摘 要：中學教育改革的深入以及高等教育的普及化，使得高等數(shù)學與初等數(shù)學之間的界限逐漸模糊，因此用高等知識與方法審視中學數(shù)學逐步成為教學研究的普遍關注點.基于這樣的理解，筆者以不等式為例，對高等數(shù)學視角下的中學數(shù)學知識學習與問題解決展開了研究和思考，闡釋了運用高等數(shù)學的知識與方法審視中學數(shù)學的知識學習和問題解決的意義，整理了不等式中中學數(shù)學與高等數(shù)學常用證明方法，并比較高等數(shù)學與中學數(shù)學在不等式的證明求解過程中的差異，進而給出了以“合理前凸”、“奠定基礎”為基本原則的教學建議.

關鍵詞：不等式;中學數(shù)學;高等數(shù)學;解讀;教學建議

中圖分類號：G632 ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ?文章編號：1008-0333（2021）24-0024-03

收稿日期：2021-05-25

作者簡介：黃燕紅（1994.2-），女，碩士，福建省廈門人，中學二級教師，從事數(shù)學教學研究.

隨著時代的需要和課程的改革，中學教材中逐漸出現(xiàn)高等數(shù)學中一些基礎知識，也滲透著經(jīng)典高等數(shù)學的思想和方法，以考察學生的學習潛力和培養(yǎng)學生的思維能力.關注近幾年的高考試題，為了實現(xiàn)高考的選拔功能，往往考查一些基于高等數(shù)學背景的問題，并且這些問題通過轉(zhuǎn)化總能用中學知識與方法求解.因此在實現(xiàn)對學生知識傳授的完善外，要如何對中學數(shù)學知識進行高觀審視的同時又不忽視雙基的學習與鞏固，已經(jīng)成為一線教學關注的焦點.

一、中學數(shù)學中不等式的常用證明方法

1.用綜合法和分析法證明不等式

綜合法是基于所給的已知條件或者某些定義、定理、公式，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推出題目所要證明的不等式成立.分析法則是從題目給定的結(jié)論入手，進行逆向推導，使得每一步都要是上一步的充要條件，最終達到題目給出的已知條件. 2.用放縮法證明不等式

在證明過程，對不等式一端進行恰當?shù)姆糯蠡蚩s小.利用此方法來證明不等式的技巧性很強，主要是尋找中間變量c，使得a<c<b成立，通過c的過渡，使a與b之間間接地建立起不等式關系.

3.反證法證明不等式

反證法在證明不等式問題中也被經(jīng)常使用.當用此方法來證明不等式時，第一步，假設題目中的結(jié)論不成立;第二步，依據(jù)題中所給條件，結(jié)合相關的概念和性質(zhì)，逐步導出與這些概念、定理、性質(zhì)、已知條件中的任一個都矛盾的結(jié)果，從而肯定原結(jié)論是正確的.

4.數(shù)學歸納法證明不等式

一般來說，不等式的證明都要經(jīng)過復雜的變形、運算，但通過不等式巧妙變形并且引用一些眾所周知的結(jié)論比如上述說的柯西不等式定理或者伯努利不等式定理加以演算，不僅方法新穎，而且簡單明了.

2.利用微分中值定理證明不等式

利用微分中值定理為不等式的證明帶來了許多方便之處.如果不等式經(jīng)過簡單變形后，與任一定理結(jié)構(gòu)相似，就可以在所給區(qū)間上構(gòu)造一個函數(shù)，保證該函數(shù)符合中值定理可實現(xiàn)的前提條件.其中的關鍵是對ξ點的處理，分析函數(shù)或者導數(shù)在該點的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

3.泰勒展開式在不等式中的應用

泰勒展開式證明不等式雖然步驟比較復雜，但是準確率較高.具體做法為在區(qū)間內(nèi)的一些特殊點（端點、中點、零點）展開函數(shù)fx，發(fā)現(xiàn)其余項在ξ點具備的性質(zhì)，得到結(jié)論.

4.概率在不等式證明中的運用

在概率論中，所有事件的發(fā)生概率都處于0與1之內(nèi)，則有了不等式的存在.解決這類變量取值在0與1之內(nèi)的不等式，通常要完成一個不等式問題與概率問題的轉(zhuǎn)變，也就是將這些變量當相關事件的概率，應用概率相關知識來解不等式問題.此種做法的主要步驟分析數(shù)學問題的種類，找到匹配的概率模型，依據(jù)兩者的概念和性質(zhì)來解答.

三、不等式證明在中學數(shù)學和高等數(shù)學中的差異

通過例題可見，在《課程標準》的指導下，許多中學不等式試題的命題設計往往以高等數(shù)學的某些內(nèi)容為背景，通過對高等數(shù)學的一些問題進行改造和轉(zhuǎn)化，使得問題均可以用中學的方法來解決，立意雖高，但落點低，需要學生扎實的基礎以及一定的邏輯思維能力.

在中學數(shù)學領域，不等式的解題步驟經(jīng)常顯得繁、難、偏.因為題型多變、解題方式變通性強，加上無固定的規(guī)律可循，因此，解題的關鍵就落到不等式的基本定義和性質(zhì)上來，只有基礎打的牢，才能達到活學活用的效果.事實上，也正是因為不等式證明求解中技巧性高、綜合性強的特點，給學生學習帶來一定的難度，所以課標課程對不等式學習要求有所降低.

在高等領域，解題方法通常是，運用精確的定義對高中的某些結(jié)論進行證明，這是一個里程碑式的飛躍，而且大學的證明方法更加簡便快捷，使我們一目了然，不等式證明過程雖然簡潔明了，但技巧性強.在證明過程中能夠更加重視理論推導和抽象思維.因此，在解答題目的時候，應重視解題策略的使用. ?四、教學建議——“合理前凸”與“奠定基礎”

“合理前凸”指教師應該從中學教學大綱和教材出發(fā)，以應用廣泛且易于理解的高等數(shù)學內(nèi)容為背景，用高等數(shù)學觀點做必要的拓展，如在知識聯(lián)系面上常規(guī)方法的綜合運用拓展，題型創(chuàng)新程度上的拓展，而非偏離教學大綱的拓展，不可走形式主義，生搬硬套地將高等數(shù)學的知識下放，異化成教材的擴充教學.

“奠定基礎”指教師教授新知時對相關舊知識進行回顧，適時地對中學數(shù)學問題系統(tǒng)地加以思想上的總結(jié)和數(shù)學方法方面的提煉，使得中學數(shù)學中存在的松散狀態(tài)得到改善，幫助學生改變題海戰(zhàn)術，引導學生構(gòu)建屬于自己的解題和學習方法.

五、教學策略應用

教師要適時地用較高的觀點來解釋和研究中學數(shù)學中的問題.同時要注重比較、回顧已學知識來統(tǒng)一數(shù)學中比較松散的體系，不要一味追求高觀點而忽視雙基的鞏固.教師可以在講授新課或者平時的習題講評中把涉及到的高數(shù)背景并聯(lián)系以往的舊知講解給學生聽，這不僅能為學生奠定基礎還能提高一定的數(shù)學素養(yǎng)，提高思維能力.以下通過案例說明“合理前凸”、“奠定基礎”教學策略的應用.

案例1 基本不等式

案例評說 在本案例中，以柯西不等式為橋梁，充分體現(xiàn)了合理前凸，奠定基礎的教學策略.通過概率中平均值與方差的性質(zhì)和關系來證明不等式，不僅鞏固了概率相關知識也促進新知識與學生認知結(jié)構(gòu)中的已有的知識網(wǎng)絡的融合.在不影響學時并在學生能夠接受的范圍內(nèi)，引入高等數(shù)學中n維向量內(nèi)積，拓展了學生數(shù)學視野、豐富了學生的數(shù)學解題方法.

總之，合理前凸，奠定基礎的教學策略，能夠潛移默化地幫助學生初步認識初等和高等知識間密切的關聯(lián)，進而在恰當?shù)臅r候養(yǎng)成用高等知識審視中學知識的習慣，在思維方式上，達成現(xiàn)代與經(jīng)典數(shù)學之間的相輔相成，能使學生頭腦中的知識結(jié)構(gòu)更加細節(jié)化，整體化.教師通過梳理中學數(shù)學和高等數(shù)學中相關聯(lián)的知識，將這二者的思維方法有機結(jié)合，運用在課堂中，不僅能使學生接受高等知識的同時，鞏固初等知識，也有利于教師提升教學水平和科研能力.

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