喬偉

摘? 要：2021年高考不等式相關(guān)試題，體現(xiàn)了與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的相互融合，突出了不等式的內(nèi)容主線，反映了數(shù)學(xué)核心概念的本質(zhì)，延續(xù)了將不等式與集合、常用邏輯用語(yǔ)、基本初等函數(shù)、數(shù)列、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、向量、圓錐曲線、線性規(guī)劃等內(nèi)容融合的考查方式，并將其作為考查數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要方法.

關(guān)鍵詞：2021年高考;不等式;命題分析;復(fù)習(xí)備考

不等式是高中數(shù)學(xué)必修課程主題一預(yù)備知識(shí)的重要內(nèi)容，也是解決其他數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具，不等式命題整體體現(xiàn)了函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等數(shù)學(xué)思想.

2021年全國(guó)各地高考數(shù)學(xué)試卷中對(duì)不等式相關(guān)內(nèi)容的考查，不僅集中在不等式的解法、均值不等式的應(yīng)用、線性規(guī)劃等方面，更注重對(duì)不等式與其他知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系和綜合考查. 例如，不等式與集合運(yùn)算、常用邏輯用語(yǔ)、基本初等函數(shù)、向量、線性規(guī)劃等內(nèi)容的融合，考查學(xué)生的基本數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng);不等式與數(shù)列、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、圓錐曲線相結(jié)合，考查學(xué)生更高層次的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 對(duì)不等式的基本性質(zhì)、基本運(yùn)算和綜合應(yīng)用的考查，不僅體現(xiàn)了不等式的基礎(chǔ)性，還體現(xiàn)了不等式的工具性.

一、試題分析

1. 整體分析

2021年高考數(shù)學(xué)共有8套試卷，其中全國(guó)甲卷和全國(guó)乙卷分文、理科，因此共有10份試卷. 綜觀10份高考數(shù)學(xué)試卷，直接考查不等式考點(diǎn)的試題很少，且主要是線性規(guī)劃問(wèn)題，多數(shù)試題的考查方式是把不等式和其他知識(shí)相融合. 在研究2021年高考不等式相關(guān)試題的考點(diǎn)和分值分布時(shí)，很難將考點(diǎn)和分值分離開(kāi)來(lái)，這恰恰體現(xiàn)了不等式的基礎(chǔ)性和工具性，同時(shí)體現(xiàn)了不等式試題的命題方向具有多面性和綜合性.

2. 內(nèi)容分析

綜觀2021年各份高考數(shù)學(xué)試卷，其中對(duì)不等式相關(guān)試題的考查方式有以下七種：（1）與集合、常用邏輯用語(yǔ)的結(jié)合，解決簡(jiǎn)單的不等式問(wèn)題;（2）與三角函數(shù)，基本初等函數(shù)及其性質(zhì)，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)及其極值、最值相融合，利用不等式的工具性解決問(wèn)題;（3）與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)運(yùn)算相結(jié)合，考查比較大小的問(wèn)題;（4）均值不等式與圓錐曲線、三角公式的結(jié)合，研究最值相關(guān)問(wèn)題;（5）不等式的直接應(yīng)用，解決簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題;（6）不等式與絕對(duì)值相結(jié)合，構(gòu)建絕對(duì)值不等式問(wèn)題;（7）與向量、數(shù)列相結(jié)合，體現(xiàn)不等式的應(yīng)用性.

3. 題型、難度分析

不等式相關(guān)試題的考查題型比較全面，選擇題、填空題和解答題均有涉及，試題難度差異較大.

線性規(guī)劃問(wèn)題，不等式與集合、常用邏輯用語(yǔ)、圓錐曲線定義相結(jié)合的簡(jiǎn)單問(wèn)題難度較小. 例如，浙江卷第5題、全國(guó)甲卷文科第1題、全國(guó)乙卷文（理）科第3題、全國(guó)新高考Ⅰ卷第5題. 均值不等式，不等式與函數(shù)結(jié)合問(wèn)題，不等式與三角函數(shù)、曲線的切線，以及冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)運(yùn)算等結(jié)合考查不等式與相關(guān)知識(shí)的初步融合運(yùn)用問(wèn)題，難度適中. 例如，全國(guó)乙卷文科第8題、全國(guó)甲卷理科第16題、浙江卷第8題、全國(guó)新高考Ⅰ卷第7題、全國(guó)新高考Ⅱ卷第7題. 不等式與函數(shù)及其性質(zhì)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、圓錐曲線、絕對(duì)值不等式相結(jié)合的問(wèn)題，難度偏大，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要求較高. 例如，上海卷第16題、第21題，全國(guó)乙卷文科第12題和理科第10題、第12題，全國(guó)新高考Ⅱ卷第17題、第22題，浙江卷第10題、第17題、第21題，全國(guó)新高考Ⅰ卷第22題. 其中，浙江卷對(duì)不等式的考查尤為重視，在第5題，第8題，第10題，第17題，第20題，第21題，第22題中均有對(duì)不等式及其思想方法的考查.

4. 文、理科命題分析

隨著課程改革的逐步推進(jìn)，越來(lái)越多省份加入到新高考行列，文、理科的命題趨勢(shì)逐漸趨向于統(tǒng)一. 2021年高考全國(guó)甲卷和全國(guó)乙卷仍延續(xù)了文、理分科的命題風(fēng)格，從試題難度和對(duì)思維能力的考查上看，理科試卷整體比文科試卷略高一籌. 從與不等式及其思想方法的運(yùn)用有關(guān)試題的題量上看，全國(guó)乙卷文科卷要略多一些. 這兩套試卷對(duì)應(yīng)的文、理科試卷中有較多的相同試題，有的根據(jù)難度的不同，做了題號(hào)的調(diào)配. 由此可見(jiàn)，全國(guó)甲卷和全國(guó)乙卷的命題既照顧到了文、理科學(xué)生的差異，又為將來(lái)高考數(shù)學(xué)取消文、理分科做了鋪墊.

二、命題分析

在2021年的10份高考數(shù)學(xué)試卷中，單獨(dú)考查不等式的試題并不多，但是涉及不等式知識(shí)、方法的試題卻占有較大比重，凸顯了不等式的工具性和應(yīng)用性. 不等式的解法、線性規(guī)劃問(wèn)題主要在選擇題和填空題的基礎(chǔ)題中呈現(xiàn)，而與不等式深度融合的試題則更多被安排在了選擇題和填空題壓軸題的位置上，甚至是解答題壓軸題的位置上. 延續(xù)了將不等式考查內(nèi)容嵌入更加綜合、創(chuàng)新的問(wèn)題情境中的命題風(fēng)格. 重點(diǎn)凸顯了不等式的思想方法和工具作用，利用不等式中的比較法、分析法、放縮法等，來(lái)達(dá)到考查學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的目的.

1. 立足基本

（1）與集合結(jié)合，考查基本能力.

例1 （全國(guó)甲卷·文1）設(shè)集合[M=1，3，5，7，9，][N=x2x>7，] 則[M?N]等于（? ? ）.

（A）[7，9]? ? （B）[5，7，9]

（C）[3，5，7，9] （D）[1，3，5，7，9]

以集合為背景命制不等式問(wèn)題是比較常見(jiàn)的考查方式，以考查不等式的基本解法和集合的基本概念為目的，解題時(shí)應(yīng)關(guān)注對(duì)基本問(wèn)題的理解.

（2）與三角函數(shù)結(jié)合，考查基本方法.

例2 （全國(guó)甲卷·理16）已知函數(shù)[fx=2cosωx+φ]的部分圖象如圖1所示，則滿足條件[fx-f-7π4 ·][fx-f4π3>0]的最小正整數(shù)[x]為? ? ? ? .

我們常常把不等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相等問(wèn)題來(lái)解決，這一點(diǎn)教材中已經(jīng)借助一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式進(jìn)行了說(shuō)明. 題中[fx<0]對(duì)應(yīng)圖象為[fx=0]的下方部分，[fx>1]對(duì)應(yīng)圖象為[fx=1]的上方部分，結(jié)合圖象，便可求解不等式.

（3）與絕對(duì)值結(jié)合，考查轉(zhuǎn)化與化歸.

例3 （全國(guó)乙卷·文 / 理23）已知函數(shù)[fx=][x-a+x+3.]

（1）當(dāng)[a=1]時(shí)，求不等式[fx≥6]的解集;

（2）若[fx>-a，] 求[a]的取值范圍.

例4 （全國(guó)甲卷·文 / 理23）已知函數(shù)[fx=][x-2，gx=2x+3-2x-1.]

（1）在圖2中畫出[y=fx]和[y=gx]的圖象;

[ ][1][x][y][O][1][圖2]

（2）若[fx+a≥gx，] 求[a]的取值范圍.

隨著課程改革的深入，對(duì)絕對(duì)值不等式的考查也轉(zhuǎn)為非直接考查. 解絕對(duì)值不等式的方法主要有零點(diǎn)分段法和幾何意義法. 當(dāng)式子中含有兩個(gè)絕對(duì)值，且其中的[x]的系數(shù)相等時(shí)，可以考慮利用數(shù)軸上絕對(duì)值的幾何意義求解;利用絕對(duì)值三角不等式求最值也是常見(jiàn)的方式，但是要注意表述取等號(hào)的條件. 此題體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)的考查.

（4）與數(shù)列結(jié)合，考查基本理解.

例5 （全國(guó)新高考Ⅱ卷·17）記[Sn]是公差不為[0]的等差數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和，若[a3=S5，a2a4=S4.]

（1）求數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式;

（2）求使[Sn>an]成立的[n]的最小值.

借助數(shù)列的知識(shí)，將[Sn>an]轉(zhuǎn)化為一元二次不等式問(wèn)題，再利用一元二次函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題，需要注意數(shù)列中[n]的取值要求，這也是高考中經(jīng)常見(jiàn)到的考查方式.

（5）線性規(guī)劃，常規(guī)問(wèn)題常規(guī)解決.

例6 （上海卷·7）已知實(shí)數(shù)[x，y]滿足約束條件[x≤3，2x-y-2≥0，3x+y-8≥0，] 則[z=x-y]的最大值為? ? ? ?.

例7 （浙江卷·5） 若實(shí)數(shù)[x，y]滿足約束條件[x+1≥0，x-y≤0，2x+3y-1≤0，] 則[z=x-12y]的最小值是（? ? ）.

（A）[-2] （B）[-32]

（C）[-12] （D）[110]

隨著《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的實(shí)施，線性規(guī)劃問(wèn)題逐漸淡出了全國(guó)大部分地區(qū)的高中數(shù)學(xué)教材，因此大部分高考試卷中未涉及此內(nèi)容. 所考查的線性規(guī)劃試題也以常規(guī)形式出現(xiàn)，主要以知識(shí)點(diǎn)覆蓋為主，用常規(guī)方法即可解決.

（6）均值不等式，條件顯威力.

例8 （全國(guó)乙卷·文8）下列函數(shù)中最小值為[4]的是（? ? ）.

（A）[y=x2+2x+4]? （B）[y=sin x+4sin x]

（C）[y=2x+22-x]? ? （D）[y=ln x+4ln x]

均值不等式是不等式部分的重要內(nèi)容，也是高考的高頻考點(diǎn). 均值不等式求最值，主要考查學(xué)生的邏輯推理能力和轉(zhuǎn)化與化歸能力. 解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵：一是明確是否滿足均值不等式的形式;二是靈活掌握均值不等式的使用條件，準(zhǔn)確理解“一正、二定、三相等”的意義.

2. 注重內(nèi)容交會(huì)，體現(xiàn)學(xué)科素養(yǎng)

（1）與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)交會(huì)，比較中凸顯不等關(guān)系.

例9 （全國(guó)乙卷·理12）設(shè)[a=2ln 1.01，b=][ln 1.02，c=1.04-1，] 則（? ? ）.

（A）[a

（C）[b

例10 （全國(guó)新高考Ⅱ卷·7）若[a=log52，b=log83，][c=12]，則（? ? ）.

（A）[c

（C）[a

比較大小問(wèn)題本身就是不等式問(wèn)題，大小是表象，關(guān)鍵看轉(zhuǎn)化. 這類問(wèn)題可以把冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及運(yùn)算融入其中，考查面廣，難度可大可小，深受命題者青睞. 例9和例10立足對(duì)數(shù)式比較大小，考查對(duì)數(shù)運(yùn)算及對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，最終落腳點(diǎn)在利用不等式的傳遞性比較大小，屬于容易題，提示我們要注意對(duì)函數(shù)圖象和基本性質(zhì)的熟練應(yīng)用，要理解比較大小問(wèn)題的本質(zhì).

對(duì)不等式性質(zhì)的考查常與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及其運(yùn)算相結(jié)合，有時(shí)也與充要條件、函數(shù)的單調(diào)性等相結(jié)合，一般以選擇題、填空題的形式進(jìn)行考查.

（2）與圓錐曲線相結(jié)合，巧妙運(yùn)用均值不等式.

例11 （全國(guó)新高考Ⅰ卷·5）已知[F1，F(xiàn)2]是橢圓[C]：[x29+y24=1]的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)[M]在[C]上，則[MF1][MF2]的最大值為（? ? ）.

（A）13 （B）12

（C）9 （D）6

例12 （全國(guó)乙卷·文20）已知拋物線[C：y2=][2px p>0]的焦點(diǎn)[F]到準(zhǔn)線的距離為2.

（1）求[C]的方程;

（2）已知[O]為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)[P]在[C]上，點(diǎn)[Q]滿足[PQ=9QF，] 求直線[OQ]斜率的最大值.

例11求解的關(guān)鍵在于正確理解并轉(zhuǎn)化題意，結(jié)合橢圓定義，利用均值不等式求解，此題考查了基本概念和基本方法，難度較小. 例12求解的關(guān)鍵是利用圓錐曲線的相關(guān)知識(shí)得到直線[OQ]斜率的表達(dá)式，再根據(jù)表達(dá)式的形式選擇均值不等式解決問(wèn)題.

求最值的方法很多，利用均值不等式求解是其中常見(jiàn)的一種方法. 運(yùn)用均值不等式解決最值問(wèn)題時(shí)，要注意“一正、二定、三相等”條件的合理運(yùn)用.

（3）與三角關(guān)系式相結(jié)合，巧妙運(yùn)用均值不等式.

例13 （浙江卷·8）已知[α，β，γ]是互不相同的銳角，則在[sin αcos β，sin βcos γ，sin γcos α]三個(gè)值中，大于[12]的個(gè)數(shù)的最大值是（? ? ）.

（A）0 （B）1

（C）2 （D）3

例13需要充分挖掘題意，解題的關(guān)鍵是根據(jù)代數(shù)式的形式（積）選擇使用均值不等式，將積轉(zhuǎn)化為三角基本關(guān)系式平方和的形式，并結(jié)合三角變換的公式特征選擇放縮的方向，再借助特殊值解決問(wèn)題. 綜合性較強(qiáng)，難度較大，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)要求較高.

（4）與函數(shù)相結(jié)合，利用性質(zhì)研究不等式.

例14 （全國(guó)乙卷·文 / 理3）已知命題[p：?x∈R，][sin x<1﹔] 命題[q：?x∈R﹐ex≥1，] 則下列命題中為真命題的是（? ? ）.

（A）[p∧q] （B）[?p∧q]

（C）[p∧?q] （D）[?p∨q]

例15 （全國(guó)新高考Ⅰ卷·7）若過(guò)點(diǎn)[a，b]可以作曲線[y=ex]的兩條切線，則（? ? ）.

（A）[eb

（C）[0

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的主線之一，高考對(duì)函數(shù)的考查以函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用為主，而函數(shù)又與不等式有著天然的聯(lián)系，因此在函數(shù)問(wèn)題的解決中，經(jīng)常會(huì)用到不等式的思想方法. 解決此類問(wèn)題要注重知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，更多的是運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)及不等式解決函數(shù)中的大小、取值范圍問(wèn)題，體現(xiàn)了不等式的工具性.

（5）與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列相結(jié)合，恒成立問(wèn)題放光彩.

例16 （全國(guó)新高考Ⅰ卷·22）已知函數(shù)[fx=][x1-lnx].

（1）討論[fx]的單調(diào)性;

（2）設(shè)[a，b]為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且[bln a-aln b=][a-b，] 證明：[2<1a+1b

例17 （浙江卷·20）已知數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和為[Sn，a1=-94，] 且[4Sn+1=3Sn-9 n∈N?.]

（1）求數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)數(shù)列[bn]滿足[3bn+n-4an=0 n∈N?，] 記[bn]的前[n]項(xiàng)和為[Tn，] 若[Tn≤λbn]對(duì)任意[n∈N?]恒成立，求實(shí)數(shù)[λ]的取值范圍.

導(dǎo)數(shù)是高考的重要考點(diǎn)，其包含的思想方法、數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)、學(xué)科能力非常全面. 導(dǎo)數(shù)和數(shù)列中的證明問(wèn)題和恒成立問(wèn)題本質(zhì)上是最值問(wèn)題，考查形式多樣，難度系數(shù)便于調(diào)控，常在壓軸題中出現(xiàn). 例16是極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，一般通過(guò)原函數(shù)的單調(diào)性，把與自變量有關(guān)的不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化與原函數(shù)的函數(shù)值有關(guān)的不等式問(wèn)題，也可以引入第三個(gè)變量，把不等式的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與新引入變量有關(guān)的不等式問(wèn)題.

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中重要的離散型函數(shù)，數(shù)列本身就蘊(yùn)含著函數(shù)的屬性，所以像函數(shù)與不等式的組合一樣，數(shù)列與不等式也是最佳搭檔之一. 對(duì)于例17的解答，第（1）小題已知[Sn]求[an]時(shí)，不要忽略[n=1]的情況;第（2）小題恒成立選擇分離參數(shù)時(shí)，要注意變量的正、負(fù)、0的討論. 例如，當(dāng)[λn-4+3n≥0]恒成立時(shí)，要對(duì)[n-4=0，n-4>0，n-4<0]三種情形進(jìn)行分類討論，還要注意在[n-4<0]時(shí)，分離參數(shù)不等式要變號(hào).

不等式的證明是高考的高頻考點(diǎn)，經(jīng)常與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列結(jié)合考查. 證明不等式的過(guò)程就是不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸的過(guò)程. 此類問(wèn)題中往往含有參數(shù)，一般要針對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，因此應(yīng)加強(qiáng)對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論思想方法的運(yùn)用.

（6）求解范圍，巧用不等式的放縮.

例18 （浙江卷·10）已知數(shù)列[an]滿足[a1=1，][an+1=an1+an n∈N?.] 記數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和為[Sn]，則（? ? ）.

（A）[32

（C）[4

例18由題目條件可知即證[S100]小于某數(shù)，通過(guò)觀察[a1=1，an+1=an1+an n∈N?]形式，利用倒數(shù)法先找到[an]和[an+1]之間的不等關(guān)系，由累加法可求得[an≥4n+12，] 再通過(guò)局部放縮得到[an]和[an+1]間的不等關(guān)系，改變不等式的方向，得到[an≤6n+1n+2.] 最后由裂項(xiàng)相消法求得[S100<3.]

不等式的放縮是不等式問(wèn)題中的難點(diǎn)，體現(xiàn)了邏輯推理、分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化的命題意圖，試題新穎、難度較大.

（7）借助不等式，解決范圍問(wèn)題.

例19 （浙江卷·21）如圖3，已知[F]是拋物線[y2=2pxp>0]的焦點(diǎn)，[M]是拋物線的準(zhǔn)線與[x]軸的交點(diǎn)，且[MF=2.]

（1）求拋物線的方程;

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)[F]的直線交拋物線于[A，B]兩點(diǎn)，若斜率為[2]的直線[l]與直線[MA，MB，AB，] [x]軸依次交于點(diǎn)[P，Q，R，N，] 且滿足

[RN2=PN ? QN，] 求直線[l]在[x]軸上截距的范圍.

例19考查的是直線與拋物線位置關(guān)系中的最值問(wèn)題，往往需要根據(jù)問(wèn)題的特征合理設(shè)直線方程的形式，以便于代數(shù)計(jì)算，對(duì)于構(gòu)造出的函數(shù)關(guān)系式，要注意利用換元法等把復(fù)雜函數(shù)的范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)函數(shù)的范圍問(wèn)題.

例20 （浙江卷·22）設(shè)[a，b]為實(shí)數(shù)，且[a>1，] 函數(shù)[fx=ax-bx+e2 x∈R.]

（1）求函數(shù)[fx]的單調(diào)區(qū)間;

（2）若對(duì)任意[b>2e2，] 函數(shù)[fx]有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求[a]的取值范圍;

（3）當(dāng)[a=e]時(shí)，證明：對(duì)任意[b>e4，] 函數(shù)[fx]有兩個(gè)不同的零點(diǎn)[x1，x2，] 滿足[x2>blnb2e2x1+e2b.]

（注：[e=2.718 28…]是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).）

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性、極值（最值）最有效的工具，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)密切相關(guān)，故導(dǎo)數(shù)問(wèn)題與不等式問(wèn)題能夠自然結(jié)合. 高考非常重視對(duì)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的考查，主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與曲線的切線相聯(lián)系;（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，也可以利用已知的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為恒成立或存在性問(wèn)題，求參數(shù)范圍;（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題;（4）證明不等式，借助函數(shù)解決相關(guān)問(wèn)題，其中數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想顯得尤其重要.

三、復(fù)習(xí)備考建議

1. 以課程標(biāo)準(zhǔn)為方向，以教材為根本

新一輪課程改革摒棄了考試大綱，取而代之的是《標(biāo)準(zhǔn)》和《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》，這是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、復(fù)習(xí)備考的指南針. 教師要充分研究《標(biāo)準(zhǔn)》提出的六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，在教學(xué)過(guò)程中著力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，達(dá)到數(shù)學(xué)育人的目的. 教學(xué)的抓手在課堂，課堂的主題是內(nèi)容，在教學(xué)中，教師要弄清哪些為主干知識(shí)、哪些屬于關(guān)鍵能力、其所承載的核心素養(yǎng)是什么等問(wèn)題，進(jìn)而結(jié)合《標(biāo)準(zhǔn)》，落實(shí)“一核、四層、四翼”的高考評(píng)價(jià)體系要求.

教師要立足教材，重視對(duì)教材中不等式的基本概念、基本方法、基本原理的理解，這是學(xué)生解決問(wèn)題思維的出發(fā)點(diǎn)，也是轉(zhuǎn)化問(wèn)題的理論基礎(chǔ). 近幾年的高考命題，已經(jīng)逐漸淡化對(duì)特殊技巧的考查，對(duì)通性、通法要求較高. 因此，對(duì)于不等式的相關(guān)內(nèi)容的復(fù)習(xí)，應(yīng)加強(qiáng)對(duì)通性、通法的運(yùn)用，同時(shí)適當(dāng)對(duì)教材中的例題、習(xí)題進(jìn)行延伸和挖掘，以提高學(xué)生對(duì)基本問(wèn)題的理解.

2. 關(guān)注命題導(dǎo)向，重視知識(shí)交會(huì)

新高考對(duì)不等式的考查形式更加多樣，更加突出對(duì)學(xué)生關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)的考查. 因此，在復(fù)習(xí)備考過(guò)程中，教師要認(rèn)真研究高考試題，通過(guò)對(duì)高考題型的研究，準(zhǔn)確把握高考命題脈搏，增強(qiáng)復(fù)習(xí)的針對(duì)性和有效性. 從高考試題中可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)不等式的考查多與其他知識(shí)融合，因此要特別關(guān)注不等式與集合，常用邏輯用語(yǔ)，三角函數(shù)，基本初等函數(shù)及其性質(zhì)，函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)運(yùn)算，圓錐曲線，三角公式等的交會(huì)問(wèn)題，這些問(wèn)題體現(xiàn)了不等式的重要性和強(qiáng)大的工具性，需要我們拓寬不等式復(fù)習(xí)備考的廣度和深度.

3. 重視不等式思想方法體系的構(gòu)建

相等關(guān)系和不等關(guān)系是數(shù)學(xué)中最基本的數(shù)量關(guān)系，是構(gòu)建方程和不等式的基礎(chǔ)，由此，不等式才會(huì)與相關(guān)知識(shí)完美地融合. 在教學(xué)中，教師要重視函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類與整合等思想在解決不等式問(wèn)題中的作用，進(jìn)而建立解決不等式問(wèn)題的思想方法體系，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和學(xué)科素養(yǎng)大有裨益.

不等式內(nèi)容有著廣泛的應(yīng)用，是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn). 其中，主要考查不等式的性質(zhì)、各種不等式的解法、不等式的應(yīng)用、不等式的證明、含參不等式等問(wèn)題，單獨(dú)考查不等式知識(shí)的試題比較少，綜合考查不等式和函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識(shí)的試題較多.

簡(jiǎn)而言之，在高考復(fù)習(xí)備考過(guò)程中，應(yīng)關(guān)注不等式的工具性和實(shí)用性，緊扣通性、通法，全面提升學(xué)生綜合應(yīng)用不等式解決問(wèn)題的能力.

四、模擬題賞析

1. 設(shè)集合[A=xx2+x-2<0，B=x2x+3>0，] 則[A?B]等于（? ? ）.

（A） [-32，1] （B） [-32，-1]

（C） [-1，2] （D） [-2，1]

解：由題意，得

集合[A=x-2-32.]

所以[A?B=-32，1.]

故答案選A.

2. 已知[fx=x+2+ax-3 a∈R.]

（1）當(dāng)[a=3]時(shí)，求不等式[fx<13]的解集;

（2）若[?x≥12，] 不等式[fx≤x2+x+3]恒成立，求[a]的取值范圍.

解：（1）當(dāng)[a=3]時(shí)，[fx=x+2+3x-1.]

① 當(dāng)[x≤-2]時(shí)，[-x+2-3x-1<13.]

解得[-3

② 當(dāng)[-2

解得[-2

③ 當(dāng)[x≥1]時(shí)，[x+2+3x-1<13.]

解得[1≤x<72.]

綜上可知，原不等式的解集為[x-3

（2）當(dāng)[x≥12]時(shí)，不等式[fx≤x2+x+3，]

即[x+2+ax-3≤x2+x+3.]

整理，得[ax-3≤x2+1.]

則[-x2+2≤ax≤x2+4.]

分離參數(shù)，得[a≥-x+2x，a≤x+4x.]

令函數(shù)[gx=-x+2x x≥12，]

顯然[gx]在[12，+∞]上單調(diào)遞減，

所以[gx≤g12=72.]

當(dāng)[x≥12]時(shí)，[x+4x≥2x · 4x=4，] 當(dāng)且僅當(dāng)[x=2]時(shí)等號(hào)成立.

所以實(shí)數(shù)[a]的取值范圍為[72，4.]

3. 已知函數(shù)[fx=x-lnx+1，gx=ex-1.]

（1）求[fx]的單調(diào)區(qū)間;

（2）當(dāng)[x∈2，+∞]時(shí)，證明：[gxxx-1>2;]

（3）證明：[1+1e2-11+1e3-1 … 1+1en-1<][53 n∈N*，n≥2.]

（參考數(shù)據(jù)：自然對(duì)數(shù)的底數(shù)[e≈2.718 28.]）

解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)[fx=x-ln x+1]的定義域?yàn)閇-1，+∞，fx=1-1x+1=xx+1，]

所以當(dāng)[-10]時(shí)，[fx>0.]

所以[fx]在區(qū)間[-1，0]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[0，+∞]上單調(diào)遞增.

（2）證明：要證明[gxxx-1>2，] 即證明[gx>][2xx-1，] 即證明[ex-1>2xx-1.]

設(shè)[hx=ex-1-2xx-1=ex-2x2+2x-1，]

則[hx=ex-4x+2，hx=ex-4.]

當(dāng)[x∈2，+∞]時(shí)，[hx=ex-4>0，]

故[hx]在區(qū)間[2，+∞]上單調(diào)遞增.

所以[hx≥h2=e2-6>0.]

所以[hx]在區(qū)間[2，+∞]上單調(diào)遞增，

故[hx≥h2=e2-5>0]恒成立.

所以當(dāng)[x∈2，+∞]時(shí)，[gx>2xx-1，]

即[gxxx-1>2.]

（3）證明：要證明[1+1e2-11+1e3-1 … 1+1en-1<][53 n∈N*，n≥2，]

即證明[ln 1+1e2-1+ln 1+1e3-1+ … +ln 1+1en-1<][ln 53.]

由（1）可知，[fx]在區(qū)間[0，+∞]上單調(diào)遞增，

故[x-lnx+1>0]對(duì)于[x∈0，+∞]恒成立.

因?yàn)閇?n∈N*，n≥2，0<1en-1<1，]

所以[ln 1+1en-1<1en-1.]

由（2）可知，當(dāng)[x∈2，+∞]時(shí)，[ex-1>2xx-1，]

故[n≥2]時(shí)，[1en-1<12nn-1=121n-1-1n.]

故[ln 1+1e2-1+ln 1+1e3-1+ … +ln 1+1en-1<][121-12+12-13+ … +1n-1-1n=121-1n<12.]

因?yàn)閇e<259=532，]

所以[e12<53，] 即[12

故[ln 1+1e2-1+ln 1+1e3-1+ … +ln 1+1en-1

則[1+1e2-11+1e3-1 … 1+1en-1<53 n∈N*，n≥2.]

結(jié)論得證.

參考文獻(xiàn)：

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