夏崢嶸，李榮青，童 悅， 徐小雪

(淮南師范學(xué)院 物理系 安徽 淮南 232038)

兩個(gè)頻率相差不大、振動(dòng)方向相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)在空間疊加時(shí)，合振動(dòng)的振幅隨時(shí)間作周期性變化，這一現(xiàn)象稱為“拍”現(xiàn)象. 如： 兩個(gè)固有頻率相差不大的音叉發(fā)出的聲波進(jìn)行疊加時(shí)，會(huì)聽到“嗡嗡”的聲音，就是聲音產(chǎn)生的“拍”現(xiàn)象. “拍”現(xiàn)象被廣泛應(yīng)用于光學(xué)測(cè)量[1-2]、傳感技術(shù)[3-4]和機(jī)械動(dòng)力系統(tǒng)[5]等領(lǐng)域,理解“拍”現(xiàn)象的形成原因和特點(diǎn)有利于加深學(xué)習(xí)者對(duì)其本質(zhì)的認(rèn)識(shí).近年來(lái)，對(duì)“拍”現(xiàn)象教學(xué)研究主要集中在 “拍”現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)展示[6-8]和合振動(dòng)包絡(luò)曲線為零處前后半振動(dòng)損失討論[9-11]兩個(gè)方面.在此研究基礎(chǔ)上，本文針對(duì)“拍”現(xiàn)象這一教學(xué)內(nèi)容，運(yùn)用旋轉(zhuǎn)矢量圖[12,13]的優(yōu)點(diǎn)，直觀形象地分析 “拍”現(xiàn)象振動(dòng)規(guī)律的構(gòu)建過(guò)程，解釋拍現(xiàn)象中振幅變化特點(diǎn)及相位突變的形成原因.這種分析方法能直觀呈現(xiàn) “拍”現(xiàn)象的物理特點(diǎn)，幫助學(xué)習(xí)者深刻理解“拍”現(xiàn)象的本質(zhì)，有效提高課堂教學(xué)效果.

1 “拍”現(xiàn)象的一般教學(xué)方法

現(xiàn)設(shè)兩個(gè)振動(dòng)方向相同，頻率相差不大的簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程分別為

x1=A1cos (ω1t+φ10)

(1)

x2=A2cos (ω2t+φ20)

(2)

其中A1、A2分別為兩個(gè)分振動(dòng)的振幅，ω1、ω2為兩個(gè)分振動(dòng)的頻率，φ10、φ20分別為兩個(gè)分振動(dòng)的初相.為研究問(wèn)題的方便，設(shè)振幅A1=A2=A0，初位相φ10=φ20=φ0，且ω1>ω2.根據(jù)三角函數(shù)運(yùn)算法則可知兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)疊加形成的合振動(dòng)為

(3)

這種合振動(dòng)的振幅不再是一恒定值，而隨時(shí)間作周期性變化的現(xiàn)象，稱之為“拍”現(xiàn)象.其振幅變化規(guī)律為：

(4)

(5)

(6)

通過(guò)三角函數(shù)的運(yùn)算能從理論上簡(jiǎn)潔地獲得 “拍”現(xiàn)象的變化規(guī)律，但是對(duì)“拍”現(xiàn)象的形成過(guò)程機(jī)制缺少直觀形象的展示和分析，學(xué)生對(duì)“拍”現(xiàn)象的認(rèn)知局限在抽象的理論公式層面，缺少對(duì)其變化規(guī)律及其本質(zhì)的深刻理解.而旋轉(zhuǎn)矢量圖示法因其直觀、形象的特點(diǎn)被廣泛地應(yīng)用于機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波的教學(xué)研究中.下面我們將通過(guò)旋轉(zhuǎn)矢量圖示法具體直觀地呈現(xiàn)“拍”現(xiàn)象的形成過(guò)程，從而加深對(duì)“拍”現(xiàn)象中變化規(guī)律的深刻認(rèn)識(shí).

2 “拍”現(xiàn)象的直觀教學(xué)方法

2.1 旋轉(zhuǎn)矢量圖示法

如圖1所示，畫坐標(biāo)軸OX，從原點(diǎn)O點(diǎn)作一矢量A(稱為振幅矢量)，矢量的長(zhǎng)度等于振幅A，矢量初始與Ox軸之間的夾角為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的初相φ0.然后使得振幅矢量A在平面內(nèi)以等于圓頻率w的角速度繞O點(diǎn)逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，經(jīng)過(guò)t時(shí)間振幅矢量轉(zhuǎn)過(guò)wt的角度，與Ox軸之間的夾角為(ωt+φ0)，此時(shí)的夾角即為簡(jiǎn)諧振動(dòng)在t時(shí)刻的相位.那么振幅矢量A的端點(diǎn)在Ox軸上投影點(diǎn)的位移恰好為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移，即

x=Acos (ωt+φ0)

(7)

故振幅矢量A任一時(shí)刻在x軸上的投影恰好描述了一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng).

圖1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖表示法

2.2 “拍”現(xiàn)象的旋轉(zhuǎn)矢量圖示法

在簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖示法中，式(1)、(2)中兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅矢量A1和A2分別以角速度ω1和ω2繞O點(diǎn)逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖2所示.由于兩個(gè)分振動(dòng)的角速度不同，導(dǎo)致兩個(gè)分振動(dòng)的振幅矢量A1和A2之間的相對(duì)位置(即Δφ)隨時(shí)間周期性變化，合振動(dòng)的振幅矢量大小也將隨時(shí)間作周期性變化，即形成“拍”現(xiàn)象.下面我們將以一個(gè)周期為例探討論“拍”現(xiàn)象中各物理量的變化規(guī)律.

圖2 “拍”現(xiàn)象形成的旋轉(zhuǎn)矢量圖

2.2.1 “拍”現(xiàn)象中合振幅的變化規(guī)律

初始時(shí)刻分振幅矢量之間的夾角Δφ為0，故此時(shí)合振幅A最大，為2A0；隨著時(shí)間的增大，分振幅矢量之間的夾角Δφ逐漸增大，合振幅逐漸減??；直至兩分振幅矢量之間的夾角Δφ為π時(shí)，合振幅A減至最小值0.同理，當(dāng)分振幅矢量之間的夾角Δφ從π逐漸增大到2π時(shí)，其合振幅A又從0逐漸增大為2A0，此時(shí)振幅矢量完成了一個(gè)周期內(nèi)的變化.

根據(jù)矢量合成法則，對(duì)矢量A1與A2進(jìn)行矢量疊加，容易導(dǎo)出合振動(dòng)的振幅矢量A的變化規(guī)律和式(4)相同，這里不再贅述.

2.2.2 “拍”現(xiàn)象的周期和頻率

振幅矢量A2相對(duì)A1以ω2-ω1角速度逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，其相對(duì)位置是周期性變化的，導(dǎo)致合振幅矢量的大小也呈周期性變化的規(guī)律，其相對(duì)位置變化的周期即為合振幅變化的周期，如圖2所示.根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可知振幅矢量A2相對(duì)于A1旋轉(zhuǎn)一周需要的時(shí)間，即

根據(jù)周期和頻率的關(guān)系即可得到拍頻率，形如式(6).

3 “拍”現(xiàn)象中相位突變的討論

根據(jù)旋轉(zhuǎn)矢量圖知當(dāng)兩分振幅矢量的夾角Δφ=π時(shí)，其合振幅為0.而當(dāng)Δφ=π-δ(δ→0)時(shí)，其合振動(dòng)的相位在圖3(a)中標(biāo)注的位置，其相位為

(8)

當(dāng)Δφ=π+δ時(shí)，其合振動(dòng)的相位在圖3(b)中標(biāo)注的位置，其相位為

(9)

故在合振幅A=0前后，“拍”現(xiàn)象中合振幅矢量的相位發(fā)生了π的相位突變，相位突變?cè)谝欢l件下會(huì)給合振動(dòng)振幅矢量帶來(lái)半振動(dòng)損失[6-8].

圖3 “拍”現(xiàn)象中合振幅矢量的相位突變

當(dāng)然，根據(jù)旋轉(zhuǎn)矢量圖示的振幅和相位變化規(guī)律，很容易獲得“拍”現(xiàn)象的運(yùn)動(dòng)方程式(3)，這里不再詳述.

4 結(jié)束語(yǔ)

本文利用旋轉(zhuǎn)矢量的方法，借助幾何圖形直觀形象地呈現(xiàn)了“拍”現(xiàn)象中振幅變化的原因和規(guī)律，同時(shí)利用旋轉(zhuǎn)矢量圖清晰地展示了“拍”現(xiàn)象的周期、頻率及形成過(guò)程中相位變化的特點(diǎn)及相位突變的原因.這種方法在一定程度上有助于學(xué)生形成“拍”模型的清晰表象，讓學(xué)習(xí)者不僅掌握“拍”現(xiàn)象的變化規(guī)律，更能理解形成這些規(guī)律的本質(zhì)原因，從而加深對(duì)“拍”現(xiàn)象相關(guān)知識(shí)的理解和認(rèn)識(shí)，留下深刻永久的知識(shí)圖像.