摘? ?要：用常規(guī)繪制一維方向上電勢分布圖的教學(xué)方法來復(fù)習(xí)電勢，學(xué)生難以理解還會忽略電勢是在整個空間分布的。利用GeoGebra的3D繪圖功能，繪圖過程中使學(xué)生認(rèn)識到標(biāo)度的重要性、了解物理問題要聯(lián)系實(shí)際，觀察繪制出圖象知道電勢分布的立體性，觀察兩個點(diǎn)電荷產(chǎn)生電勢疊加后在空間的分布情況，知道等量同種電荷、等量異種電荷在電荷連線及電荷連線中垂線上的電勢分布情況。

關(guān)鍵詞：GeoGebra;物理教學(xué);電勢

隨著網(wǎng)絡(luò)、電子產(chǎn)品的普及，學(xué)生接收信息的渠道變寬，知識面變廣，學(xué)生已不再愿意完全被動接受老師所給的信息，他們更愿意自己動手實(shí)踐得出結(jié)論。 這就要求教師改傳統(tǒng)的傳授型的教學(xué)方式，使用更多樣的教學(xué)方式讓學(xué)生參與到教學(xué)中來。課堂上借助計(jì)算機(jī)的演算功能讓學(xué)生自己繪制圖象、演算物理過程，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生各方面的能力和素養(yǎng)。GeoGebra是由美國佛羅里達(dá)州亞特蘭大學(xué)的數(shù)學(xué)教授Markus Hohenwarter所設(shè)計(jì)的一款免費(fèi)軟件[ 1 ]，有電腦版、網(wǎng)頁版和手機(jī)版三種版本，界面簡潔、功能強(qiáng)大，可以很好地應(yīng)用于數(shù)、理教學(xué)。在此以高三第一輪“電勢”的復(fù)習(xí)為例，介紹如何利用GeoGebra進(jìn)行物理教學(xué)。

1? 課前分析

南京師范大學(xué)蘇州實(shí)驗(yàn)學(xué)校陸光華老師認(rèn)為，高中物理教學(xué)需要整體統(tǒng)籌，新課與復(fù)習(xí)課的任務(wù)不同，高三第一輪復(fù)習(xí)教師要引導(dǎo)學(xué)生從不同角度理解所學(xué)知識并能靈活應(yīng)用[ 2 ]。高三第一輪“電勢”的復(fù)習(xí)要使學(xué)生對電勢為標(biāo)量有深的了解，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)表達(dá)式與空間具體分布兩個角度總結(jié)出等量同種電荷及等量異種電荷構(gòu)成的電勢的特點(diǎn)，從而推廣到更一般情況下的電勢分布。電勢是高中物理靜電場的重要組成部分，高考試題中經(jīng)?？嫉诫妱荩瑑H2020年高考中浙江卷第8題、山東卷第10題、江蘇卷第9題、北京卷第7題、全國Ⅱ卷第4題、全國Ⅲ卷第8題都考到了電勢，這些題目從各個不同角度考查學(xué)生對電勢的理解，這要求學(xué)生不僅要掌握知識點(diǎn)，更要學(xué)會用相關(guān)知識解決問題。

電場是客觀存在的物質(zhì)，卻看不見、摸不著，對很大一部分學(xué)生來說理解都有些困難，更何況靈活應(yīng)用。在以往的復(fù)習(xí)過程中，經(jīng)常將電場與重力場進(jìn)行類比——電場強(qiáng)度與重力加速度類比、電勢與地勢類比，對大部分高三的學(xué)生來說在概念層面是能夠接受的，但是要應(yīng)用就有些困難了，尤其電勢的圖象問題。許多老師在復(fù)習(xí)電勢圖象時(shí)從簡單到復(fù)雜：單個點(diǎn)電荷電勢隨位置變化→單個點(diǎn)電荷周圍的等差等勢面→等量同種電荷與等量異種電荷在點(diǎn)電荷連線上→兩個點(diǎn)電荷中垂線上電勢隨位置變化，采用都是定性分析的辦法得出大致圖象如圖1[ 3 ]。通過這個方法進(jìn)行教學(xué)，繪制出一維空間上大致的電勢分布圖，能使學(xué)生了解以為的電勢分布情況但卻忽略電勢是在空間分布的，對電荷量的大小也沒有概念，不知道電荷量多少比較符合實(shí)際。

如圖1（3）、圖1（4）為等量同種電荷在不同方向上的電勢分布圖，用常規(guī)的教學(xué)方法進(jìn)行分析，學(xué)生的空間想象能力不足，不能理解不同位置電勢分布圖為何不同。通過繪制3D圖象可以讓學(xué)生直觀觀察電勢在二維平面的分布，圖象與平面的交線學(xué)生可以得到不同方向上的電勢分布圖，GeoGebra繪制的圖象能夠隨意改變坐標(biāo)的標(biāo)度，學(xué)生觀察不同標(biāo)度時(shí)對應(yīng)的圖形，提高實(shí)驗(yàn)繪圖及審題時(shí)對標(biāo)度的敏感程度。

2? 教學(xué)過程

2.1? 基礎(chǔ)知識回顧

回顧電勢的定義，推導(dǎo)得出勻強(qiáng)電場中的A、B兩點(diǎn)，取B點(diǎn)電勢為零，則A電勢為φA=EdAB： （dAB為AB兩點(diǎn)沿電場線的距離），由推導(dǎo)過程可知電勢為標(biāo)量，空間各點(diǎn)的電勢可以認(rèn)為是各個場源產(chǎn)生電勢的代數(shù)和。在學(xué)生沒有學(xué)習(xí)微積分的情況下將“電荷q從A點(diǎn)到無窮遠(yuǎn)的過程中電場力作用為，rA為A點(diǎn)到場源Q的距離，r為無窮遠(yuǎn)到場源Q的距離”當(dāng)做已知條件，以無窮遠(yuǎn)處電勢為零，讓學(xué)生根據(jù)定義求A點(diǎn)的電勢，得φA=，Q為場源電荷量，q為試探電荷，rA為A點(diǎn)到場源的距離。由于電勢為標(biāo)量，多個點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢為各個點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和φA=++…+，經(jīng)過推導(dǎo)過程學(xué)生對電勢疊加的數(shù)學(xué)表達(dá)有一定了解。

2.2? 利用GeoGebra的繪圖功能進(jìn)行教學(xué)

2.2.1? 繪制點(diǎn)電荷在一維空間的電勢分布

學(xué)生根據(jù)操作要求輸入函數(shù)：φ（x）==，Q為電荷量，用|x|代表到點(diǎn)電荷的距離，很大一部分學(xué)生在輸入函數(shù)后并沒有出現(xiàn)圖象，經(jīng)過一番討論后學(xué)生很快就會發(fā)現(xiàn)是因?yàn)闃?biāo)度選擇不當(dāng)導(dǎo)致圖象不在視域內(nèi)，選擇“適應(yīng)窗口”，標(biāo)度從1 V變成0.5×1010 V后就可以看到圖象。通過這個過程培養(yǎng)學(xué)生的交流溝通能力，同時(shí)強(qiáng)調(diào)適當(dāng)標(biāo)度的重要性，選擇不合適的標(biāo)度會導(dǎo)致誤差增大甚至看不到圖象。提醒學(xué)生在繪圖時(shí)要選擇合適標(biāo)度，讀題時(shí)注意橫縱坐標(biāo)的標(biāo)度及單位。

觀察圖象，部分學(xué)生會質(zhì)疑圖象中這種情況真實(shí)存在的可能性，如圖2（1），圖中相距1 m的A、B兩點(diǎn)的電勢差接近1010 V。在此之前學(xué)生對庫侖這個單位沒有什么直觀的感受，通過Geogebra繪制出的圖象可以知道1 C很大。為了符合實(shí)際，將電荷量設(shè)為Q=5.0×10-10 C。

對于常見的單位學(xué)生有比較直觀的了解如：1 kg大概多重、1 m大概多遠(yuǎn)，但是對于1 C具體多大學(xué)生沒有概念，經(jīng)過對這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以知道距帶電量1 C的點(diǎn)電荷0.6 m到1.6 m間的最大電勢差可達(dá)1010 V（遠(yuǎn)大于1000 KV的特高電壓），經(jīng)過這個過程培養(yǎng)學(xué)生將物理學(xué)與實(shí)際相聯(lián)系的意識。

2.2.2? 繪制點(diǎn)電荷在二維空間的電勢分布

一維空間點(diǎn)電荷的電勢分布，學(xué)生通過數(shù)學(xué)表達(dá)式知道正點(diǎn)電荷周圍電勢與其到點(diǎn)電荷距離成反比，學(xué)生可以畫出定性的反比例函數(shù)圖象，橫坐標(biāo)為一維空間，縱坐標(biāo)為電勢，課本及參考書所繪制的圖象基本也是一維空間的電勢分布圖，導(dǎo)致很多學(xué)生對電勢和電場分布的空間認(rèn)識不足。如：電子以某一速度進(jìn)入下列電場，在只受電場力的作用下做勻速圓周運(yùn)動，則該電場可能是（? ?）

A.正點(diǎn)電荷形成的電場

B.負(fù)點(diǎn)電荷形成的電場

C.兩個等量正點(diǎn)電荷形成的電場

D.兩個等量異種點(diǎn)電荷形成的電場

大部分學(xué)生只選擇A，對于選項(xiàng)D，很大一部分學(xué)生不能理解，其主要原因是對電勢和電場空間分布認(rèn)識不足。

通過繪制二維空間電勢的分布圖，可以讓學(xué)生很直觀得出二維空間內(nèi)電勢分布的特點(diǎn)尤其需要關(guān)注兩個點(diǎn)電荷連線上及中垂線上電勢分布情況，同時(shí)也為想象三維空間電勢分布提供幫助。

先在函數(shù)欄輸入函數(shù)φ（x，y）=，Q為電荷量設(shè)為5.0×10-10 C，代表到點(diǎn)電荷的距離，打開3D繪圖區(qū)可以看到當(dāng)個點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢分布圖，繪制過程如圖2（2）。

2.2.3? 繪制等量同種電荷、等量異種電荷在二維空間的電勢分布

在對基礎(chǔ)知識的回顧過程中已經(jīng)強(qiáng)調(diào)電勢為標(biāo)量，空間的電勢分布可以認(rèn)為是多個場源在空間產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和，在這一步的操作中學(xué)生很快能意識到將兩個點(diǎn)電荷產(chǎn)生電勢的函數(shù)相加就可以繪制出兩個等量同種電荷與等量異種電荷在二維空間的電勢分布圖。

本節(jié)的重、難點(diǎn)是分析等量同種電荷、等量異種電荷在電荷連線及電荷連線中垂線上的電勢變化情況，為了更好地觀察，構(gòu)建x-z平面與y-z平面，電勢分布圖與x-z平面的交線為兩個點(diǎn)電荷連線上的電勢曲線，電勢分布圖與y-z平面的交線為兩個點(diǎn)電荷中垂線上的電勢曲線，圖3（3）、圖4（3）分別為等量同種電荷與等量異種電荷的電勢分布圖，經(jīng)過圖象分析電勢分布情況并總結(jié)出規(guī)律。從而突破了本節(jié)的重點(diǎn)，解決了難點(diǎn)。

為了更好地觀察電勢分布特點(diǎn)可以設(shè)置面與電勢分布圖的交線，如圖3（4）為等量同種電荷的電勢分布圖象，圖4（4）等量異種電荷的電勢分布圖象。旋轉(zhuǎn)視角，逆著z軸方向觀察等差等勢線可以觀察到等量電荷的等差等勢線在二維空間的分布情況，從而對等差等勢面有更深的印象。

3? 總結(jié)

學(xué)生自己利用GeoGebra繪制電勢分布的3D圖象，繪制圖象的過程中會遇到很多問題，其中比較常見的是標(biāo)度選擇導(dǎo)致看不到圖象，相比課堂上老師的強(qiáng)調(diào)，學(xué)生繪圖過程中自己發(fā)現(xiàn)標(biāo)度選擇的重要性能夠產(chǎn)生更好的效果。觀察圖象分析討論1 C的點(diǎn)電荷0.6 m到1.6 m間的最大電勢差可達(dá)1010 V讓學(xué)生了解庫侖是一個很大的單位，為學(xué)生解決費(fèi)米問題提供基礎(chǔ)知識，同時(shí)能夠提醒學(xué)生物理問題要與實(shí)際相結(jié)合。通過觀察3D的電勢分布圖，可以讓學(xué)生很直觀得出二維空間內(nèi)電勢分布的特點(diǎn)，輸入對應(yīng)的函數(shù)學(xué)生可以觀察到點(diǎn)電荷、等量同種電荷、等量異種電荷、不等量電荷及多電荷在二維空間電勢的分布情況，也可以調(diào)節(jié)點(diǎn)電荷點(diǎn)間的距離得到不同的圖形，課堂讓學(xué)生感受到的物理不僅是定理、公式，通過物理學(xué)習(xí)也可以繪制出美麗的圖形，增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。課堂上讓學(xué)生思考是否可以畫出三維空間內(nèi)的電勢分布情況，有學(xué)生提出可以，用顏色代表電勢強(qiáng)弱就可以畫出來，有些遺憾的是GeoGebra沒辦法將顏色和數(shù)值建立聯(lián)系畫不出三維空間內(nèi)的電勢分布但學(xué)生能提出這個想法說明對空間、維度已經(jīng)有了更深層次了解。

GeoGebra除了強(qiáng)大的繪圖功能還有動態(tài)演示功能如南京市中華中學(xué)唐超老師利用GeoGebra制作動畫為學(xué)生演示火車拐彎[ 4 ]、南京師范大學(xué)張賽男等老師利用GeoGebra曲線擬合、仿真實(shí)驗(yàn)[ 5 ]等。經(jīng)過開發(fā)，GeoGebra在物理教學(xué)方面將會得到更廣泛的應(yīng)用，將更好地輔助物理教學(xué)。

參考文獻(xiàn)：

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