葉政君，祝怡然，黃澤江，夏成杰

(華東師范大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院，上海 200241)

莫爾條紋是兩組周期相近的條紋疊加形成的“周期”結(jié)構(gòu)[1]．如圖1(a)所示，兩組黑白條紋平行、重疊放置，可觀察到具有更長周期的莫爾條紋．這一放大周期的特性使莫爾條紋現(xiàn)象具有廣泛的應(yīng)用，如對角度、位移、材料應(yīng)變的精密測量，放大晶格缺陷實現(xiàn)納米探傷，紙幣防偽等[2-5]．同時，近年在凝聚態(tài)物理領(lǐng)域發(fā)現(xiàn)了與莫爾條紋現(xiàn)象直接相關(guān)的石墨烯“魔角”特性——通過材料的層間晶格差異或者轉(zhuǎn)角形成莫爾超晶格結(jié)構(gòu)，引入額外的大周期勢場，產(chǎn)生新型能帶調(diào)制，在某些情況下與高溫超導(dǎo)現(xiàn)象類似[6, 7]．

莫爾條紋周期長度的計算是理解并應(yīng)用這一現(xiàn)象的基礎(chǔ)．在大多數(shù)相關(guān)文獻中，常用遮光原理求解莫爾條紋的周期[8]．我們指出，這一方法雖然在大多數(shù)情況下都能給出正確的結(jié)論，但會與某些特殊條件下的觀察結(jié)果不符：例如，當(dāng)兩組條紋的各自的周期長度之比，接近一對相差2的互質(zhì)正整數(shù)之比的情況，如5/7等；并且，其推導(dǎo)過程先驗地暗含了“莫爾條紋的周期性是嚴格的”這一假設(shè)，而實際上更應(yīng)該被視為一項近似，在邏輯和數(shù)學(xué)上需要更為嚴謹?shù)挠懻摚槍@些問題，本文通過對兩組條紋的周期之比進行連分數(shù)展開，嚴格推導(dǎo)了它們所形成的莫爾條紋的周期的表達式，為莫爾條紋的周期性給出了嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)定義和新的理解．據(jù)我們所知，這是第一次建立起莫爾條紋現(xiàn)象與連分數(shù)這一基礎(chǔ)數(shù)學(xué)形式之間的聯(lián)系．

1 莫爾條紋周期計算方法的謬誤

圖1中的莫爾條紋由周期分別為TA和TB的兩組平行條紋A、B疊加而成，不失一般性，設(shè)TA>TB，且它們的第0根線條重合．由于兩組條紋周期不同，重合線條右側(cè)的線條逐漸錯開，遮光(黑色)區(qū)域的面積逐漸增加；繼續(xù)向右，條紋A的第n根線條距離條紋B的第n+1根線條的間距，開始比兩組條紋各自第n根線條的間距更近，即遮光面積又逐漸減少；直至條紋A的第nA根線條與條紋B的第nB=nA+1根線條幾乎重合．這就形成了一套“亮-暗-亮”交錯的圖案，其中兩組條紋的線條幾乎重合之處為莫爾條紋中的亮紋，兩組條紋的線條最不重合之處為暗紋．通常，人們基于上述遮光原理推導(dǎo)莫爾條紋的周期長度

TM=nATA=nBTB

(1)

其中

nB=nA+1

(2)

這表示兩組條紋各自經(jīng)過nA和nA+1個周期后再次重合．聯(lián)立式(1)、(2)可解得

(3)

對于絕大多數(shù)的周期TA、TB組合，式(3)都可給出正確的結(jié)果，但也存在例外．例如，我們在圖1(c)中展示利用Adobe Illustrator(Ai)軟件繪制的兩組周期之比為TB/TA=0.714的重疊平行條紋，直接觀察圖1(c)可知，這組莫爾條紋的周期約為TM=5TA，而根據(jù)式(3)計算所得的周期是TM=2.4965TA；約為計算結(jié)果的1/2．可見，對于某些TA和TB的組合，基于式(3)計算所得的莫爾條紋周期與實際觀察結(jié)果不符．

這一錯誤本質(zhì)上是由于上述推導(dǎo)過程中存在一系列不嚴謹?shù)慕坪图僭O(shè)，一些明顯的數(shù)學(xué)漏洞被忽視了．首先，從數(shù)學(xué)角度而言，當(dāng)且僅當(dāng)α=TB/TA為有理數(shù)時，式(1)存在整數(shù)解nA=A，nB=B，其中正整數(shù)A、B是表示成既約分數(shù)(即最簡分數(shù))的α=A/B的分子和分母．所以，對于任意兩個周期TA，TB，關(guān)于nA，nB的方程式(1)不一定存在正整數(shù)解；甚至，由于有理數(shù)在實數(shù)軸上測度為0，嚴格來說，兩組條紋周期之比α為有理數(shù)的概率為0．更進一步，即便在某些式(1)存在整數(shù)解的特殊情況下，直接由式(1)計算出的莫爾條紋周期也可能不正確．譬如，當(dāng)TB/TA=0.901=901/1000時，式(1)的正整數(shù)解所對應(yīng)的莫爾條紋周期為901TA=1000TB，顯然不符合觀察結(jié)果(圖1(b))．所以，式(1)只能是近似成立．但是，這一近似的程度，以及做此近似的合理性均未得到充分說明．第二，式(2)也隱含著人為的假設(shè)：兩組條紋剛好“錯開”一條時，對應(yīng)于莫爾條紋的一個周期．這一假設(shè)一方面限制了能使式(1)成立的α必須具有A/(A+1)的形式，同時其本身的合理性與必要性也尚待討論．

2 莫爾條紋“準(zhǔn)周期”的定義

上述分析表明，周期分別為TA和TB的兩組條紋各自經(jīng)過nA和nB個周期后通常只能是近似重合．所以，莫爾條紋并非是嚴格的周期結(jié)構(gòu)，將其周期稱為“準(zhǔn)周期”更為合理．

由莫爾條紋遮光原理的圖像可知，計算莫爾條紋的周期長度，本質(zhì)上是在尋找一組不太大的正整數(shù)nA和nB，使

|nATA-nBTB|=TA|nA-αnB|

(4)

足夠小．其中，|nATA-nBTB|為兩組條紋各自經(jīng)過nA和nB個周期后的間距．在本節(jié)，我們?yōu)椤安惶蟆焙汀白銐蛐　边@兩個近似建立嚴格的數(shù)學(xué)定義．其他計算莫爾條紋周期的方法本質(zhì)上都未加說明地采取了同樣的近似[9]．所以，如何在數(shù)學(xué)上明確這一近似的含義，并找到一組符合實際觀察結(jié)果的nA和nB，是一個普遍存在的問題．

圖1 兩組周期分別為TA和TB的平行條紋形成的莫爾條紋

2.1 有理數(shù)逼近

由式(4)可知，計算莫爾條紋的周期本質(zhì)上是在尋找α=TB/TA的有理數(shù)逼近，即用一個有理數(shù)nA/nB來近似α，從而使|nA-αnB|足夠接近于零．這種對數(shù)字精度的取舍存在于所有實際問題中．最為通用的逼近方法是“四舍五入”，例如將圖1(b)中的0.901=901/1000近似為0.9=9/10后便可得到符合觀察結(jié)果的莫爾條紋周期TM=9TA．但是，對于莫爾條紋，“四舍五入”有時并非最佳的有理逼近方式．例如，若TA=1，TB=0.931，小數(shù)α=TB/TA=0.931四舍五入近似為0.9=9/10，得到nA=9，nB=10．代入式(4)可知兩組條紋各經(jīng)過nA和nB個周期后的距離相差|nATA-nBTB|=0.31．對比之下，如果用nA/nB=13/14≈0.929來近似α，則得到|nATA-nBTB|≈0.034，近似的精度提高了一個量級．?dāng)?shù)學(xué)上，通過對實數(shù)α=TB/TA進行連分數(shù)展開，可以系統(tǒng)性地給出所有關(guān)于α的有理數(shù)逼近；對于莫爾條紋，將恰好給出所有使式(4)近似為零的nA和nB．

2.2 連分數(shù)展開

任何一個正實數(shù)α都可以被表示成如下(簡單)連分數(shù)展開的形式

(5)

可簡寫為[a0,a1,…,an,…]，其中展開系數(shù)an為正整數(shù)．一個有理數(shù)的連分數(shù)展開為有限階，無理數(shù)的連分數(shù)展開為無窮階．連分數(shù)展開是收斂的，其形式是唯一的，(對于一個有理數(shù)存在兩種等價的表示形式：[a0,a1,…,an]與[a0,a1,…,an-1,1])，它是對于實數(shù)的一種“純粹”的表示方式——其各階展開系數(shù)與進制無關(guān)．本文主要利用連分數(shù)展開的以下性質(zhì)，相應(yīng)的證明可參見引文[10, 11]．

首先，將連分數(shù)[a0,a1,…,an,…]在第k階截斷，得到[a0,a1,…,ak]，等于分數(shù)pk/qk，被稱為連分數(shù)的第k階漸進分數(shù)，其中正整數(shù)pk和qk滿足遞推關(guān)系

(6)

可以證明，由式(6)定義的漸近分數(shù)pk/qk為既約分數(shù)；并且，隨著階數(shù)k增大，各階漸近分數(shù)與α之差的絕對值嚴格遞減且收斂于0．

第二，首先定義：對正實數(shù)α以及既約分數(shù)p/q，如果所有不大于q的正整數(shù)q′以及任意p′，都滿足

|p′-αq′|≥|p-αq|

(7)

那么p/q是實數(shù)α的第二類最佳逼近．可以證明如下定理：α的連分數(shù)的各階漸進分數(shù)pk/qk都是其第二類最佳逼近；并且，α的所有第二類最佳逼近都是其連分數(shù)展開的漸進分數(shù)．例如，2.1節(jié)中的13/14是0.931的第二階漸進分數(shù)，可以驗證，它是0.931的一個第二類最佳逼近．

由上述定義和定理并對比式(4)、(7)可知，對于莫爾條紋，α=TB/TA的連分數(shù)展開的第k階漸進分數(shù)pk/qk將正好給出使式(4)取其極小值的解：nA=pk，nB=qk；此處“極小值”的含義是指：第qk根B條紋與第pk根A條紋的間距小于第qk根B條紋之前任意第q′(0

式(4)、(7)在形式上的巧合，以及連分數(shù)的漸進分數(shù)與第二類最佳逼近的充要性，使得連分數(shù)展開自然而然地成為定義及計算莫爾條紋周期的最合適的數(shù)學(xué)方法．此外，我們指出，利用看似更為直接的第一類最佳逼近，無法給出符合實際觀察結(jié)果的莫爾條紋周期．(第一類最佳逼近指的是：如果對于一個既約分數(shù)p/q，對任意q′≤q以及p′都有|p′/q′-α|≥|p/q-α|，則p/q是α的最佳逼近．可以證明，α的連分數(shù)的各階漸進分數(shù)都是α的第一類最佳逼近；但并非所有α的第一類最佳逼近都是其漸進分數(shù)．)

2.3 各階準(zhǔn)周期

上述討論表明，α=TB/TA的連分數(shù)的各階漸進分數(shù)都可以對應(yīng)一個莫爾條紋周期，且階數(shù)k越小，莫爾條紋周期(pkTA或qkTB)越短，但|pk-αqk|越大，即近似程度越低．各階準(zhǔn)周期的表達式如下．為簡化起見，我們令TA=1，且只討論1/2

α的第1階漸進分數(shù)為p1/q1=1/1，從而得到nA=nB=1，即TM≈TA≈TB，是一個平凡的、無意義的解．α的第2階漸進分數(shù)為p2/q2=a2/(a2+1)，從而得到nA=a2，nB=a2+1，以及莫爾條紋的周期TM=a2TA，或等價的TM=(a2+1)TB．a(chǎn)2的數(shù)值為?α/(1-α)」，其中?x」表示x向下取整．如代入小數(shù)α/(1-α)=TB/(TA-TB)的值以近似計算a2，可得TM=?TB/(TA-TB)」TA．此式與式(3)幾乎一致，最多相差一個TA．如果考慮更高階的漸進分數(shù)，比如對于第3階漸進分數(shù)有：α≈(a2a3+1)/(a2a3+a3+1)，得到莫爾條紋第3階準(zhǔn)周期TM=(a2a3+1)TA．以此類推，可以定義莫爾條紋的第k階準(zhǔn)周期TM=pkTA(或等價的TM=qkTB)．

在各階準(zhǔn)周期中，第2階準(zhǔn)周期最為特殊：只有在第2階漸進分數(shù)α≈a2/(a2+1)的形式下，A條紋剛好比B條紋少經(jīng)過一個周期而第一次達到近似重合的狀態(tài)；并且，A條紋與其最近的B條紋的距離先單調(diào)增加后單調(diào)減小，這樣的單次“亮-暗-亮”的變化最容易被人眼分辨．對于更高階的準(zhǔn)周期，其長度通常遠大于2階準(zhǔn)周期長度，且每個周期內(nèi)部還存在多次“亮-暗”的轉(zhuǎn)變，對應(yīng)于多個僅有微小區(qū)別的低階準(zhǔn)周期圖案．所以人眼往往不易辨別出高階準(zhǔn)周期的存在，而通常能觀察到的莫爾條紋的周期就對應(yīng)于連分數(shù)的2階漸進分數(shù)，也就是式(3)所給出的最為通用的表達式．但是我們還是指出，存在一些較為特殊的α，觀察到的莫爾條紋周期確實對應(yīng)于更高階的漸進分數(shù)．

2.4 非周期程度

我們定義莫爾條紋各階非周期程度fk(α)=|pk-αqk|(k≥2)，它表示A、B兩組條紋經(jīng)過一個第k階莫爾條紋準(zhǔn)周期后的間距與TA之比，反映了它們近似重合的程度．由連分數(shù)漸進分數(shù)的性質(zhì)可知：低階準(zhǔn)周期非周期程度大，但周期短，所以易觀察；高階準(zhǔn)周期的非周期程度小，即近似的精度高，但周期太長，不易觀察．可見，實際觀察到的莫爾條紋周期，在非周期程度(即精度)與準(zhǔn)周期長度之間達到某種平衡．基于以上考慮，我們給出莫爾條紋周期的嚴格定義

TM=pkTA,k=min{k′},s.t.fk′(α)≤E

(8)

表示：k為滿足fk(α)≤E的最小值，其中pk由式(6)的遞推關(guān)系給出，而E是可觀察到莫爾條紋周期的經(jīng)驗閾值．考慮到人類通常能夠較為準(zhǔn)確地分辨出一段給定長度的1/10，我們認為E比較合理的取值應(yīng)在0.1左右．

f2(α)和f3(α)的圖像如圖2所示 ．對于某一階fk(α)，其函數(shù)的圖像形式為無數(shù)個直角三角形，每個直角三角形又剛好覆蓋了高一階的fk+1(α)的圖像中一組面積依次改變的直角三角形．全體fk(α)函數(shù)表現(xiàn)出一種分形的自相似特征．由圖2可知，當(dāng)兩組條紋的周期非常接近時(如α≥0.9)，f2(α)<0.1始終成立，所以莫爾條紋周期為第2階準(zhǔn)周期，基本上與式(3)等價．對于某些較小的α，經(jīng)過一個2階準(zhǔn)周期后A條紋和B條紋重合程度不高，即f2(α)較大，而只有經(jīng)過更高階的準(zhǔn)周期后，才滿足fk(α)≤E，從而對應(yīng)于人眼觀察到的莫爾條紋．

圖2 (a)2階非周期程度f2(α);(b)3階非周期程度f3(α)．虛線表示α=φ≈0.618以及α=φ2≈0.724

對于圖1中所列舉的各條紋周期之比，可驗證，取E=0.1時，由式(8)定義的莫爾條紋周期與實際觀察結(jié)果均相符：如圖1(a)，α=0.9，f2(0.9)=0，表示兩條紋嚴格重合，所以有TM=p2TA=9TA；圖1(b)，α=0.901，f2(0.901)=0.01E而f3(0.714)=0.002E，f3(0.715)=0.14>E，而f4(0.715)=0.005

3 由連分數(shù)展開得到的推論

這一節(jié)，我們基于上述結(jié)果討論幾類特殊的條紋周期之比α及其莫爾條紋的周期性質(zhì)．為驗證理論推論，我們首先利用菲林打印機在透明塑料薄片上打印出由Ai軟件繪制出的不同周期的條紋，隨后將各組周期長度不同的條紋平行、重疊放置于一塊平板LED燈前，用單反相機拍攝它們所構(gòu)成的莫爾條紋(如圖3、4)．

圖3 具有嚴格周期性的莫爾條紋(實驗照片)．周期比TB/TA分別為(a)2/3，(b)3/4，(c)3/5和(d)4/7，莫爾條紋的周期分別為：TM=2TA，3TA，3TA，4TA．其中(a，b)為二階周期性莫爾條紋，(c，d)為三階周期性莫爾條紋

圖4 黃金比例莫爾條紋(實驗照片)．TB/TA分別為(a) φ1=φ≈0.618，(b) φ2≈0.724，(c) φ3≈0.783，(d) φ4≈0.822

3.1 周期性二階莫爾條紋

由上述莫爾條紋周期的連分數(shù)計算方法可知，若α=TB/TA的連分數(shù)為[0,1,a2]，即所有n>2的系數(shù)an均為0，那么其二階漸進分數(shù)就等于α，此時由式(3)計算所得的周期是嚴格的，所形成的莫爾條紋的周期性也是嚴格的．滿足這一條件的α具有a2/(a2+1)的形式(見圖2(a))，即第1節(jié)中提到的使式(1)存在正整數(shù)解、且滿足nB=nA+1的情況．此類周期性二階莫爾條紋如圖3(a)、(b)所示．可以看到，即便當(dāng)α較小(如2/3)時也可以觀察到明顯的莫爾條紋，并且每個莫爾條紋周期都表現(xiàn)為簡單的“亮-暗-亮”圖樣．當(dāng)α在這些特殊比值附近時，顯然也可以觀察到較為明顯的莫爾條紋現(xiàn)象．所以，通常認為只有當(dāng)兩組條紋的周期長度非常接近時才能觀察到莫爾條紋現(xiàn)象的想法并不嚴謹．

3.2 周期性高階莫爾條紋

若α=TB/TA的連分數(shù)為[0,1,a2,2]，此時其二階漸進分數(shù)為a2/(a2+1)，當(dāng)a2較小時f2(α)較大，所以不應(yīng)直接由式(3)計算莫爾條紋的周期；而其三階漸進分數(shù)(2a2+1)/(2a2+3)就等于α(見圖2(b))，所以此類莫爾條紋也具有嚴格的周期性，其周期為(2a2+1)TA，屬于三階準(zhǔn)周期(如圖3(c))．類似的，若α=[0,1,a2,3]，即(3a2+1)/(3a2+4)(如4/7，7/10等)，莫爾條紋也存在嚴格的周期性(如圖3(d))．在上述情況下，每個莫爾條紋周期表現(xiàn)為較為復(fù)雜的 “亮-暗-亮-暗-亮”圖樣．顯然，當(dāng)兩組條紋的周期之比在上述這些特殊α值附近時，也可觀察到這類更為復(fù)雜的高階莫爾條紋準(zhǔn)周期圖案；而根據(jù)遮光原理的計算中要求式(2)成立，所以無法預(yù)言這一類周期性高階莫爾條紋的存在．

以此類推，理論上，當(dāng)α等于[0,1,a2,a3]甚至[0,1,a2,a3,2]等一系列類似數(shù)值時，莫爾條紋都具有高階的嚴格周期性．當(dāng)然事實上，當(dāng)a2、a3數(shù)值較大時， 2階準(zhǔn)周期往往已經(jīng)滿足f2(α)

3.3 黃金比例莫爾條紋

與上述具有嚴格周期性的莫爾條紋相反，如果一個實數(shù)α的連分數(shù)展開具有無窮階，且各階系數(shù)都很小，說明任意一階的漸進分數(shù)對α的逼近程度都較差，任意一階的非周期程度都較高．其中最典型的是連分數(shù)[0,1,1,…]

(9)

如果式(9)中的第二階系數(shù)略大于1，即連分數(shù):

(10)

其中n為正整數(shù)，可以得到其他一系列與黃金比例密切相關(guān)的無理數(shù)．當(dāng)n不太大時，這些數(shù)字同樣較難用有理數(shù)逼近，各階非周期程度都較高(見圖2中的虛線)，可以想見它們對應(yīng)的莫爾條紋的周期性也較差，我們稱其為黃金比例莫爾條紋．如圖4所示，各φn(n≤3)對應(yīng)的條紋的周期性都不易分辨，只有當(dāng)n繼續(xù)增大，φn距有理數(shù)n/(n+1)的差距逐漸減小，條紋才開始顯現(xiàn)出較為明顯的周期性．正是因為連分數(shù)展開正確地揭示了莫爾條紋“準(zhǔn)周期性”的本質(zhì)，才能準(zhǔn)確地預(yù)言這一系列特殊的無理數(shù)．

4 總結(jié)與展望

本文探討了莫爾條紋的“準(zhǔn)周期”結(jié)構(gòu)與基于連分數(shù)展開的有理數(shù)逼近之間的深刻聯(lián)系．研究發(fā)現(xiàn)，對于兩組周期不等的平行條紋，它們疊加所形成的莫爾條紋具有各階準(zhǔn)周期，并恰好對應(yīng)于兩者周期之比的連分數(shù)的各階漸近分數(shù)；其中，滿足非周期程度低于經(jīng)驗閾值、即條紋重合精度足夠高的最低階漸進分數(shù)，是人眼所觀察到的莫爾條紋．以上對莫爾條紋周期的嚴格定義，可避免過去通用的周期計算表達式在某些特殊情況下的錯誤結(jié)果．此外，基于連分數(shù)的有理逼近性質(zhì)，可以建立起莫爾條紋非周期程度與實數(shù)基本特性之間的映射，從而可以系統(tǒng)性地分析出兩類特殊的莫爾條紋：具有嚴格周期性的莫爾條紋，與各階非周期程度都較大的黃金比例莫爾條紋．最后，我們指出，本文連分數(shù)展開的分析方法對所有周期性時空結(jié)構(gòu)疊加的問題(如拍現(xiàn)象、歷法置潤等)都具有普適意義．

本文主要討論了符合人眼觀察結(jié)果的較為低階的莫爾條紋，而連分數(shù)的各階漸進分數(shù)可以系統(tǒng)性地預(yù)言周期疊加的全部性質(zhì)，從而能幫助探索更高階的準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)在凝聚態(tài)物理、信號處理等方面的潛在應(yīng)用．本文只討論了兩組一維平行條紋的莫爾條紋現(xiàn)象．兩組二維周期性網(wǎng)格能夠疊加產(chǎn)生更為復(fù)雜的莫爾條紋，它們所形成的圖樣也具有類似的近似周期性，所以連分數(shù)展開的分析方法也可以推廣到更高維度的莫爾條紋中．并且，本文給出了一組非周期程度最大的黃金比例莫爾條紋，黃金比例直接對應(yīng)于五重旋轉(zhuǎn)對稱性的特征，(72°=360°/5，cos(72°)=φ/2)，而五重旋轉(zhuǎn)對稱性又是典型的準(zhǔn)晶結(jié)構(gòu)特征．這些巧合暗示著實數(shù)的連分數(shù)表示、莫爾條紋、晶體或準(zhǔn)晶結(jié)構(gòu)、超晶格，這些看似無關(guān)的數(shù)學(xué)、物理概念背后存在著非常深刻的聯(lián)系，并且可能借由最新的轉(zhuǎn)角電子學(xué)(Twistronics)的相關(guān)研究揭示出來[13, 14]．