肖添寧，王拴虎

( 西北工業(yè)大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710129)

1845年，法拉第經(jīng)過長期艱苦的工作，首次觀測到了光與磁的相互作用——磁致旋光效應(yīng)[1].這表明，除了某些各向異性的旋光介質(zhì)能夠?qū)€偏振光的偏振面進(jìn)行旋轉(zhuǎn)之外，對(duì)各向同性介質(zhì)施加外磁場，也會(huì)出現(xiàn)同樣的旋光效應(yīng).近幾年，隨著激光和光電子技術(shù)的不斷發(fā)展，磁致旋光效應(yīng)的應(yīng)用更加廣泛，例如磁光調(diào)制器、磁光隔離器、磁光開關(guān)、磁光環(huán)形器等[2,3].

1 介質(zhì)的各向異性

1.1 電子的運(yùn)動(dòng)方程

首先，在介質(zhì)內(nèi)部建立O-xyz空間直角坐標(biāo)系，設(shè)外加勻強(qiáng)恒定磁場B0沿著z軸方向，將電磁波的高頻電場E作為參考矢量，且僅考慮電磁波沿z軸方向傳播的情況.根據(jù)電子受到的洛倫茲力，電子的運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

注意，上式中電子電荷的負(fù)值已經(jīng)包含在q當(dāng)中了.為了方便分析[6]，通常設(shè)電磁波中電場隨時(shí)間諧變，從而有E=E0e-iωt；同時(shí)，電子的運(yùn)動(dòng)可看作是在諧變電場E下的受迫振動(dòng)，從而電子的速度可表示為v=v0e-iωt.考慮到電磁波沿著z軸方向傳播，故Ez=0，從而僅分析x和y方向上的各個(gè)物理量.將上述關(guān)系代入式(1)得到

(2)

(3)

不難看出，式(3)的張量矩陣與SO(2)平面旋轉(zhuǎn)矩陣的結(jié)構(gòu)相似，即對(duì)角元素相同，副對(duì)角元素互為相反數(shù)，這種相似性說明體系具有旋轉(zhuǎn)特征的可能性.此外，當(dāng)外磁場B0=0，副對(duì)角元素為0，矩陣與單位矩陣的結(jié)構(gòu)相似，從而預(yù)示著體系回到簡并的情況，即各向同性的情形.

1.2 相對(duì)介電張量

本節(jié)將介質(zhì)分為電介質(zhì)和導(dǎo)體分別進(jìn)行討論.

1.2.1 電介質(zhì)

對(duì)于電介質(zhì)，在電場的作用下會(huì)發(fā)生極化現(xiàn)象，故考慮極化強(qiáng)度，并將其與電場E0的關(guān)系推廣到張量形式[8]

P0=ε0χeE0=neqr0

(4)

其中χe為電極化率張量，ne為電子數(shù)密度.

根據(jù)式(1)，也可解出r0的表達(dá)式，不難得到其與速度v0的關(guān)系為

(5)

再根據(jù)電極化率χe與相對(duì)介電張量εr的關(guān)系，并聯(lián)立式(3)—(5)得到

(6)

其中I為單位矩陣，且有

1.2.2 導(dǎo)體

對(duì)于導(dǎo)體，電場會(huì)使電子定向移動(dòng)，形成電流，故考慮歐姆定律的微分式，并將之推廣到張量形式[8]:

J0=σE0=neqv0

(7)

其中σ為電導(dǎo)率張量.

(8)

上式將電流納入到介電張量當(dāng)中，由此定義出等效相對(duì)介電張量ε′r:

(9)

聯(lián)立式(3)(7)(9)，并考慮到導(dǎo)體沒有極化現(xiàn)象，滿足εr=I，從而得到

(10)

可見，電介質(zhì)的相對(duì)介電張量和導(dǎo)體的等效相對(duì)介電張量的數(shù)學(xué)形式完全一致，因而可以統(tǒng)一進(jìn)行分析.

2 本征態(tài)的導(dǎo)出

本節(jié)直接使用等效相對(duì)介電張量ε′r，當(dāng)考慮電介質(zhì)時(shí)，只需令電導(dǎo)率σ=0即可；當(dāng)考慮導(dǎo)體時(shí)，令εr=I即可.

2.1 頻域麥克斯方程組

(11)

注意，上式由于ε′r已經(jīng)包含電流項(xiàng)了，所以根據(jù)電流連續(xù)性方程，第一式中的自由電荷項(xiàng)也已經(jīng)包含在等式左邊，從而等式右邊為0.

由于所考察的物理量涉及動(dòng)量，因而考慮(11)在傅里葉空間的形式.對(duì)方程組兩邊同時(shí)進(jìn)行傅里葉變換.此外，考慮到磁致旋光介質(zhì)通常為非鐵磁性物質(zhì)[1]，故默認(rèn)μr≈1，得到

(12)

2.2 求解本征態(tài)

對(duì)(12)的第二式兩邊同時(shí)左叉乘波矢k得到

k×(k×E0)=ωμ0(k×H0)

(13)

式(13)左邊由A×(B×C)=B(A·C)-C(A·B)式，以及橫電磁波的性質(zhì)k·E0=0，得到

k×(k×E0)=-k2E0

(14)

式(13)右邊利用式(12)中第四式進(jìn)行代換，得到

ωμ0(k×H0)=-ω2μ0ε0ε′rE0

(15)

根據(jù) (13)左右相等得到

ω2μ0ε0ε′rE0=k2E0

(16)

從而化歸為本征值問題，不難求得(16)的本征值和本征向量.

當(dāng)B0≠0時(shí)，ε2≠0.解出兩本征值不相等，稱為右旋波矢和左旋波矢:

(17)

相應(yīng)的本征向量, 稱為右旋基矢量和左旋基矢量:

(18)

這便是磁場對(duì)體系產(chǎn)生影響而退簡并的結(jié)果，所產(chǎn)生的右旋和左旋波矢大小不同，使得線偏振電磁波在通過介質(zhì)時(shí)，偏振面發(fā)生旋轉(zhuǎn)，即磁致旋光現(xiàn)象.由于這種旋轉(zhuǎn)的方向僅依賴于外磁場的方向，如果對(duì)時(shí)間反演，旋轉(zhuǎn)的方向仍和反演之前相同，但傳播方向與之前相反，從而打破了時(shí)間反演不變性，即光路不可逆.詳細(xì)的定量討論將在下一節(jié)進(jìn)行.

2.3 討論與近似

現(xiàn)在討論一束沿z軸傳播的電磁波，經(jīng)過距離l后，偏振態(tài)的變化.

設(shè)入射之前的偏振態(tài)為

(19)

當(dāng)經(jīng)過距離l之后，偏振態(tài)變?yōu)?/p>

(20)

利用{eR,eL}與{ex,ey}的關(guān)系，以及歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ可將式(20)化為

(21)

由此可看出，經(jīng)過l的距離，電場角度變化為

(22)

由于磁場B0不太強(qiáng)[1]，將式(22)對(duì)磁場展開，得到

(23)

此即磁致旋光效應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)公式[7]，V為韋爾代常數(shù).

可見，角度變化量Δθ除了和外磁場B0成正比以外，還和ωp有著密切的關(guān)系，當(dāng)ωp增大時(shí)，角度變化量往往也隨之增大，進(jìn)而退簡并效果也更加明顯.至于更加詳細(xì)的討論，還需要借助量子力學(xué)對(duì)塞曼效應(yīng)進(jìn)行分析.

3 結(jié)論

綜上所述，利用電動(dòng)力學(xué)的方法，可以更加嚴(yán)格且簡潔明了地解釋磁致旋光中右旋和左旋兩種本征態(tài)的來源.同時(shí)，考慮到弱磁場近似下，還可得到磁致旋光效應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)公式，其韋爾代常數(shù)的表達(dá)式與量子理論得出的結(jié)果基本一致[3]，這也驗(yàn)證了此方法的正確性.