張盛源，徐天福，郭芳俠

(陜西師范大學(xué) 物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710119)

在工程上，狹小的配電箱內(nèi)電力系統(tǒng)的母線為矩形截面以減小母線間的安培力.那么矩形截面載流導(dǎo)體間的安培力與截面尺寸有何關(guān)系？截面尺寸一定時，與放置方向有無關(guān)系？與同面積同電流的圓截面導(dǎo)線的安培力有多大的差異？要回答此些問題，就要從導(dǎo)體周圍的磁場的分布開始研究.關(guān)于截面形狀不同的無限長載流導(dǎo)體磁場研究，文獻(xiàn)[1-3]討論了無限長載流圓柱面和圓柱體產(chǎn)生的磁場，文獻(xiàn)[4]討論了無限長截面為矩形和三角形的載流導(dǎo)體產(chǎn)生的磁場，但都缺乏磁感線分布的直觀圖像以及對不同截面平行載流雙導(dǎo)體間安培力的分析.文獻(xiàn)[5]雖有討論截面為矩形的載流導(dǎo)體間的作用力，但把導(dǎo)體產(chǎn)生的磁場看成若干個無限大平面產(chǎn)生的磁場疊加，該模型不夠精確.本文根據(jù)畢奧-薩伐爾定律及安培環(huán)路定理，分別計算無限長截面分別為矩形和圓形的載流直導(dǎo)體產(chǎn)生的磁場，并利用Matlab模擬了磁場分布；隨后計算兩個矩形截面的載流導(dǎo)體間安培力和兩個圓形截面的載流導(dǎo)體間的安培力，并進(jìn)行對比分析.

1 矩形截面與圓形截面載流導(dǎo)體產(chǎn)生的磁場的計算與模擬

對于銅導(dǎo)線，室溫下σ=5.9×107S·m-1，μ≈μ0=4π×107N·A-2.因而f=50 Hz時，δ≈9.4 mm；f=1000 Hz，δ≈2.1 mm，低頻下趨膚深度與電力系統(tǒng)導(dǎo)線線徑同數(shù)量級；從電流密度看，即便是1000 Hz的交流電，以圓柱導(dǎo)體為例，導(dǎo)線軸線和表面處的電流差別也不會很大.因而在低頻情況下趨膚深度效應(yīng)可以忽略，近似認(rèn)為電流在橫截面上均勻分布[7].

1.1 無限長的矩形截面載流導(dǎo)體周圍磁場

任意導(dǎo)線元M在P點的磁場dB及其分量如圖1所示.根據(jù)無限長直導(dǎo)線的磁場公式[6]：

導(dǎo)線元在P點產(chǎn)生的磁場大小為

該磁場的x分量為：dBx=dBcosθ，其中

代入得

同理得y分量為

圖1 無限長矩形截面導(dǎo)體周圍磁場分析

由此可得整個載流導(dǎo)體的磁場分量可表示為

(1)

(2)

積分運算得到無限長的矩形截面載流導(dǎo)體在(x,y)處的磁場分量的表達(dá)式：

(3)

(4)

根據(jù)磁感線的定義，磁感線上每一點的切線就是該點磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向，故在磁感線上取一段線元dl，它應(yīng)與B平行，故：dl×B=0.

由上式可得xy平面內(nèi)磁場線微分方程：

(5)

將式(3)、(4)代入上式，積分便可求得磁場線方程.在這里利用Matlab求得近似的數(shù)值解并繪制磁感應(yīng)線.圖2(a)、(b)、(c)是假設(shè)b=1 cm，a分別取0.25 cm、0.5 cm、1 cm的磁感線分布.

根據(jù)圖像分析可得，矩形截面導(dǎo)體長和寬的差異越小，導(dǎo)體形成的磁場線越接近于圓[圖2(c)]；長和寬的差異越大，磁場線越來越扁[圖2(a)]，類似于橢圓；若某一邊的長度為無窮大，即導(dǎo)體變成有一定厚度的面積無限大的平面導(dǎo)體，其磁場線為平行于導(dǎo)體面的多條直線，這和電磁學(xué)的一般規(guī)律相符合.

圖2 無限長矩形截面導(dǎo)體周圍磁感線分布

1.2 無限長的圓形截面載流導(dǎo)體周圍磁場

根據(jù)以上所述磁場的特點，由安培環(huán)路定理∮B·dl=μ0∑I[6]易知磁場表達(dá)式為

(6)

2 矩形截面與圓形截面載流雙導(dǎo)體間的作用力及分析

2.1 矩形截面無限長載流雙導(dǎo)體間的作用力

為研究方便，在圖1磁場中置入電流為I′的無限長同規(guī)格電流同方向的矩形直導(dǎo)體如圖3所示.考慮導(dǎo)體長度為l的一段所受的磁場的作用力，設(shè)原點處的導(dǎo)體產(chǎn)生的磁場作用在l上的安培力為Fr.設(shè)|OQ|=L,將導(dǎo)體段分為無窮多平行的無限長直導(dǎo)線元，其電流可表示為dI′=j′dxdy.再對導(dǎo)線元應(yīng)用安培力公式：

dF=Idl×B

(7)

圖3 矩形截面載流雙導(dǎo)體間的作用力

根據(jù)幾何關(guān)系將力分解為dFy=j′lBxdxdy和dFx=-j′lBydxdy，由對稱性分析可知

(8)

因此長為l的一段所受的安培力沿x軸負(fù)方向，大小為

Fr=|Fx|=?j′lBydxdy

將式(4)代入上式，并積分得

(9)

為了更直觀地了解當(dāng)矩形導(dǎo)體邊長之比不同時，兩導(dǎo)體間安培力隨距離L的變化情況，設(shè)I=I′=1A、l=1 cm，導(dǎo)體截面積為1 cm2，分別取a=0.5 cm、0.8 cm、1 cm、1.2 cm、1.5 cm，計算相應(yīng)的b，作Fr-L圖線如圖4所示.

圖4 矩形截面載流雙導(dǎo)體間作用力Fr隨距離L的變化

由圖4可以看出，在電流密度和尺寸一定的條件下：橫截面的邊長比a/b一定時，安培力隨著距離L的增大而減??；距離L一定時，a/b的值越大，安培力越小，所以配電箱內(nèi)兩矩形截面母線放置時應(yīng)使較長的邊相對，這樣安培力小于同距離短邊相對時的安培力.

2.2 圓形截面無限長載流雙導(dǎo)體間的作用力

兩無限長同規(guī)格圓柱載流導(dǎo)體的位置，如圖5所示，設(shè)軸線間垂直距離為L，電流密度分別為j和j′.考慮長度為l的一段所受的作用力，設(shè)該段載流導(dǎo)體所受的安培力為Fc，建立柱坐標(biāo)系.

圖5 兩圓形截面載流導(dǎo)體間的作用力

把載流導(dǎo)體看做許多無限長的平行直線導(dǎo)線元組成，P(r,θ)處的導(dǎo)線元所受的安培力大小為dF=j′lBrdrdθ.由圓截面導(dǎo)體對稱性可知兩導(dǎo)體間總的安培力在垂直于極軸方向的合力F⊥=0，總的安培力方向平行于極軸，即

代入并積分可得

(10)

2.3 矩形與圓形截面雙導(dǎo)體間安培力的比較

令兩安培力表達(dá)式(9)、(10)中的j、j′、l分別對應(yīng)相等，作比值Fr/Fc

(11)

假設(shè)矩形與圓形導(dǎo)線橫截面積ab=πR2=1 cm2，作出Fr/Fc-L如下圖7所示.

圖7 Fr/Fc-L圖

該圖像表明兩種導(dǎo)線電流密度和尺寸對應(yīng)相同時，當(dāng)距離L越來越大，F(xiàn)r/Fc趨近于1；若L一定，F(xiàn)r/Fc隨著a/b的值變化：a/b<1時，F(xiàn)r/Fc>1，此時矩形截面導(dǎo)體間作用力大于圓形截面間作用力；a/b=1時，F(xiàn)r/Fc≈1，此時矩形截面導(dǎo)體間作用力近似等于圓形截面間作用力；a/b>1時，F(xiàn)r/Fc<1，此時矩形截面導(dǎo)體間作用力小于圓形截面間作用力.總體來看，a/b越大，F(xiàn)r/Fc比值越小.這就是為什么配電箱選用矩形截面導(dǎo)線進(jìn)行電流配送，而且放置時應(yīng)保證相對的邊長度大于另一邊長度.

3 結(jié)論

通過以上的理論計算得到了無限長矩形、圓形截面通電導(dǎo)體周圍的磁場分布和平行雙導(dǎo)體間作用力的表達(dá)式，并在Matlab的輔助下進(jìn)行了模擬分析.得到如下重要結(jié)論：1) 矩形截面載流導(dǎo)體磁感線近似橢圓狀，在邊長相等時近似為圓形；2) 電流密度和尺寸一定時，兩個矩形截面平行載流導(dǎo)體間的安培力與距離、邊長比相關(guān)，邊長比a/b越大，作用力越小；3) 在電流密度和尺寸相同時，與兩個圓截面間的作用力比較：當(dāng)a/b>1時，矩形截面間的作用力較圓形的?。籥/b<1時，矩形截面間的作用力較圓形的大.根據(jù)這個規(guī)律，狹小的配電箱應(yīng)選用矩形截面導(dǎo)線，且放置時應(yīng)保證相對的邊長較另一邊大,才能保證安全.