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        半球面上的電荷量有多大?

        2021-09-16 12:57:46邱為鋼
        大學(xué)物理 2021年9期
        關(guān)鍵詞:伽瑪展開式球面

        邱為鋼

        (湖州師范學(xué)院 公共教研部,浙江 湖州 313000)

        《電動力學(xué)題解》(第2版)[1]中有這樣一道經(jīng)典的求電勢分布的題目(編號2-24),在半徑為R的球面上,兩半球面都是等勢面,且電勢互為相反數(shù),求球內(nèi)外空間各點(diǎn)的電勢.文獻(xiàn)[1]給出了電勢的具體表達(dá)式,但是沒有進(jìn)一步求球面上的電荷密度和半球面上的電量.本文想回答這個(gè)問題,這個(gè)有限面積球面上的電量到底有多大?

        1 全空間電勢的求解

        先簡要推導(dǎo)電勢的求解,具體細(xì)節(jié)可參考文獻(xiàn)[1,2].由于體系的對稱性,可以直接寫出球內(nèi)外的電勢的表達(dá)式:

        (1)

        (2)

        這種電勢的表達(dá)式滿足拉普拉斯方程,且在球面上連續(xù),滿足電勢在球面內(nèi)外的連續(xù)條件.在球面上有

        (3)

        利用勒讓德函數(shù)的正交性,得到展開系數(shù)Cl的積分表達(dá)式

        (4)

        其中l(wèi)為奇數(shù),文獻(xiàn)[1]給出奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)表達(dá)式為

        (5)

        2 半球面上電荷量計(jì)算

        從電勢的勒讓德函數(shù)求和表達(dá)式(1)和(2),得到球內(nèi)外兩側(cè)電場徑向分量的表示:

        (6)

        (7)

        由高斯定理,球面的電荷密度等于這兩者之差再乘以真空介電常數(shù),即

        (8)

        對半球面積分,就得到電荷的表達(dá)式

        (9)

        把式(8)和式(4)代入式(9),做變量代換x=cosθ,計(jì)算得到

        (10)

        再利用式(4),得到半球面上電荷量的無窮求和式

        (11)

        這個(gè)無窮求和沒有解析表達(dá)式,雖然有可能有多重積分表達(dá)式(便于數(shù)值計(jì)算).先看一下這個(gè)無窮求和是收斂還是發(fā)散,需要確定當(dāng)n趨向無窮大時(shí),系數(shù)C2n+1的漸近展開式.首先把(5)式中的雙階乘表示為以下連乘形式:

        (12)

        然后利用伽瑪函數(shù)比值的乘積公式:

        (13)

        得到系數(shù)絕對值的表達(dá)式:

        (14)

        由對數(shù)伽瑪函數(shù)的漸近展開式[3]:

        計(jì)算得到

        再利用以下漸近展開式:

        得到系數(shù)絕對值式(14)對數(shù)的漸近展開式:

        由此得到電荷求和表達(dá)式(11)中的通項(xiàng)有這樣的漸近展開式:

        (15)

        由高等數(shù)學(xué)中數(shù)列斂散判斷法則,式(11)中無窮求和是發(fā)散的,即半球面上的電荷量是無窮大.

        3 結(jié)論

        為了維持兩個(gè)半球面上相反且有限大小的電勢,不僅兩個(gè)半球面相互要絕緣,理論上必須給半球面輸入無窮大的電量,這是不可能實(shí)現(xiàn)的.但是球面上總的電荷量為零,所以需要一個(gè)可以無限能量供應(yīng)的精靈,在赤道上隨時(shí)抽出大小相等符號相反的電荷,分到兩個(gè)絕緣的半球面上,無限長時(shí)間后,才能達(dá)到兩個(gè)半球面分別等勢.

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