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        巧攻點(diǎn)P

        2021-09-10 20:39:44郭杭園
        高考·上 2021年4期
        關(guān)鍵詞:建系

        郭杭園

        摘 要:立體幾何與空間向量,空間向量是數(shù)學(xué)必修4“平面向量”在空間的推廣,又是數(shù)學(xué)必修2“立體幾何初步”的延續(xù),努力使學(xué)生將運(yùn)用空間向量解決有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的問題,體會(huì)向量方法在研究幾何圖形中的作用,進(jìn)一步發(fā)展空間想象能力和幾何直觀能力。立體幾何在高考解答題中位于第二大題的位置,是學(xué)生必須掌握與突破的一個(gè)數(shù)學(xué)問題,但在求第二問的時(shí)候,學(xué)生總是迷茫,傳統(tǒng)法無法入手,然而空間向量做的話,對(duì)于某一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)沒法求,從而得不到本題滿分。從而對(duì)于關(guān)鍵點(diǎn)的計(jì)算,是值得我們研究。

        關(guān)鍵詞:空間向量與立體幾何;建系;關(guān)鍵點(diǎn)P;點(diǎn)坐標(biāo)

        空間向量為處理立體幾何問題提供了新的視角(“立體幾何初步”側(cè)重于定性研究,本章則側(cè)重于定量研究)??臻g向量的引入,為解決三維空間中圖形的位置關(guān)系與度量問題提供了一個(gè)十分有效的工具。

        明白其教育價(jià)值所在的同時(shí),也很高興能夠有機(jī)會(huì)參加這次市調(diào)研課,使我在其中成長了許多也收獲了許多。現(xiàn)在還能夠回想起第一次講公開課的場景,還能夠想起與師傅一起探討研究題目的情景,即使都很累了,晚上還要利用她的休息時(shí)間幫我去理清課的思路和設(shè)計(jì)課上的活動(dòng),在一遍一遍的試講中,總算是能夠找到公開課的樣子。而當(dāng)三年后的今天上市調(diào)研課的時(shí)候,有了一些自己的想法和這幾年的從教經(jīng)驗(yàn),但是還是不夠成熟,不是很成體系,與葛老師反反復(fù)復(fù)一次次的交談之后,終于定下了我的初稿,和同仁們的一起磨課,在大家的幫助下才有這樣一堂在于我看來近乎完美的課。下面我就來談一下我這次課的感受。

        本節(jié)市調(diào)研課正繼2018市模擬考試結(jié)束,根據(jù)兩班(314,326)學(xué)生在本場考試各小題得分情況,得出這次立體幾何解答題得分并不理想,總分15分,平均只有9.3分。翻閱各位學(xué)生的答題卷,發(fā)現(xiàn)問題幾乎出現(xiàn)在第二小題,原因:1、底面是一個(gè)等邊三角形的斜三棱錐,從而不知道如何建系;建立系的同學(xué)將PD作為Z軸,并沒有和底面垂直,從而出錯(cuò)。2、系建立對(duì)了之后,關(guān)鍵點(diǎn)P坐標(biāo)不會(huì)求。面對(duì)6月的高考,這兩個(gè)問題必須解決,而且刻不容緩。于是借著諸暨市調(diào)研課這個(gè)契機(jī),好好研究這個(gè)專題,看了百來個(gè)立體幾何,尋找適合本班學(xué)生的題目,拿出來分析研究,讓學(xué)生徹底解決這兩個(gè)問題。

        本課是高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的一個(gè)重要部分,是數(shù)學(xué)必修4“平面向量”在空間的推廣,又是數(shù)學(xué)必修2“立體幾何初步”的延續(xù),努力使學(xué)生將運(yùn)用空間向量解決有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的問題,體會(huì)向量方法在研究立體幾何圖形中的作用,進(jìn)一步發(fā)展空間想象力和幾何直觀能力。空間向量為處理立體幾何問題提供了新的視角。空間向量的引入,為解決三維空間中圖形的位置關(guān)系與度量問題提供了一個(gè)十分有效的工具。因此必須為這一章開始一次有效的專題課,讓學(xué)生更好的從整體認(rèn)識(shí)到本章的重要性,以及關(guān)鍵點(diǎn)P如何求解的方式方法的總結(jié)和歸納。

        例題如下:

        (2016諸暨期末)如圖,在四棱錐的一個(gè)側(cè)面PAD為等邊三角形,且平面PAD⊥底面ABCD,四邊形ABCD是直角梯形,∠BCD=∠ADC=Rt∠P-ABCD,AD=2BC=2CD=2,E為PD的中點(diǎn)。

        (1)求證:CE//面PAB

        (2)求直線CD與平面PAB所成角的正弦值

        △PAD本例子中因?yàn)橛忻黠@的直角,所以學(xué)生很快就可以把系建立起來,又因?yàn)楹竺媸且粋€(gè)垂直底面的平面PAD,所以關(guān)鍵點(diǎn)P的投影直接落在AD上,點(diǎn)P很快就可以知道坐標(biāo)。這題還難不到我班在座的各位。于是將平面PAD向前或向后傾斜,使其不垂直于底面。引出BC//AD,CD⊥CD,PC=AD=2DC=2CB

        例2(2017浙江高考)如圖,在四棱錐中P-ABCD,△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形,E為PD的中點(diǎn)。

        (1)求證:CE//面PAB

        (2)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值

        本例中底面直角直接給出,X軸Y軸很容易表示,但是Z軸就不能靠在面PAD這個(gè)平面當(dāng)中,于是就大膽地就將Z軸垂直向上。這樣系是建好看了,但是問題也就出來了,關(guān)鍵點(diǎn)P該如何計(jì)算呢?對(duì)于這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)P的坐標(biāo)我們很難找到在底面投影點(diǎn)的位置,有部分同學(xué)即使找到了也很難計(jì)算出點(diǎn)P的坐標(biāo),根本不適合我班的學(xué)生。于是我們放棄解決立體幾何問題的傳統(tǒng)方式方法,就純粹地從向量的角度出發(fā),直接假設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,y,z),運(yùn)用方程組的思想,三個(gè)未知量三個(gè)方程,去尋找有關(guān)于點(diǎn)P的三個(gè)關(guān)系,建立三元一次方程進(jìn)行計(jì)算,從而得到點(diǎn)P。這樣便突破了本題的最大難點(diǎn),而且學(xué)生也容易接受這種解題技巧。這樣的做法,思路上大大的簡單化,尋找關(guān)系,這個(gè)關(guān)系可以是有關(guān)于點(diǎn)P的垂直、平行、距離、角度等等,但是對(duì)于第一次接觸這種方式的學(xué)生,計(jì)算則難以接受,則需要課后的練習(xí)。我們?cè)俅位貧w到2018年的紹模試題,讓之前做錯(cuò)的同學(xué)上來板演,即快又正確的得到結(jié)果,得到了老師的表揚(yáng)與同學(xué)們的掌聲。這是一個(gè)以前在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方面極其沒有自信的學(xué)生,通過這節(jié)課后,那確立了自信,有了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和決心。

        再思考:

        如圖,在三棱錐P-ABC中,△ABC是等邊三角形,O為AC的中點(diǎn),PA=PC,二面角P-AC-B的大小為60°

        (1)求證:平面PBO⊥平面PAC

        (2)求直線AB與平面PAC所成角的正弦值

        最后以一題關(guān)鍵點(diǎn)P在OP上運(yùn)動(dòng)的題目加以鞏固和加深,此點(diǎn)P并非是一個(gè)定點(diǎn),而是帶著參的一個(gè)動(dòng)態(tài)過程,對(duì)于學(xué)生求面的法向量則是一個(gè)困惑。學(xué)生往往只會(huì)已知面中三點(diǎn)的坐標(biāo),得到兩條相交直線的方向向量來求,帶著參則無法求解,其實(shí)面的法向量只需垂直于平面,對(duì)于方向和長度并沒有任何的限制,因此只需大膽的往下求,參量會(huì)刪除的。

        在這整個(gè)研究過程中,我也看了百余題立體幾何的題目,其實(shí)發(fā)現(xiàn)了很多共性。題目本身的出題方式,第一小題大都就是線面、面面的位置關(guān)系,證明平行、垂直等等。第二小題便是空間角的問題,以線面角居多;還有圖形上的變化,底面由三角形延伸到四邊形甚至很多的邊形;側(cè)面由垂直到傾斜,由三邊到四邊等的變化。它們都幾乎逃不出底面和側(cè)面具有公共邊的等腰三角形,也就是說總是可以找到那樣一個(gè)與底面的垂直的垂面,點(diǎn)P必將落于垂面與底面的交線上,都可以利用傳統(tǒng)純幾何方式加以求解,當(dāng)然這樣方式比較難,不適合本班的學(xué)生,于是便只選擇了用向量方式去解決問題,我班的學(xué)生能夠更好的接受這類問題。

        本節(jié)課,我本著以學(xué)生為主,教師為輔的這一原則。最終讓學(xué)生在知識(shí)上有所掌握,在能力和意識(shí)上有所收獲。

        一、這節(jié)課我最滿意的有以下幾個(gè)地方:

        (一)學(xué)生的參與

        這節(jié)課的主體不是我而是學(xué)生們,學(xué)生們對(duì)知識(shí)的渴求欲望令我既驚又喜,他們頻頻地舉手發(fā)言使整個(gè)課堂的氣氛活躍了起來,整個(gè)教室都充滿著愉悅、熱情、活潑的氣息,充滿蓬勃的朝氣,讓我感覺這仿佛不是一堂課,而是我與同學(xué)們開放平等地一次交流與合作。學(xué)生們表現(xiàn)出來的對(duì)數(shù)學(xué)無比濃厚的興趣令我收獲了極大的滿足感與獲得感,他們的參與是這節(jié)課必不可少的催化劑。我只是作為了一個(gè)引導(dǎo)者,引導(dǎo)他們?cè)诤诵膯栴}上深入研究。

        (二)學(xué)生的創(chuàng)新

        這節(jié)課有個(gè)意外收獲。在求一點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),我用的是投影而該班黃金同學(xué)卻利用的是共線,方法簡潔,給人以耳目一新的感覺。另外該班的張玉婷同學(xué)在兩道中都提出了不同的做法,有其獨(dú)特的見解。學(xué)生的思維不僅活躍,而且大膽,創(chuàng)新精神貫徹到了他們思維中的每一處,無論是提出新方法,還是提出新見解,他們的創(chuàng)新都折射出了中學(xué)生蓬勃向上的積極進(jìn)取心與創(chuàng)造力。中學(xué)生的思維是相當(dāng)活躍的,并且受到的束縛也少,相較于我們成年人,他們沒有明顯的思維定式,可見學(xué)生真的是思考了,我也從中獲益不少,真的是給學(xué)生以展示的舞臺(tái),他回報(bào)你以驚喜。

        (三)學(xué)生的置疑

        何楊波同學(xué)能直截了當(dāng)?shù)闹赋龊诎迳系腻e(cuò)誤而且是一個(gè)我沒發(fā)現(xiàn)的計(jì)算錯(cuò)誤,這一點(diǎn)是勇敢且自信的。這不僅說明了學(xué)生的注意力高度集中、對(duì)待這節(jié)課十分重視,而且也體現(xiàn)了他們善于觀察、注重細(xì)節(jié),不放過黑板上的一絲一縷。學(xué)生敢于置疑,提出問題,這是一種實(shí)事求是的精神態(tài)度,無論是在當(dāng)下的課堂中,還是在未來的人生道路上,這種大膽質(zhì)疑的實(shí)事求的精神都是值得表揚(yáng)。除此之外,大膽的、正確的質(zhì)疑也糾正了我的錯(cuò)誤,對(duì)我個(gè)人也是頗有裨益。

        (四)課件的制作

        立體幾何著重強(qiáng)調(diào)的是空間想象力,利用幾何畫板,從多個(gè)角度觀察圖形;所以我在制作課件的時(shí)候特別注重了這一點(diǎn),特地選取了一些典型的、有普遍共性的例題,四題例子的立體圖形變化過程在幾何畫板中展示,讓學(xué)生清晰的看到其實(shí)很多立體幾何的本質(zhì)是不變的,是具有一定共性的,這對(duì)他們接下來深入研究學(xué)習(xí)立體幾何有長遠(yuǎn)的好處,本質(zhì)上的理解才能使學(xué)生們做題時(shí)能透過現(xiàn)象看本質(zhì),舉一反三、融會(huì)貫通。

        二、我不滿意的地方有以下幾點(diǎn):

        (一)例子的選取

        最后一個(gè)例子的選取,層次過于高了,本班的學(xué)生過于難了一些。在模仿學(xué)習(xí)的前提下,如何處理較難的(不易模仿的)題型,對(duì)于教學(xué)要有一個(gè)基礎(chǔ)定位。

        (二)總結(jié)時(shí)間短

        這節(jié)課的主題是兩種方法的比較和不同方法的適用題型的總結(jié)歸納時(shí)間不夠。沒有時(shí)間讓學(xué)生自己談?wù)勑牡皿w會(huì),自己找找解題規(guī)律,如果給足時(shí)間那樣應(yīng)該會(huì)更好。

        三、空間向量在立體幾何中應(yīng)用的教學(xué)注意事項(xiàng):

        (一)注重?cái)?shù)學(xué)思想。思想上的力量是最關(guān)鍵的。讓學(xué)生經(jīng)歷向量由平面向空間推廣的過程,使學(xué)生體會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想方法:類比與歸納。體驗(yàn)數(shù)學(xué)在結(jié)構(gòu)上的和諧性與在推廣過程中的問題,并學(xué)會(huì)如何解決問題。因此,宜多引導(dǎo)學(xué)生與平面向量及其運(yùn)算類比,與實(shí)數(shù)及其運(yùn)算類比,從“數(shù)、量與運(yùn)算”發(fā)展的角度理解向量。

        (二)注意數(shù)與形的關(guān)聯(lián)。向量的特征之一是其本身具有數(shù)與形兩重含義。本章教學(xué)中,除了要關(guān)注前面多次提及的知識(shí)縱向聯(lián)系之外,還要特別關(guān)注知識(shí)的橫向聯(lián)系,這二者都很重要,缺一不可。研究問題要全面、普遍,從不同角度研究同一問題,認(rèn)識(shí)與運(yùn)用向量及其運(yùn)算中數(shù)與形的關(guān)聯(lián)。

        (三)根據(jù)特點(diǎn)選擇方法。重視傳統(tǒng)方法、向量方法、坐標(biāo)方法各自特點(diǎn)的分析與歸納,傳統(tǒng)方法以邏輯推理作為工具解決問題;向量方法利用向量的概念及其運(yùn)算解決問題;坐標(biāo)方法利用數(shù)及其運(yùn)算來解決問題,坐標(biāo)方法常與向量運(yùn)算結(jié)合起來使用,根據(jù)它們的具體條件和特點(diǎn)選擇合適的方法。

        這次難得的機(jī)會(huì)讓我獲益匪淺,無論是立體幾何的知識(shí)點(diǎn)本身,比如對(duì)于立體幾何出題人會(huì)圍繞著什么方向出題,以及考什么知識(shí)點(diǎn),還是對(duì)教學(xué)方式方法、解題思路、公開課的教學(xué),我都有更深層次的了解,取得了不小的進(jìn)步。除此之外,我還認(rèn)識(shí)到了這種大型的公開課能夠鍛煉我的心理素質(zhì)與隨機(jī)應(yīng)變能力,經(jīng)常的參與并且傾聽別人的課件設(shè)計(jì)對(duì)一個(gè)年輕教師的成長是非常重要的!路漫漫其修遠(yuǎn)兮,吾將上下而求索!

        參考文獻(xiàn)

        [1]《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(實(shí)驗(yàn)稿)[M].北京:人民教育出版社,2003

        [2]《5年高考3年模擬》[M].北京:首都師范大學(xué)出版社,2016

        [3]江玉軍.空間向量與立體幾何[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2007年

        [4]劉瑞美.“空間向量與立體幾何”的教學(xué)探討[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué),2010

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