金克勤 嚴永冬

摘? 要：在對2021年全國各地高考數(shù)學試卷中的立體幾何試題內(nèi)容、題型、分值、難度、思想方法等進行詳細分析的基礎(chǔ)上，指出2021年高考立體幾何試題命題突出了基礎(chǔ)性，兼顧了綜合性和應(yīng)用性，以樸實簡潔的試題形式，突出對立體幾何基礎(chǔ)知識和基本思想方法的考查，實現(xiàn)了從多角度、多層次考查學生的空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力. 以2021年高考數(shù)學試題為例，分析了高考立體幾何試題的命題思路，提出了立體幾何復習的教學建議，為2022年高考復習提供了參考.

關(guān)鍵詞：立體幾何;命題分析;復習建議

2021年高考立體幾何試題延續(xù)近幾年來的命題風格，以樸實簡潔的試題形式，突出對立體幾何基礎(chǔ)知識和基本思想方法的考查. 在不同情境中，考查學生對空間圖形的觀察和分析能力，運用符號語言和圖形語言論證幾何關(guān)系的能力，以及對幾何圖形和幾何量進行運算求解的能力. 實現(xiàn)了從多角度、多層次考查學生的空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力. 試題突出了基礎(chǔ)性，兼顧了綜合性和應(yīng)用性.

一、考查內(nèi)容分析

1. 內(nèi)容

2021年高考數(shù)學試卷中的立體幾何試題的主要內(nèi)容有三個方面：一是對空間幾何體的基本結(jié)構(gòu)和度量的考查，主要內(nèi)容有三視圖和直觀圖、簡單多面體和旋轉(zhuǎn)體的性質(zhì)、空間線段長度、表面積與體積;二是對空間點、直線、平面位置關(guān)系的考查，主要內(nèi)容有直線、平面平行和垂直關(guān)系的判定、性質(zhì)與應(yīng)用，異面直線所成的角，直線與平面所成的角，兩平面所成的二面角;三是立體幾何的應(yīng)用問題，主要內(nèi)容是以典型的空間幾何體為背景，以線面幾何關(guān)系為切入點的實際問題，指向是實際問題中的長度、角度、面積和體積的計算.

2. 題型

2021年高考立體幾何試題涵蓋了數(shù)學試題中的所有題型，有單選題、多選題、填空題和解答題. 除了傳統(tǒng)的試題表現(xiàn)形式外，也增加了開放題和應(yīng)用題等試題形式，豐富了立體幾何的考查方式.

3. 分值

2021年每份高考數(shù)學試卷中的立體幾何試題基本都是兩道客觀題、一道主觀題，約22分，占全卷總分的15%左右，與解析幾何試題的考查分量相當，僅次于函數(shù)與導數(shù)試題的考查分量，是數(shù)學學科考查的主要內(nèi)容之一. 采用新高考模式的數(shù)學試卷中的立體幾何試題，其內(nèi)容和形式與原全國卷沒有本質(zhì)上的變化，試題的占比與以往基本相同.

4. 難度

2021年高考數(shù)學全國卷中的立體幾何試題的難度總體上保持穩(wěn)定，以容易題和中等題為主，而且試題往往都以學生熟悉的形態(tài)出現(xiàn)，文、理科立體幾何試題基本上是相同試題或相似試題. 文、理科試題類型基本相同，難度相差較小，文科稍微容易些.

5. 思想方法

2021年高考數(shù)學試卷中的立體幾何試題突出考查學生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)，試題突出對轉(zhuǎn)化與化歸和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想的要求，以直線與平面的位置關(guān)系作為空間問題的轉(zhuǎn)化樞紐，實現(xiàn)空間問題平面化、幾何問題數(shù)量化的目標. 試題以對空間圖形進行分解、組合、轉(zhuǎn)換等手段，實現(xiàn)典型問題的變式轉(zhuǎn)化和解決問題方法的靈活選擇，大多數(shù)立體幾何試題都能在教材中找到原型，做到了試題命制源于教材而高于教材.

二、命題思路分析

立體幾何試題命制的基本依據(jù)是四個基本事實，空間直線、平面位置關(guān)系的概念與空間角的概念，以及空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行與垂直關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，空間直角坐標系與空間向量. 通過立體幾何試題的不同呈現(xiàn)形式，要求學生能用定義、判定定理和性質(zhì)定理證明空間基本圖形的位置關(guān)系的簡單命題，能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，會用向量方法解決立體幾何中的夾角問題，會將立體幾何中的各種夾角問題都轉(zhuǎn)化為兩個向量的夾角.

2021年高考數(shù)學立體幾何試題都是以最常見的空間幾何體為命制背景，特點鮮明. 解答題主要以三棱錐、三棱柱、四棱錐、四棱柱（包括正方體）為背景，因為這幾個典型的空間幾何體已經(jīng)能夠表現(xiàn)豐富的幾何關(guān)系，能在學生熟悉的情境中考查最核心的內(nèi)容，不人為設(shè)置障礙、不考細枝末節(jié)問題是立體幾何試題的特點. 對旋轉(zhuǎn)體內(nèi)容的考查多以選擇題和填空題的形式呈現(xiàn)，主要考查旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征、性質(zhì)、表面積和體積等基礎(chǔ)知識. 在選擇題和填空題的命制中，通過三視圖、線面平行或垂直關(guān)系的判斷、面積和體積的計算等內(nèi)容，以識圖、畫圖、想圖、用圖等方式考查學生的空間想象能力. 在解答題的命制中，通過直線與平面的平行或垂直關(guān)系的論證，要求從已有的正確前提到被論證的結(jié)論之間建立邏輯推理過程，考查學生的知識儲備和演繹推理能力，從而實現(xiàn)對學生理性思維的考查;在直線、平面的有關(guān)夾角的計算中，重點考查學生的數(shù)學轉(zhuǎn)化能力和運算求解能力，通過建立空間直角坐標系，用向量語言表述幾何對象，對幾何圖形和各幾何量進行運算求解，體現(xiàn)出對核心內(nèi)容和思想方法的重點考查.

具體地，2021年高考數(shù)學立體幾何試題的命題呈現(xiàn)出以下幾個方面的特點.

1. 以三視圖為背景考查空間想象能力

例1 （全國甲卷·理6）在一個正方體中，過頂

點[A]的三條棱的中點分別為[E，F(xiàn)，G]. 該正方體截去三棱錐[A-EFG]后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖1所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（? ? ）.

[（A）][（B）][（C）][（D）]

【評析】該題以正方體為載體，以三視圖為切入點考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力. 用三視圖中的一個視圖來推理辨識另外的視圖，是立體幾何試題命制形式的創(chuàng)新. 通過對原正方體的想象和還原（圖2），以達到對各個視圖的辨別，體現(xiàn)出在熟悉的情境中考查空間想象能力的要求.

[G][F][E][A][圖2]

例2 （浙江卷·4）某幾何體的三視圖如圖3所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：[cm3]）是（? ? ）.

[ ][ ] [1] [1] [1][ ] [1] [1][正視圖][俯視圖][側(cè)視圖][圖3]

（A）[32] （B）3

（C）[322] （D）[32]

【評析】該題通過三視圖考查學生的空間想象能力，要求根據(jù)三視圖還原空間幾何體（圖4），并根據(jù)線面關(guān)系判斷空間幾何體的類型為棱柱，然后可以通過對圖形的分解或組合，構(gòu)成兩個直三棱柱體積之差，或者直接利用直四棱柱體積公式進行計算（圖5）.

例3 （北京卷·4）某四面體的三視圖如圖6所示，該四面體的表面積為（? ? ）.

[ ][ ] [1] [1][ ][ ] [1] [1][ ][ ] [1] [1][正（主）視圖][側(cè)（左）視圖][俯視圖][圖6]

（A）[32+32] （B）[3+3]

（C）[32+3] （D）[3+32]

【評析】該題也是以三視圖為載體，考查學生的空間想象能力和表面積、體積的相關(guān)內(nèi)容. 一般要求學生先由三視圖想象所對應(yīng)的空間圖形，然后根據(jù)空間圖形完成有關(guān)的論證和計算. 由三視圖對原空間圖形的構(gòu)建一般可以在長方體中進行，該題在正方體中完成對原空間圖形的構(gòu)建（圖7），從而完成四面體表面積的計算.

2. 在典型的情境中考查線面平行與垂直關(guān)系

例4 （浙江卷·6）已知正方體[ABCD-A1B1C1D1]，[M，N]分別是[A1D，D1B]的中點，如圖8所示，則（? ? ）.

[N][M][D1][C1][B1][A1][D][C][B][A][圖8]

（A）直線[A1D]與直線[D1B]垂直，直線[MN∥]平面[ABCD]

（B）直線[A1D]與直線[D1B]平行，直線[MN⊥]平面[BDD1B1]

（C）直線[A1D]與直線[D1B]相交，直線[MN∥]平面[ABCD]

（D）直線[A1D]與直線[D1B]異面，直線[MN⊥]平面[BDD1B1]

【評析】以正方體這類最典型的空間幾何體為載體，考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系是立體幾何試題命制的一大特點，體現(xiàn)在熟悉的情境中考查基礎(chǔ)知識、基本能力的設(shè)想. 直線[A1D]與直線[D1B]的位置關(guān)系的判定，涉及異面直線的判定、異面直線垂直的判定，而異面直線垂直的判定又可以通過線面垂直的判定得到. 直線[MN]與平面[ABCD]及平面[BDD1B1]關(guān)系的判定通過直線[MN]與直線[AB]的平行關(guān)系得到. 這種基于典型空間圖形線面位置關(guān)系的考查，是立體幾何試題命制的典型手法.

例5 （全國乙卷·理18）如圖9，四棱錐[P-ABCD]的底面是矩形，[PD⊥]底面[ABCD]，[PD=DC=1]，[M]為[BC]的中點，且[PB⊥AM].

（1）求[BC];

（2）求二面角[A-PM-B]的正弦值.

【評析】該題是以長方體為載體的立體幾何試題. 這個四棱錐是長方體中的一部分，是基于長方體命制的試題（圖10）. 通過將線面關(guān)系[PD⊥]底面[ABCD]，[PB⊥AM]轉(zhuǎn)化為[BD⊥AM]實現(xiàn)空間幾何關(guān)系向一個平面的轉(zhuǎn)化，從而可以求得邊[BC]的長. 對于二面角[A-PM-B]的正弦值的問題，試題顯然營造了兩種計算途徑：一是建立空間直角坐標系，運用向量的方法，將二面角大小的計算轉(zhuǎn)化為兩個向量的夾角，以點[D]為坐標原點可以方便地建立空間直角坐標系[D-xyz];二是綜合幾何的方法，找出二面角[A-PM-B]的平面角，在四棱錐[P-ABCD]所構(gòu)成的長方體中（圖11），二面角[A-PM-B]就是平面[PAM]與平面[PEBC]所成的角. 設(shè)[F]為[BE]的中點，則[AF⊥]平面[PBM]，四邊形[PEBC]是正方形. 因此，可設(shè)[CF]交[PM]于點[G]，則[∠AGF]是二面角[A-PM-B]的平面角. 于是很容易在直角三角形中求得[∠AGF]的正弦值.

3. 多選題、開放題豐富了考查的形式和內(nèi)容

例6 （全國新高考Ⅰ卷·12）在正三棱柱[ABC-A1B1C1]中，[AB=AA1=1]，點[P]滿足[BP=λBC+][μBB1]，其中[λ∈0，1]，[μ∈0，1]，則（? ? ）.

（A）當[λ=1]時，[△AB1P]的周長是定值

（B）當[μ=1]時，三棱錐[P-A1BC]的體積為定值

（C）當[λ=12]時，有且僅有一個點[P]，使得[A1P⊥BP]

（D）當[μ=12]時，有且僅有一個點[P]，使得[A1B]⊥平面[AB1P]

【評析】2021年是第二年在新高考數(shù)學試卷中出現(xiàn)多選題，只有全部答對才能得滿分（5分），部分答對部分得分（2分），但只要選錯一個就得0分. 通過多選題可以實現(xiàn)多種考查目標. 該題以正三棱柱為載體，結(jié)合空間向量考查學生識圖、畫圖、讀圖的能力，以及線面的垂直關(guān)系的判定、三棱錐體積和幾何圖形性質(zhì)等內(nèi)容. 試題并沒有給出圖形，需要學生將符號語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，畫出相應(yīng)的空間圖形（圖12）. 由于是多選題，各個選項都有可能正確，所以四個選項相當于四個問題，增加了考試的容量和得分的難度. 對于[BP=λBC+μBB1]，其中[λ∈0，1]，[μ∈0，1]，根據(jù)向量基本定理，點[P]在正方形[BCC1B1]內(nèi)，當[λ=1]時，點[P]的軌跡是線段[CC1];當[μ=1]時，點[P]的軌跡是線段[B1C1];當[λ=12]時，點[P]的軌跡為過[BC]與[B1C1]中點的線段[MN];當[μ=12]時，點[P]的軌跡為過[BB1]與[CC1]中點的線段[EF]（圖13）. 由此可以根據(jù)線面關(guān)系的有關(guān)結(jié)論進行判斷.

例7 （全國新高考Ⅱ卷·10）下列各正方體中，[O]為下底面的中心，[M，N]為頂點，[P]為所在棱的中點，則滿足[MN⊥OP]的是（? ? ）.

[N][M][O][P][O][N][M][P] [（A）][（B）]

[O][P][N][M] [O][P][N][M][（C）][（D）]

【評析】該題以正方體為背景，考查直線[MN]與直線[OP]在不同位置下的垂直關(guān)系的判定，由于[MN]與[OP]在不同的位置下都有可能垂直，因此設(shè)計成一個多選題可以充分考查學生對線面垂直關(guān)系的掌握情況. 兩異面直線的垂直關(guān)系的判定一般需要通過線面垂直得到，因此也考查了學生對垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化能力.

例8 （全國乙卷·理16）以圖14（1）為正視圖，在圖14（2） ～ 圖14（5）中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為? ? ? .（填符合要求的一組答案即可.）

[ ] [2][ ] [1][（1）][ ] [2][ ] [1][（2）][ ] [2][ ] [1][（3）] [ ] [2][ ] [2][（4）][ ] [2][ ] [2][（5）][圖14]

【評析】該題是條件開放型試題，在某個三棱錐的正視圖確定的前提下，分析側(cè)視圖和俯視圖的可能性，而側(cè)視圖和俯視圖有多種可能性，需要通過想象空間圖形的各種形態(tài)來進行選擇. 可以考慮在棱長為2的正方體內(nèi)構(gòu)建三棱錐輔助思考. 如圖15，三棱錐[S-ABC]的正視圖是圖14（1），側(cè)視圖和俯視圖分別為圖14（3）和圖14（4）;如圖16，三棱錐[S-ABC]的正視圖是圖14（1），側(cè)視圖和俯視圖分別為圖14（2）和圖14（5）. 這種有多種可能的開放型試題，豐富了立體幾何試題的命制形式，更加體現(xiàn)出對數(shù)學學科核心素養(yǎng)的考查. 雖然三視圖將淡出高中立體幾何教學，但該類型的試題表現(xiàn)形式，將會更多地出現(xiàn)在高考試題之中.

4. 通過應(yīng)用問題考查數(shù)學閱讀和知識運用

例9 （全國甲卷·理8）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為[8 848.86]（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一. 如圖17是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有[A，B，C]三點，且[A，B，C]在同一水平面上的投影[A，B，C]滿足[∠A′C′B′=45°]，[∠ABC=60°]. 由點[C]測得點[B]的仰角為[15°]，[BB]與[CC]的差為100;由點[B]測得點[A]的仰角為[45°]，則[A，C]兩點到水平面[ABC]的高度差[AA-CC]約為（? ? ）.（[3≈1.732].）

（A）346? （B）373? （C）446 ? （D）473

【評析】該題是以立體圖形為載體的數(shù)學應(yīng)用問題，這類試題考查學生的數(shù)學閱讀能力、數(shù)學理解能力，要求在相對短的時間內(nèi)理解題意，提煉問題的本質(zhì)，選擇適當?shù)臄?shù)學方法解決問題. 與立體幾何相關(guān)的測量問題往往與正弦定理、余弦定理及解三角形的知識密切聯(lián)系，這類應(yīng)用問題也是高考應(yīng)用問題的命題方向.

例10 （全國新高考Ⅱ卷·4）北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果. 在衛(wèi)星導航系統(tǒng)中，地球靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為[36 000 km]（軌道高度指衛(wèi)星到地球表面的最短距離）. 把地球看成一個球心為[O]、半徑為[6 400 km]的球，其上點[A]的緯度是指[OA]與赤道所在平面所成角的度數(shù). 地球表面能直接觀測到的一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星的點的緯度的最大值記為[α]，該衛(wèi)星信號覆蓋的地球表面面積[S=2πr21-cosα]（單位：[km2]），則[S]占地球表面積的百分比為（? ? ）.

（A）26%? （B）34%? （C）42%? （D）50%

【評析】該題以實際問題為背景考查球的有關(guān)知識，試題約有200個字，需要通過閱讀理解有關(guān)的概念，如衛(wèi)星到地球表面的最短距離、緯度、緯度的最大值、球冠的面積. 由于球冠的面積公式不屬于考試的范圍，所以試題給出了球冠面積的計算公式[S=][2πr21-cosα]，這是球冠面積公式[S=2πrh]（其中[h]是球冠的高）的另外一種表示形式. 該題考查學生的空間想象能力，需要畫出相應(yīng)的圖形（圖18），并且知道衛(wèi)星[P]到地球表面的最短距離[d]，是點[P]與球心[O]連線上的線段[BP]，可以通過公式進行計算：[cosα=][rr+d]，[SS球=2πr21-cosα4πr2=1-cosα2=d2d+r=45106≈][42%]. 此題的命題者更希望學生能根據(jù)直覺和估算得出結(jié)果. 由于衛(wèi)星到地球表面的最短距離[36 000 km]是地球半徑[6 400 km]的[5.6]倍，當衛(wèi)星處于無限遠處，衛(wèi)星信號能夠覆蓋的面積占地球面積的50%，若衛(wèi)星信號能夠覆蓋的面積占地球面積的[13]，則[cosα<13]. 顯然，該問題中的[cosα<13]. 因此，衛(wèi)星信號能夠覆蓋的面積應(yīng)大于地球面積的[13]. 由四個選項可以知道應(yīng)選擇的正確選項. 這種思維發(fā)散性試題，能夠充分體現(xiàn)學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，是立體幾何試題命制的一種創(chuàng)新.

5. 創(chuàng)新型試題體現(xiàn)對數(shù)學學科核心素養(yǎng)的考查

例11 （全國乙卷·理5）在正方體[ABCD-A1B1C1D1]中，[P]為[B1D1]的中點，則直線[PB]與[AD1]所成的角為（? ? ）.

（A）[π2]? ?（B）[π3]? ?（C）[π4]? ?（D）[π6]

【評析】這是一道看似平常的立體幾何試題，但其中蘊含著命題者希望學生“多想少算”的愿望，檢測學生個體思維的靈活性. 在正方體[ABCD-A1B1C1D1]（圖19）中，[∠C1BP]是直線[PB]與[AD1]所成的角，而[△A1BC1]是正三角形，[P]是[A1C1]的中點，所以[∠C1BP=π6]. 這樣就避免了求角的運算.

例12 （北京卷·8）某一時段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個時段的降雨量（單位：mm）.[24 h]降雨量的等級劃分如下表所示.

[等級 24 h降雨量（精確到0.1） …… …… 小雨 0.1 ～ 0.9 中雨 10 .0 ～ 24.9 大雨 25 .0 ～ 49.9 暴雨 50.0 ～ 99.9 …… …… ]

在綜合實踐活動中，某小組自制了一個底面直徑為[200 mm]，高為[300 mm]的圓錐形雨量器.若一次降雨過程中，該雨量器收集的[24 h]的雨水高度是[150 mm]，如圖20所示，則這[24 h]降雨量的等級是（? ? ）.

（A）小雨? （B）中雨? （C）大雨? （D）暴雨

【評析】該題以實際問題為背景考查圓錐、圓柱體積相關(guān)的內(nèi)容. 該題的命制頗有創(chuàng)意，給出的定義是建立起一個判斷降雨等級的數(shù)學模型，利用數(shù)學模型進行判斷. 該題的不同解決途徑可以反映學生的數(shù)學素養(yǎng). 一是根據(jù)圖形先計算高為[150 mm]的圓錐的底面直徑，再計算出積水的體積，然后等體積轉(zhuǎn)化為底面直徑為[200 mm]的圓柱，計算這個圓柱的高，并做出判斷，這種做法計算量較大. 二是利用等底、等高的圓柱和圓錐的體積關(guān)系，以及圓錐的性質(zhì)做出判斷. 因為圓錐的體積是等底、等高的圓柱體積的[13]，而圖20中積雨水的小圓錐（陰影部分）體積是大圓錐體積的[18]，因此積雨水的小圓錐轉(zhuǎn)化為圓柱后的高度應(yīng)是[300 mm]的[124]，即[12.5 mm]，便能得出正確結(jié)果，這樣就可以避免復雜的計算.

6. 綜合法和向量法為個性化解題提供可能

例13 （全國甲卷·理19）如圖21，已知直三棱柱[ABC-A1B1C1]中，側(cè)面[AA1B1B]為正方形，[AB=BC=2]，[E，F(xiàn)]分別為[AC]和[CC1]的中點，[D]為棱[A1B1]上的點，[BF⊥A1B1].

（1）證明[BF⊥DE];

（2）當[B1D]為何值時，面[BB1C1C]與面[DEF]所成的二面角的正弦值最??？

【評析】2021年高考立體幾何解答題一般都設(shè)置兩個小題. 其中，第（1）小題是關(guān)于直線、平面平行或垂直的位置關(guān)系的論證;第（2）小題是計算題，一般是直線、平面有關(guān)角的計算或距離、體積等計算. 對于位置關(guān)系的論證是立體幾何部分的重要考查內(nèi)容，要求學生根據(jù)已知的事實，依據(jù)定義、定理、性質(zhì)，論證某個數(shù)學命題的正確性，并寫出完整的推理過程. 而對幾何圖形中幾何量的計算求解是考查運算求解能力的重要方法，要求學生能夠分析運算條件，探究運算方向，選擇運算公式，確定運算程序，并且能夠在實施運算過程中遇到障礙時進行靈活調(diào)整. 在證明[BF⊥DE]中考查學生的靈活的轉(zhuǎn)化能力，要將線與線的垂直轉(zhuǎn)化為線與面的垂直，學生需要對幾何圖形有準確的判斷，從而尋找到輔助平面. 設(shè)[G]是[BC]的中點，將[BF⊥DE]轉(zhuǎn)化為證明[BF⊥]平面[EGB1D]（圖22）. 在探究平面[BB1C1C]與平面[DEF]所成的二面角時，如果知道二面的平面角，則問題就會變得簡單. 但由于圖中平面[DEF]與平面[BB1C1C]只出現(xiàn)一個公共點[F]，所以先要確定這兩個平面的交線. 我們可以延長[EF]交[A1C1]于點[M]，連接[DM]交[B1C1]于點[N]，則[FN]是平面[DEF]與平面[BB1C1C]的交線（圖23），由于[EG⊥]平面[BB1C1C]，過點[G]作[GH⊥FH]于點[H]，則[∠EHG]是平面[DEF]與平面[BB1C1C]所成二面角的平面角. 由于[EG=1]，在[Rt△EGH]中，[GH]最大時[sin∠EHG]最小，所以當點[H]與點[F]重合時，[GH]最大. 在對線面關(guān)系充分了解的基礎(chǔ)上，可以建立空間直角坐標系來完成二面角的計算，由于[AB⊥BC]，[BB1⊥]平面[ABC]. 因此，以點[B]為原點，[BA]所在直線為[x]軸，[BC]所在直線為[y]軸，[BB1]所在直線為[z]軸建立空間直角坐標系[B-xyz]，運用向量方法完成求解.

三、復習建議

高考對立體幾何的要求決定了試題側(cè)重基礎(chǔ)性，適度關(guān)注綜合性和創(chuàng)新性. 立體幾何內(nèi)容重在對直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)的考查，突出對數(shù)學轉(zhuǎn)化、推理論證和運算求解等關(guān)鍵能力的考查. 因此，建議在立體幾何復習中，做到以下幾點.

1. 夯實基礎(chǔ)，用典型幾何體培養(yǎng)基本思維模式

從立體幾何試題的分析可以看出，立體幾何考查的主要內(nèi)容都基于典型的簡單幾何體. 復習過程中，要梳理立體幾何知識體系，以空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征在典型幾何體中的表現(xiàn)，空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系為基礎(chǔ)，認識刻畫空間幾何圖形位置關(guān)系的基本方法，形成以公理、定義、判定、性質(zhì)、應(yīng)用為主線的認識空間圖形的思維模式，分析清楚各種位置關(guān)系的特征和刻畫方法. 以歷年高考試題為例，研究立體幾何部分的典型問題，編制相應(yīng)的基礎(chǔ)問題幫助學生形成解決立體幾何問題的基本思維模式.

2. 突出重點，以線面位置關(guān)系作為基石

從以上對試題命制思路的分析我們可以知道，立體幾何的考查以直線、平面位置關(guān)系的論證和度量為重點. 因此，在立體幾何復習中，應(yīng)以直線、平面之間的平行和垂直關(guān)系為重點，以平行和垂直的概念、判定定理、性質(zhì)定理的復習為基礎(chǔ)，引申出除判定定理之外的能夠得出平行和垂直的條件，平行和垂直性質(zhì)的運用等，形成分析直線、平面之間位置關(guān)系的知識網(wǎng)絡(luò)，使其成為立體幾何復習的基石.

3. 歸納方法，以關(guān)系論證與角的計算為重點

立體幾何試題的主體是空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)和判定，空間角的計算求解. 復習中要抓住這個方面的重點來總結(jié)方法，解決運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形位置關(guān)系的簡單命題的基本步驟和方法，特別要重視論證的規(guī)范表達. 要歸納平行和垂直的證明應(yīng)該怎樣想、怎樣畫、怎樣做、怎樣算、怎樣寫. 歸納空間角的計算有哪些類型，哪些基本方法、難點和注意事項.

4. 提升思想，以核心素養(yǎng)的提升為目標

高考試題的解決最終反映的是學生數(shù)學素養(yǎng)的差異. 提高數(shù)學復習的品位，要從提高思想站位開始. 要立足核心素養(yǎng)去培養(yǎng)學生的解題能力，要以辯證的觀點看待問題，以轉(zhuǎn)化的思想對待問題，以一般性和特殊性去分析問題，始終以空間圖形的特征和位置關(guān)系作為關(guān)鍵，從有圖想圖到無圖想圖，突出立體幾何中“觀察、判斷、計算、證明”的解決問題的途徑，綜合與靈活地應(yīng)用立體幾何的知識、思想方法，選擇有效的方法去解決問題.

5. 適度創(chuàng)新，適應(yīng)高考改革和發(fā)展的要求

新課程、新高考出現(xiàn)了很多變化，從理念目標到內(nèi)容形式都有新的發(fā)展，復習教學要適應(yīng)高考的變化，在保證和鞏固基礎(chǔ)知識的前提下，要加強綜合性、應(yīng)用性問題的訓練，增強對多選題、開放題的研究和訓練. 要把握立體幾何的整體觀點，在核心素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)下，組織復習材料，側(cè)重對立體幾何知識的理解和應(yīng)用，加強對學生數(shù)學遷移能力的培養(yǎng)，減少機械訓練，整合幾何和向量方法在立體幾何中的作用，精心設(shè)計反映空間圖形運動變化，體現(xiàn)思維發(fā)散性，具有一定深度和廣度的試題，以適應(yīng)新高考帶來的變化.

四、模擬題欣賞

1. 某班科技興趣小組研究在學校的圖書館頂上安裝太陽能板的發(fā)電量問題，要測量頂部的面積，將圖書館看成是一個長方體與一個等底的正四棱錐組合而成，如圖24所示. 經(jīng)測量長方體的底面正方形的邊長為[26 m]，高為[9 m]，當正四棱錐的頂點在陽光照射下的影子恰好落在底面正方形的對角線的延長線上時，測得光線與底面夾角為30°，正四棱錐頂點的影子到長方體下底面最近頂點的距離為[11.8 m]，則圖書館頂部的面積大約為（? ? ）.（[2≈1.4]，[3≈1.7]，[233≈15.2].）

（A）990 m2 （B）890 m2 （C）790 m2 （D）690 m2

答案：C.

2. 已知棱長為1的正方體[ABCD-A1B1C1D1]，[M]是[BB1]的中點，動點[P]在正方體內(nèi)部或表面上，且[MP∥]平面[ABD1]，則動點[P]的軌跡所形成區(qū)域的面積是（? ? ）.

（A）[22]? ?（B）[2]? ?（C）1? ?（D）2

答案：A.

3.（多選題）如圖25，平面四邊形[ABCD]中，[E，F(xiàn)]分別是[AD，BD]的中點，[AB=AD=CD=2，BD=22]，[∠BDC=90°]，將[△ABD]沿對角線[BD]折起至[△ABD]，使平面[ABD⊥]平面[BCD]，則四面體[ABCD]中，下列結(jié)論正確的是（? ? ）.

（A）[EF∥]平面[ABC]

（B）異面直線[CD]與[AB]所成的角為90°

（C）異面直線[EF]與[AC]所成的角為90°

（D）直線[AC]與平面[BCD]所成的角為30°

答案：ABCD.

4.（多選題）在棱長為2的正方體[ABCD-A1B1C1D1]中，[P，Q]分別是線段[B1D1，AC]上的動點，如圖26所示. 則下列說法正確的有（? ? ）.

（A）線段[PQ]長度的最小值為2

（B）滿足[PQ=22]的情況只有4種

（C）無論點[P，Q]如何運動，直線[PQ]都不可能與[BD1]垂直

（D）三棱錐[P-ABQ]的體積大小只與點[Q]的位置有關(guān)，與點[P]的位置無關(guān)

答案：ABD.

5. 如圖27，在[△ABC]中，[AC=1]，[BC=3]，[C=π2]，點[D]是邊[AB]（端點除外）上的一動點，若將[△ACD]沿直線[CD]翻折，能使點[A]在平面[BCD]內(nèi)的射影[A]落在[△BCD]的內(nèi)部（不包含邊界），且[AC=73]. 設(shè)[AD=t]，則[t]的取值范圍是? ? ? . [ ]

答案：[12， 21-32].

6. 已知直線[l]不在平面[α，β]內(nèi)給出下列三個論斷：① [l⊥α];② [l]∥[β];③ [α⊥β]. 以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：? ? ? ? ? ? .

答案：若[l⊥α]，[l]∥[β]，則[α⊥β].（答案不唯一，或者若[l⊥α]，[α⊥β]，則[l]∥[β].）

7. 如圖28，在三棱錐[P-ABC]中，[BC⊥AC]，[BC⊥PC]，[AC=BC=6]，[PA=PC=5]，[D，E]分別是[AC，PC]的中點.

（1）求證：平面[PAC⊥]平面[ABC];

（2）求二面角[A-DE-B]的余弦值.

答案：（1）略;（2）[-22929].

8. 如圖29，在三棱柱[ABC-A1B1C1]中，四邊形[AA1C1C]是邊長為[4]的正方形，[AB=3]. 再從條件①、條件②、條件③中選擇兩個能解決下面問題的條件作為已知，并作答.

（1）求證：[AB⊥]平面[AA1C1C];

（2）求直線[BC]與平面[A1BC1]所成角的正弦值.

條件①：[BC=5].

條件②：[AB⊥AA1].

條件③：平面[ABC⊥]平面[AA1C1C].

答案：選擇①②，（1）略;（2）[1225].

選擇①③，（1）略;（2）[1225].

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

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[3]教育部考試中心. 中國高考評價體系說明[M]. 北京：人民教育出版社，2019.

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