征世界），形成解題路徑，不同的解題路徑對(duì)應(yīng)著不同的運(yùn)算路徑，從而解決問題.

【評(píng)析】數(shù)學(xué)問題的表征形式相對(duì)固定，它將作為外部世界的現(xiàn)實(shí)問題，加工成圖象、圖表、表格、符號(hào)、動(dòng)作、語(yǔ)言等初步存儲(chǔ)到學(xué)生的大腦，此時(shí)學(xué)生的大腦對(duì)表征結(jié)果進(jìn)行了抽象化處理，主要包括數(shù)量、關(guān)系等. 表征結(jié)果與學(xué)生認(rèn)知體系的對(duì)應(yīng)產(chǎn)生了不同的解題路徑. 該題方案1，表征結(jié)果與學(xué)生認(rèn)知體系中的立體幾何產(chǎn)生了對(duì)應(yīng)，側(cè)重于邏輯推理的數(shù)學(xué)運(yùn)算;方案2則是解析幾何與之產(chǎn)生對(duì)應(yīng)，側(cè)重于方程的數(shù)學(xué)運(yùn)算. 因此，該題更多的是考查學(xué)生對(duì)運(yùn)算方案的選擇.

4. 數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)水平，映射運(yùn)算方案優(yōu)化程度（抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)E）

對(duì)于較為復(fù)雜的背景材料，學(xué)生要整合多個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，對(duì)問題進(jìn)行推理與演繹，通過分析條件和條件間的聯(lián)系，尋找不同的解題方案，進(jìn)行試驗(yàn)，在試驗(yàn)中往往會(huì)出現(xiàn)阻礙與不暢的現(xiàn)象，需要學(xué)生不斷地調(diào)試、優(yōu)化，最終確定最優(yōu)方案. 本質(zhì)是程序設(shè)計(jì)優(yōu)化的過程.

【評(píng)析】該題的兩種方案都有依據(jù)，屬于表征后的合理聯(lián)想，但是在數(shù)學(xué)運(yùn)算中算法（即運(yùn)算的程序）優(yōu)化是解決問題的重要因素，所以數(shù)學(xué)運(yùn)算不單是計(jì)算能力，也是思維水平的體現(xiàn)，它的高效快捷依賴于邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析的綜合應(yīng)用，是學(xué)科素養(yǎng)的整合結(jié)果. 學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)水平高低，映射運(yùn)算方案優(yōu)化程度不同.

二、關(guān)于數(shù)學(xué)運(yùn)算的教學(xué)思考

數(shù)學(xué)是研究數(shù)學(xué)關(guān)系和空間形式的一門科學(xué). 數(shù)學(xué)教育承載著立德樹人根本任務(wù)及發(fā)展素質(zhì)教育的功能. 培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維分析世界，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述世界，教師對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的理解直接影響教學(xué)的效果與目標(biāo)的達(dá)成.

1. 從我國(guó)課程標(biāo)準(zhǔn)演進(jìn)中解讀數(shù)學(xué)運(yùn)算

中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)前后經(jīng)歷過四次系統(tǒng)變化，見表2.

從表2可以看出數(shù)學(xué)運(yùn)算一直是課程標(biāo)準(zhǔn)的重要組成部分，但是數(shù)學(xué)運(yùn)算的內(nèi)涵卻發(fā)生了一定的變化，在1952年與1963年的課程標(biāo)準(zhǔn)中用計(jì)算能力來(lái)理解數(shù)學(xué)運(yùn)算，即強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)運(yùn)算中的算理部分，要求學(xué)生精通算理、準(zhǔn)確計(jì)算;2003年的課程標(biāo)準(zhǔn)中用運(yùn)算求解能力對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)運(yùn)算，其背景是隨著計(jì)算機(jī)的普及，煩瑣的計(jì)算可以由計(jì)算機(jī)部分替代，教材內(nèi)容隨之發(fā)生變化. 例如，開根、對(duì)數(shù)表等內(nèi)容均從教材中去除. 但是此時(shí)仍強(qiáng)調(diào)運(yùn)算求解，對(duì)算理的要求大于對(duì)算法的要求. 2017年的課程標(biāo)準(zhǔn)則明確將數(shù)學(xué)運(yùn)算作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，其背景是人工智能與大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來(lái)，對(duì)運(yùn)算方案提出了更高的要求，要求學(xué)生能設(shè)計(jì)算法程序，優(yōu)化算法過程.

在課程標(biāo)準(zhǔn)的演進(jìn)中，不難看出，數(shù)學(xué)運(yùn)算從數(shù)學(xué)運(yùn)算的重計(jì)算（算理）發(fā)展為重方案（算法）、重程序.

2. 在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中理解數(shù)學(xué)運(yùn)算

數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成部分，它的合理使用離不開其他五大核心素養(yǎng)的支撐，六大核心素養(yǎng)之間是相互滲透的，如數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)運(yùn)算. 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在解決問題中的作用，如圖7所示，數(shù)學(xué)運(yùn)算與其他核心素養(yǎng)之間的關(guān)系，如圖8所示.

數(shù)學(xué)運(yùn)算在六大核心素養(yǎng)中往往起到聯(lián)結(jié)作用，因?yàn)樗鼈儽舜碎g的影響強(qiáng)弱不同，但總體上相互關(guān)聯(lián)，所以在課堂教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)需要全面培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

3. 依據(jù)系統(tǒng)論原則培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

系統(tǒng)論認(rèn)為，系統(tǒng)是由相互作用和相互依賴的若干組成部分，結(jié)合成具有特定功能的有機(jī)整體. 一切事物、現(xiàn)象和過程均可看作有機(jī)整體，成為系統(tǒng). 在系統(tǒng)中，數(shù)學(xué)運(yùn)算可以看作課堂教學(xué)的目標(biāo)系統(tǒng)之一，也可以看作問題解決系統(tǒng)中的一環(huán). 依據(jù)此理論，常見的解題流程圖有循環(huán)結(jié)構(gòu)（如圖9）和順序結(jié)構(gòu)（如圖10）.

循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是重復(fù)表征、建模、推理、運(yùn)算等過程，每一次都是在預(yù)設(shè)順利進(jìn)行的情況下推進(jìn)，當(dāng)受阻時(shí)即重復(fù)解題過程. 而順序結(jié)構(gòu)則是對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行多元表征，由表征結(jié)果進(jìn)行多種方案預(yù)設(shè)，再優(yōu)選方案，進(jìn)行運(yùn)算推理，得到數(shù)學(xué)問題的解答，再回歸實(shí)際問題結(jié)論. 兩種結(jié)構(gòu)在解決問題時(shí)優(yōu)劣與問題的難度有關(guān). 基于SOLO理論對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分類，其中單點(diǎn)結(jié)構(gòu)（U）與多點(diǎn)結(jié)構(gòu)（M）選用循環(huán)結(jié)構(gòu)較適用，而對(duì)于關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)（R）與抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)（E）則順序結(jié)構(gòu)效率更高. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)讓學(xué)生有意識(shí)地體驗(yàn)兩種解題流程，感悟核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)解題全流程中的應(yīng)用，特別是順序結(jié)構(gòu)中的表征活動(dòng)與方案設(shè)計(jì)，應(yīng)該作為教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容.

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