王曉晨

遼寧鐵道職業(yè)技術學院

導數(shù)是《高等數(shù)學》課程的重要教學內(nèi)容，學生學習過程中雖然能夠通過練習達到一般的解決計算問題的能力，但往往在本質(zhì)理解與實際應用的聯(lián)系中缺乏一定的邏輯認識。因此，關于導數(shù)內(nèi)容的教學，可以通過典型的數(shù)形結合、數(shù)學建模、軟件繪圖等專業(yè)方面加以深度挖掘，同時融入課程思政元素，例如勞動教育、辯證統(tǒng)一規(guī)律、量變質(zhì)變規(guī)律等。就導數(shù)的幾何意義、函數(shù)單調(diào)性的判定、函數(shù)最值的應用、曲線凹凸性的判定這四個導數(shù)應用內(nèi)容進行案例教學設計，從專業(yè)學習、課程思政育人、教學創(chuàng)新應用等角度加以分析，助力教學過程更好地開展。

一、曲線的切線

（一）案例：設函數(shù)f(x)=x2-1，求該函數(shù)在點(2,3)處的切線方程。

【知識點分析】

導數(shù)的幾何意義，點斜式直線方程公式。

【答案解析】

解：求導得，f'(x)=2x

由導數(shù)的幾何意義知：

函數(shù)在點(2,3)處的切線斜率得，k= 2x|x=2=4

則代入點斜式直線方程公式，整理得，切線方程為：

（二）課程思政切入點探析

本案例屬于導數(shù)幾何意義的理解及應用，要求學生具備求導計算的能力，通過這類曲線的切線方程的類型題，注重培養(yǎng)學生理論聯(lián)系實際的能力，同時要掌握的關鍵點是：當所求題目當中的點是函數(shù)圖像上面的點時，才滿足該點處的導數(shù)為切線斜率。

（三）教學技能創(chuàng)新導入點

為了增強學生的勞動精神，可以讓學生課后自主研究如何使用數(shù)學軟件《MATLAB》繪制出函數(shù)的圖像以及切線圖像，通過小組合作的方式，可以舉一反三，編輯相似題目進行習題練習，對于簡單函數(shù)的圖像，可以在紙上進行描繪，體現(xiàn)了美育教育與勞動教育相結合的作用。

（四）課外探究與提升

求曲線y=x2在點(1,1)處的切線方程和法線方程。

提示：平面內(nèi)切線與法線的斜率關系。

二、函數(shù)的單調(diào)性與極值

（一）案例：求函數(shù)y=ex2的單調(diào)性和極值。

【知識點分析】

復合函數(shù)的求導問題，函數(shù)單調(diào)性的判定條件，函數(shù)極值的求解步驟。

【答案解析】

解：函數(shù)y=ex2的定義域為：(-∞,+∞)

計算復合函數(shù)y=ex2的導數(shù)得，y'=2xex2

令y'=0，解得駐點x=0

由于ex2＞0，則令y'＞0，解得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間：(0,+∞)

令y'＜0，解得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間：(-∞,0)

且x=0是函數(shù)的極小值點，極小值是f(0)=1

函數(shù)y=ex2無極大值。

（二）課程思政切入點探析

本案例屬于導數(shù)的應用（即利用函數(shù)導數(shù)的符號關系來判定原函數(shù)的單調(diào)性的問題），要求學生掌握定理的本質(zhì)，同時具備抽象的數(shù)學理解分析能力，明確事物間的邏輯關系，培養(yǎng)學生獨立思考、探索鉆研的科學精神。

（三）教學技能創(chuàng)新導入點

通過介紹“天問一號”火星探測器升空發(fā)射飛向火星過程中的軌道運行情況，讓學生了解我國航空航天事業(yè)的領先科學技術進一步增強愛國情懷和文化自信，并且引導學生計算出平面內(nèi)曲線軌道函數(shù)的單調(diào)性與極值的問題。

（四）課外探究與提升

求函數(shù)y=2x3-3x2-12x+2的單調(diào)區(qū)間與極值。

三、函數(shù)最值的應用

（一）案例1：用一塊邊長為60厘米的正方形鐵皮，按照將四角分別截去面積相等的小正方形，然后折成一個無蓋的鐵盒，請問：當截去的小正方形的邊長為何值時，所得到的鐵盒的容積為最大？

【知識點分析】

求函數(shù)的最大值，數(shù)學建模構造函數(shù)式，柱體的體積公式。

【答案解析】

解：設截去的小正方形的邊長為x厘米，則折成的無蓋鐵盒的體積為V立方厘米。根據(jù)題意分析可知，該鐵盒的底面正方形邊長為(60-2x)厘米，高為x厘米，因此根據(jù)柱體的體積公式可得：

求導整理得：

令V'=0，解得唯一駐點：x=10

因此，當x=10時，函數(shù)取得最大值：V(10)=16000(cm3)=0.016(m3)

答：當截去的小正方形的邊長為10厘米時，所得到的鐵盒的容積最大，最大容積為0.016立方米。

注意：實際問題當中，可以靈活運用單位間的換算關系，便于使結果簡化。

（二）案例2：要用鐵皮做一個容積為16πm3的帶蓋圓柱形桶，問圓桶的底半徑為何值時用料最??？

【知識點分析】

求函數(shù)的最小值，數(shù)學建模構造函數(shù)式，柱體的表面積公式。

【答案解析】

解：設所做圓桶的底面半徑為r，表面積為S，高為h，容積為V。

根據(jù)題意，V=πr2h=16π，則得

圓桶用料即圓桶的表面積（上下兩個底圓面積與側(cè)面積之和）：

因此，當?shù)酌姘霃綖? m時，圓柱體的表面積最小。

答：當圓桶的底面半徑為2 m時用料最省，此時圓桶的高為4 m，最省用料為24π m2。

（三）課程思政切入點探析

這兩個案例涉及數(shù)學建模的應用意識，需要學生具備理解題目、分析題意、轉(zhuǎn)化數(shù)學問題的綜合應用能力，在思考問題過程中，體現(xiàn)了學習由淺入深、化繁為簡的對立統(tǒng)一規(guī)律，強化學生邏輯抽象思維能力及導數(shù)的應用計算能力。

（四）教學技能創(chuàng)新導入點

讓學生以小組合作學習的方式，對這兩個案例進行討論式學習，指引學生可以通過動手畫圖的方式分析問題，也可以制作紙板模型直接觀察理解，課后可以思考使用計算機編程進行函數(shù)最值的求解，通過這種創(chuàng)新的學習方式，啟發(fā)學生思考的興趣和主動學習的意識。

（五）課外探究與提升

想要制作一定容量的正圓錐形容器，容器的高與底面半徑比例如何，所需材料最少？

提示：圓錐體體積公式，圓錐體表面積公式。

四、曲線的凹凸性與拐點

（一）案例：求曲線f(x)=x^4-2x^3+x+1的凹凸性和拐點。

【知識點分析】

計算二階導數(shù)，求導法則，曲線凹凸性的判定條件，曲線拐點的計算方法，一元二次不等式的解法。

【答案解析】

解：函數(shù)f(x)=x4-2x3+x+1的定義域為：(-∞,+∞)

求導得：f'(x)=4x3-6x2+1

求二階導數(shù)得：f'' (x)=12x2-12x=12x(x-1)

令f'' (x)＞0，得曲線的凹區(qū)間是(-∞,0)和(1,+∞)

令f'' (x)＜0，得曲線的凸區(qū)間是(0,1)

令f'' (x)=0，解得x=0或x=1

根據(jù)拐點的定義，可知曲線有兩個拐點：點(0,1)和點(1,1)。

注意：計算中每步都需要檢查，尤其注意根據(jù)二階導數(shù)符號來判定原函數(shù)的凹凸性。

（二）課程思政切入點探析

曲線的凹凸性根據(jù)文字的音譯與象形的關系非常直觀易于理解，對于定理的學習同樣可以聯(lián)想“凹凸”圖像的方式加以生動傳神的理解記憶。對比凹凸性，可以升華為學習之路有如逆水行舟不進則退，求學攀登之路雖為艱難險阻，確是無限風光在險峰，但切忌驕傲自滿，要不斷學習。

（三）教學技能創(chuàng)新導入點

小組任務項目單：完成曲線圖像的繪制。要求學生進行團隊合作分工，任務一是完成項目分工明細責任清單（即注明任務的工作分解與責任人），任務二是具體完成人的工作任務詳細表（即具體的計算過程），任務三是選派小組代表進行項目完成的總結匯報（即任務完成情況的總結）。通過具體任務的解決，鍛煉了學生應用數(shù)學知識解決實際問題的能力，同時也增加了小組團隊合作的互助精神，提升了學生的交流溝通表達能力。

（四）課外探究與提升

求曲線y=xe^2x的凹凸區(qū)間與拐點。

高職院校的《高等數(shù)學》課程的教學改革應與課程思政同向同行，體現(xiàn)專業(yè)與道德品質(zhì)的雙育人模式，通過數(shù)學史的案例導入、數(shù)學建模意識的案例融入、數(shù)學軟件的案例創(chuàng)新等形式，讓學生增添了學習的興趣、樂趣、積極性、主動性，充分體驗到數(shù)學之史、數(shù)學之美、數(shù)學之思，對于教師而言，在教學研究過程當中，也是收貨頗豐，有助于深入挖掘知識點中所蘊含的本質(zhì)原理，從而實現(xiàn)教研與科研的雙向互動提升，對于基礎學科的知識體系要不斷鉆研，求真務實，給學生樹立正確的科學技術攀登精神，讓學生懂得科技創(chuàng)新的重要性，堅定學生刻苦學習的意志品質(zhì)。