鮑聰曉 董曉怡

摘? 要：數(shù)學專題教學設計，既要關注主題內(nèi)容的本質(zhì)，又要關注學生的能力基礎. 從基礎出發(fā)，可以讓學生輕松切入研究主題，引導學生低起點、小步子、層層深入地進行研究，使學生自然地發(fā)現(xiàn)方法、獲得經(jīng)驗、運用經(jīng)驗. 通過由淺入深地實施專題教學，激發(fā)學生的深度思考，促進學生調(diào)動經(jīng)驗有效解決問題，提升學生的數(shù)學素養(yǎng).

關鍵詞：專題教學;數(shù)學思想方法;深化思維;軸對稱

在教學中，教師常設計專題課來加強學生對知識或方法的深度理解與靈活應用. 專題教學不僅有利于學生歸納、概括出知識綜合應用的范圍，還有利于學生歸納出同類問題的解題規(guī)律與方法，在提升學生分析問題和解決問題能力方面有著不可替代的作用.

在教學中，很多教師以關注知識或方法的綜合運用范圍來設計專題，這種設計方式對知識的應用關注較高，也強調(diào)了對數(shù)學思想方法的運用，但卻缺乏深層次的挖掘，欠缺細化思維的引導，缺乏深化思維的思想方法運用經(jīng)驗，往往使專題課變成相關問題的堆積，教學淺嘗輒止，最終學生的學習仍然只停留在對所考查知識的認識層面，知道解題運用了哪些知識方法，涉及了哪些數(shù)學思想，僅此而已. 專題教學要以相關知識為載體，在知識層面夯實根基，在應用方面深挖數(shù)學思想，在思維層面拓展數(shù)學思維角度與思維深度，在數(shù)學思想層面引領學生探尋怎么思、怎么想，怎么運用數(shù)學思想. 讓學生在專題研究中深度思考，探尋思維路徑，深化思維方法，對學生獲得經(jīng)驗起著重要作用，直接影響著學生數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展. 下面筆者以“軸對稱的應用”專題教學為例，將自己的思考整理如下.

一、梳理教學環(huán)節(jié)，認識設計價值

1. 關注生活情境，夯實基礎知識

情境引入：呈現(xiàn)生活情境，播放折疊剪紙動畫.

師：在剛才的視頻中，你發(fā)現(xiàn)了哪種圖形變換？

生：軸對稱.

師：大家回憶一下軸對稱的相關知識.

通過學生的回答與補充，教師有條理地整理出軸對稱的相關概念和軸對稱的性質(zhì). 軸對稱的性質(zhì)主要有：成軸對稱的兩個圖形全等（延伸出“對應邊相等，對應角相等”）;軸對稱圖形對應點所連線段被對稱軸垂直平分;對稱軸上的任意一點到對應點的距離相等;對應線段或對應線段所在的直線如果相交，那么交點一定在對稱軸上，且對稱軸所在的直線平分它們所夾的角.

【評析】通過設計知識應用情境，有效調(diào)動學生回顧復習相關知識. 通過生活化的動畫直觀感知，引導學生回憶相關的圖形變換，結合圖形直觀，助力學生回顧軸對稱的性質(zhì)，讓學生從感性認識上升到理性認識. 這樣的引入生動自然、直觀明了，容易引發(fā)學生思考相關知識，調(diào)動已有經(jīng)驗，實現(xiàn)知識和經(jīng)驗的疊加，進一步夯實基礎知識，激發(fā)學生的學習興趣.

2. 強調(diào)思想方法，理清思維路徑

類型1：軸對稱性在路徑最短問題中的應用.

例1? 唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題：如圖1，將軍在觀望烽火之后從山腳下的A地出發(fā)，走到一條筆直的河流邊l飲馬后再到B地宿營. 試問怎樣走才能使總路程最短？

[山峰A][營地B][河流l][圖1]

生1：如圖2，作點A關于直線l的對稱點[A，] 連接[AB]交直線l于點P，沿線段AP，PB走才能使總路程最短.

[山峰A][營地B][河流l][圖2] [P]

師：為什么？

生2：如圖3，在直線l上任取異于點P的一點[P，] 連接[AP，AP，BP.] 由軸對稱的性質(zhì)，得[AP=AP，] [AP=AP.] 在[△APB]中，因為[AP+BP>AP+BP]，所以[AP+][BP>AP+BP.] 所以[AP+BP]最短.

[山峰A][營地B][河流l][圖3] [P]

師：解決這個問題的關鍵是什么？

生3：關鍵是運用軸對稱的性質(zhì)，將點A，點B在直線l同側轉化為兩點分別在直線l異側.

【評析】通過有趣的問題情境，引導學生將實際問題抽象為數(shù)學問題，運用軸對稱的思想方法將新問題轉化為應用已經(jīng)學過的知識解決問題. 從教材上的基礎應用出發(fā)，學生很容易調(diào)動已有經(jīng)驗解決問題，避免了“尷尬”地告訴學生答案，把教學重點落在“使學生能夠數(shù)學地思考”上. 通過學生思維過程的展示，讓學生體會軸對稱思想和轉化思想，既培養(yǎng)了學生分析問題和解決問題的能力，又為下面復雜問題的解決做出鋪墊.

3. 開闊思維角度，豐富思維經(jīng)驗

類型2：軸對稱性在函數(shù)問題中的應用.

例2? 已知拋物線[y=-x2+bx+4]經(jīng)過[-2，n]和[4，n]兩點，則n的值為（? ? ）.

（A）[-2] （B）[-4]

（C）2 （D）4

師：如何解決這個問題？

生4：將[-2，n]和[4，n]兩點的坐標代入拋物線的解析式，聯(lián)立方程組，解方程組即可.

師：我們知道二次函數(shù)的圖象是軸對稱圖形，還有其他解決方法嗎？

生5：易知點[-2，n]和[4，n]關于對稱軸對稱，所以[-b2 ? -1=-2+42.] 解得[b=2.] 所以[y=-x2+2x+4.]

將點[-2，n]代入拋物線的解析式，解得[n=-4.]

教師引導學生總結方法：此題既可以用方程思想解決，也可以結合二次函數(shù)的圖象特征，運用數(shù)形結合思想進行思考. 拓寬解題思路，實現(xiàn)一題多解.

【評析】此題是將軸對稱性質(zhì)與平面直角坐標系的坐標特征相結合，若學生不善于運用數(shù)形結合思想方法思考問題，就會選用代數(shù)方法通過聯(lián)立方程組解決問題. 教師通過追問，引導學生運用數(shù)形結合思想進行思考，結合函數(shù)圖象特征及坐標特征探尋不同解法，這有利于學生在思維碰撞與沖突中拓寬思維，發(fā)展直觀想象素養(yǎng). 最后，教師及時引導學生總結方法，理順思維，有利于學生形成經(jīng)驗.

例3? 如圖4，一次函數(shù)[y=][-x+b]與反比例函數(shù)[y=kx x>0]的圖象交于點[Am，3]和[B3，1.] 點P是線段AB上一動點，過點P作[PD⊥Ox]于點D，連接OP，若[△POD]的面積為S，則S的取值范圍是? ? ? .

師：請同學們自主探究，然后交流展示.

生6：由點[B3，1，] 易求得一次函數(shù)與反比例函數(shù)表達式分別為[y=-x+4，y=3x x>0.] 所以點[A1，3].

設點[Px，-x+4 1≤x≤3.] 則[S=12x-x+4=-12x2+][2x]. 當[x=2]時，S取得最大值2;當[x=1]或[x=3]時，S取得最小值[32.] 所以[32≤S≤2.]

師：觀察圖形，當點P運動到何處時，[△POD]的面積S取得最值？

生7：當點P運動到線段AB的中點時，[△POD]的面積S取得最大值;當點P與點A或點B重合時，[△POD]的面積S取得最小值.

師：結合圖形思考，你發(fā)現(xiàn)了什么？

學生小組討論后展示.

生8：圖中直線和雙曲線都關于直線[y=x]對稱，且根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義知，點P與點A或點B重合時，[S△POD=k2=32]. 又因為[S△POD]是關于x的二次函數(shù)，它的圖象也是軸對稱圖形，從軸對稱的角度分析可知，當點P運動到線段AB的中點時，[△POD]的面積[S]取到最值，即當[x=2]時，[S最大值=12×2×2=][2]. 所以[32≤S≤2.]

師：反思這兩種解題思路，談談你的收獲.

生9：第一種方法是有條理的邏輯思維方法;第二種方法是數(shù)形結合，觀察圖形特征進行探究，不僅形象、直觀，而且能快速得到結論.

師：數(shù)形結合思想對于我們解決問題有著重要的意義，借助圖形的幾何直觀，運用對稱思想引領思維，可以開闊我們的思維角度.

【評析】二次函數(shù)、一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都具有軸對稱性，運用數(shù)形結合思想，從軸對稱的角度分析可以更加快速地解決問題，也能使學生對函數(shù)圖象的對稱性有更加深刻的理解. 學生在層層深入的問題解法探索過程中獲得思維方法，逐漸形成思維經(jīng)驗. 教師的追問意在使研究進一步深入，逐步培養(yǎng)學生的幾何直觀素養(yǎng). 合作交流的方式可以讓學生之間相互借鑒，體驗一題多解，從而培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維. 教師引導學生反思，可以促使學生豐富學習經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學素養(yǎng).

4. 適當聯(lián)系拓展，實現(xiàn)思維深化

類型3：軸對稱性在折疊問題中的應用.

例4? 在[△ABC]中，[∠C=90°，] [AC=BC=][62]，D是邊AB上的一點，將[∠B]沿著過點D的直線折疊，使點B落在邊AC上的點P處（不與點A，C重合）.

（1）如圖5，過點D作[DH⊥AC]于點H，若[AD=7.]

① 尺規(guī)作圖：在圖中作出點P;

② 求DH和AP的長.

（2）若[AD=a]時，存在兩次不同的折疊，使點B落在邊AC上兩個不同的位置，試直接寫出a的取值范圍.

[A][B][C][D][H][圖5]

師：如何作出點P？

生10：如圖6，由軸對稱的性質(zhì)，得[PD=BD.] 所以以點D為圓心、BD長為半徑畫弧，與AC的交點即為點P.

[A][B][C][D][H][圖6]

師：如何求DH和AP的長？

生11：如圖7，連接[P1D]. 因為[AC=BC=62，][∠C=90°，] 所以[AB=12.] 因為[AD=7，] 所以[P1D=BD=][5.] 因為[DH⊥AC]于點H，所以[DH∥BC.] 所以[DHBC=][ADAB，] 即[DH62=712.] 解得[DH=722.] 在[Rt△P1DH]中，[P1H=P1D2-DH2=22.] 因為[AH=DH=722，] 所以[AP1=AH+P1H=722+22=42.] 由圓的對稱性，得[P1H=][P2H.] 所以[AP2=AH-P1H=32].

[A][B][C][D][H][圖7]

師：如何求a的取值范圍呢？

生12：a的取值范圍為[6<a<24-122]. 因為點[P1]與點[P2]關于[DH]對稱，所以只需考慮AC與[⊙]D相切時，即點[P1，P2]都與點H重合，及圓的半徑等于直角三角形斜邊長的一半時，即點[P1，P2]分別與點A，C重合兩種特殊位置即可.

【評析】抽象的折疊問題使軸對稱的應用進一步深入. 學生在不能直觀看到折疊圖形的情況下，需要調(diào)動已有經(jīng)驗，通過直觀想象，運用軸對稱的性質(zhì)分析和解決問題. 此題通過設計尺規(guī)作圖，使學生的思維得以細化，加深了對軸對稱本質(zhì)的理解，進而促使學生發(fā)現(xiàn)所作出圖形的軸對稱特征，優(yōu)化思維，減少計算. 整體設計從特殊情況的研究拓展到一般情況的折疊，符合學生的認知規(guī)律，有利于學生在研究中體會從特殊到一般的思想方法，進而靈活運用分類及對稱的思想方法解決問題，實現(xiàn)思維深化.

5. 及時歸納總結，實現(xiàn)智慧升華

師：試結合下面的問題對本節(jié)課進行總結交流.

（1）本節(jié)課重點研究了哪些問題？它們之間有什么關系？（知識聯(lián)系）

（2）在解決問題的過程中運用了哪些思想方法？（思想方法）

（3）你收獲了哪些經(jīng)驗？（經(jīng)驗素養(yǎng)）

【評析】在一節(jié)課即將結束之際，教師通過問題引導學生從知識聯(lián)系、思想方法、經(jīng)驗獲得、素養(yǎng)發(fā)展等方面進行歸納總結，意在讓學生對本節(jié)課的學習有一個更清晰、更系統(tǒng)的認識. 本節(jié)課由淺入深的問題設計，使學生發(fā)現(xiàn)方法、獲得經(jīng)驗、運用經(jīng)驗變得更加自然，活躍了學生的思維，激發(fā)了學生的求知欲望，增強了學生的學習信心，從精神上和能力上為學生的進一步學習打下了基礎.

二、反思教學過程，提煉教學理念

1. 關注認知基礎，探尋思維起點

專題課的設計要關注學生的認知基礎和思維起點. 教師充分認識學生已有的數(shù)學知識和經(jīng)驗是確定教學出發(fā)點的依據(jù). 把握學生要掌握的知識和經(jīng)驗與已有認知基礎的“距離”是教師進行有效教學設計的依據(jù). 本節(jié)課從學生具備的“知識根基”出發(fā)，選取研究問題的“出發(fā)點”，從簡單到復雜，層層深入地呈現(xiàn)問題. 設計的4道例題由基礎到綜合，讓學生經(jīng)歷由淺入深解決問題的過程，使學生的思維從起點生發(fā)到逐漸深化變得自然，有“柳暗花明又一村”之妙.

2. 凸顯學生思維，助力能力提升

通過問題逐步延伸，促使學生思維不斷深化. 本節(jié)課，在4道例題的解決中，教師對學生不同的思考方法有不同的預設，并且通過追問引導學生說出思維角度和思維過程，促進學生思維更加靈活與深刻. 問題解決后學習活動仍然在延伸，教師引導學生歸納反思，有利于學生認識思維過程，理清思維路徑，形成思維經(jīng)驗. 通過思維的凸顯，使學生對知識有更深刻的理解，對知識的應用有更清晰的認識，增強了遷移思維能力，提高了學生解決問題的能力.

3. 關注思想方法，發(fā)展數(shù)學素養(yǎng)

數(shù)學思想方法是對數(shù)學理論和本質(zhì)內(nèi)容的升華，是數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展的根本，是數(shù)學知識在更高層次上的概括而形成的數(shù)學觀點. 在解題教學中滲透數(shù)學思想方法是對數(shù)學本質(zhì)認識的表現(xiàn)，是學生體驗思維一般化和程序化的有效途徑. 教學中，教師引導學生運用思想方法探究問題，能使學生更準確地獲取思考方向，更有效地理解問題情境，探尋解題辦法. 在所學思想方法引領下的問題解決會讓學生獲得思維程序化的體驗與經(jīng)驗，有利于發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng).

參考文獻：

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