吳清鋒

【摘要】在學(xué)習(xí)解三角形這一章中，我們可能多多少少會(huì)有這樣的想法：新授的內(nèi)容其實(shí)并不難，甚至可以說(shuō)相對(duì)函數(shù)等章節(jié)來(lái)說(shuō)是比較簡(jiǎn)單的，因?yàn)楹芏鄬W(xué)生最后概括一下無(wú)非就是學(xué)習(xí)了正弦定理和余弦定理，而且要把它們背出來(lái)也并非難事。但是會(huì)有更多的學(xué)生通過(guò)作業(yè)和加深會(huì)漫漫發(fā)現(xiàn)，題目并非我們想象的那么簡(jiǎn)單，甚至可以說(shuō)許多學(xué)生在解題過(guò)程中會(huì)遇到無(wú)從下手的感覺(jué).今天，就通過(guò)一些比較典型的判斷三角形形狀的例題，一起來(lái)感受一下解此類題型過(guò)程中有關(guān)邊、角之間的轉(zhuǎn)化和如何進(jìn)行化邊、化角選擇的問(wèn)題提出自己一些拙劣的看法。

【關(guān)鍵詞】邊;角;三角形;三角形形狀;正弦定理;余弦定理

首先，對(duì)解答一些有關(guān)判斷三角形形狀的題型，給出自己一個(gè)大致的解題思路：1、通過(guò)正弦定理、余弦定理等將所有邊化成角;2、通過(guò)正弦定理、余弦定理等將所有角化成邊;3、通過(guò)化簡(jiǎn)，邊、角均還有所保留。對(duì)于上述提到的第3個(gè)解題思路，已知條件或式子往往具有一定的特殊性，具體因題而異，比較注重已知條件的特征，進(jìn)行適當(dāng)?shù)倪x擇與化簡(jiǎn).這里就舉個(gè)最為簡(jiǎn)單、直觀的例題（例1）進(jìn)行一筆帶過(guò)，將不進(jìn)行展開(kāi)與提升，主要對(duì)解題思路1和2進(jìn)行具體的展開(kāi)與探討。

當(dāng)然，這道題對(duì)學(xué)生來(lái)講，考察的僅僅是余弦定理的熟練應(yīng)用而已，只需把余弦定理熟背，就能很快將此題答案解出，相信絕大部分學(xué)生都是沒(méi)什么問(wèn)題的。解答如下：

但是，我們這里要講的不是解答的問(wèn)題，我們這里不妨來(lái)分析下上述所給出的3個(gè)解題思路，不難發(fā)現(xiàn)，其實(shí)已知條件的等式已經(jīng)符合了第一個(gè)解題思路，所有的不需要任何化簡(jiǎn)，都已經(jīng)全是邊長(zhǎng)了，但根本無(wú)法直接解出本題答案，這就是我們上述所說(shuō)的要看已知條件或式子的特征，發(fā)現(xiàn)與余弦定理有著緊密的聯(lián)系，有時(shí)候反而會(huì)因?yàn)檫@些特殊性導(dǎo)致我們化簡(jiǎn)到最后，將邊角均有所保留的情況.這里也只是點(diǎn)到為止，不加擴(kuò)展，下面我們就通過(guò)例題對(duì)思路1、2進(jìn)行具體的展開(kāi)與嘗試。

此例題首先利用降次公式化簡(jiǎn)，部分的化簡(jiǎn)解答如下：

化簡(jiǎn)到這步，相信很多學(xué)生還是可以做到的，再繼續(xù)觀察這個(gè)等式，發(fā)現(xiàn)有邊，又有角，那么接下來(lái)就是如何選擇的問(wèn)題了.我們就對(duì)思路1（化成角）和思路2（化成邊）都來(lái)進(jìn)行嘗試：

法一：（利用正弦定理，進(jìn)行邊化角）

法二：（利用余弦定理，進(jìn)行角化邊）

上述兩種解題思路，兩種方法都是比較簡(jiǎn)便的，但相比而言，可能在運(yùn)算上選擇法二（角化邊）更為簡(jiǎn)單一些，但無(wú)可厚非，這兩種解題方法都是需要我們掌握的.

此題相對(duì)于上述例2等式上更為復(fù)雜一些，但我們同樣也可以去嘗試用思路1和思路2兩種不同的方法去解答.

這里值得一提的是，因?yàn)槲覀円獙?shí)現(xiàn)所有角全部化成邊，所以首先要對(duì) 進(jìn)行適當(dāng)處理，然后再用余弦定理實(shí)現(xiàn)角到邊的轉(zhuǎn)化過(guò)程.具體解答如下：

當(dāng)然，這兩種解答過(guò)程一對(duì)比，從運(yùn)算的角度看，毫無(wú)疑問(wèn)，相信基本所有的學(xué)生都會(huì)選擇法一（邊化角），但法二又何嘗不是一種解答呢？

對(duì)于本例題，其實(shí)深入研究，你會(huì)發(fā)現(xiàn)其實(shí)用思路3（“巧妙的”留角留邊）也是可以解決問(wèn)題的。

法三就巧妙的運(yùn)用了正弦定理中的 ，通過(guò)等式的特有的特征完成了對(duì)三角形形狀的判斷。

參考文獻(xiàn)：

[1]賀斌.對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的別證、加強(qiáng)與聯(lián)想.數(shù)學(xué)通訊.2015.