劉雷

摘 要：通過(guò)對(duì)2020年1月4日六校聯(lián)考[1]數(shù)學(xué)第20題解法探究，探究其規(guī)律，并適當(dāng)拓展，充分挖掘題目本質(zhì)原理，得到了一般性結(jié)論，并深化條件給出了一些優(yōu)美的性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：2020年1月4日六校聯(lián)考;解析幾何;一般性結(jié)論;優(yōu)美性質(zhì)

六省六所全國(guó)重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考，簡(jiǎn)稱(chēng)六校聯(lián)考[1]。是由六校輪流命題，考試涉及面廣，影響力大，歷來(lái)受到大家的高度重視。2020屆高三第一次六校聯(lián)考于2020年1月4日-1月5日進(jìn)行，其中解析幾何試題位于第20題的關(guān)鍵位置，題目形式上，一證一算，聚焦數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理核心素養(yǎng)，考察學(xué)生縝密的邏輯思維和運(yùn)算求解能力。

題目的設(shè)問(wèn)形式簡(jiǎn)潔，結(jié)論優(yōu)美。并且通過(guò)探究還能得到一些拓展性結(jié)論和性質(zhì)，本文基于此展開(kāi)筆者的探究過(guò)程，

供大家參考。

一、題目與解答

已知橢圓G：右焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線(xiàn)l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)l不與坐標(biāo)軸平行，若AB的中點(diǎn)為N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)ON交直線(xiàn)x=3于M.

（Ⅰ）求證：MF⊥l;

（Ⅱ）求的最大值.

解：（Ⅰ）設(shè)l方程為，

由，得.

設(shè)

則

于是

則，得ON的斜率，所以，ON的方程為，得.

這樣MF的斜率，所以，從而MF⊥l.

（Ⅱ）

令，

則

由于t=3k2+1>1，故.所以，當(dāng).即k=±1時(shí)，的最大值為.

評(píng)注：第（Ⅰ）問(wèn)和第（Ⅱ）問(wèn)之間有一定的關(guān)聯(lián)性，第（Ⅰ）問(wèn)的證明為第（Ⅱ）問(wèn)的計(jì)算做了鋪墊，但都屬于過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)互相垂直兩弦的特例。因此，一方面我們從問(wèn)題的結(jié)論思考：1.過(guò)橢圓焦點(diǎn)且與坐標(biāo)軸不平行的直線(xiàn)與橢圓相交的弦中點(diǎn)與原點(diǎn)連線(xiàn)的直線(xiàn)與相應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)交于一點(diǎn)，該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線(xiàn)與過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)是否垂直？2.若垂直，在此垂直的條件下，相應(yīng)的線(xiàn)段長(zhǎng)度比的最大值是否為常量？是否還有其他的定點(diǎn)、定值？若以上猜想結(jié)論成立，那么將過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)改為過(guò)橢圓內(nèi)任意一點(diǎn)的直線(xiàn)，那么是否還有相應(yīng)的結(jié)論？另一方面我們從求解過(guò)程思考：重視通性通法的同時(shí)，注意焦半徑、參數(shù)方程、極坐標(biāo)等技巧的引入，對(duì)于研究定點(diǎn)、定值等一些一般性結(jié)論有很大的方便性。

二、條件關(guān)系的深化拓展

延長(zhǎng)MF交橢圓G于C，D兩點(diǎn)，則AB⊥CD，設(shè)CD的中點(diǎn)為P.下面在AB⊥CD的基礎(chǔ)上進(jìn)一步探究其一些優(yōu)美的結(jié)論.

結(jié)論1：直線(xiàn)PN過(guò)定點(diǎn)S.

證明：設(shè)，由原題求解過(guò)程知：

，，

①

，，

②

當(dāng)k≠±1時(shí)，，直線(xiàn)PN方程為：，故直線(xiàn)PN過(guò)定點(diǎn).

當(dāng)k2=1時(shí)，點(diǎn)P，N的橫坐標(biāo)均為，故直線(xiàn)PN過(guò)定點(diǎn).

綜上，直線(xiàn)PN過(guò)定點(diǎn).

結(jié)論2：分別以AB，CD為直徑的兩圓公共弦中點(diǎn)軌跡也過(guò)定點(diǎn)S[2].

證明：以AB為直徑的圓的方程為：

，

即③

以CD為直徑的圓的方程為：

，

即④

③-④得兩圓公共弦所在直線(xiàn)方程為：

將①②代入得

當(dāng)k2≠1時(shí)，，又直線(xiàn)PN方程為：.

所以，公共弦中點(diǎn)的軌跡方程為：即公共弦中點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，故，公共弦中點(diǎn)的軌跡也過(guò)定點(diǎn)

當(dāng)k2=1時(shí)，兩圓公共弦所在直線(xiàn)方程為：y=0，直線(xiàn)，故公共弦中點(diǎn)為.

綜上：公共弦中點(diǎn)的軌跡也過(guò)定點(diǎn)

三、結(jié)論的一般性拓展

將該題中的一些條件推廣到一般的橢圓，結(jié)論仍然成立，具體如下：

性質(zhì)1：已知橢圓右焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線(xiàn)l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)l不與坐標(biāo)軸平行，若AB的中點(diǎn)為N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)ON交直線(xiàn)于M.

（1）MF⊥l.

（2）當(dāng)c>b時(shí)，的最大值為.

性質(zhì)2：過(guò)內(nèi)任意一點(diǎn)作兩條相互垂直的弦.AB，CD的中點(diǎn)分別為P，N.

（1）直線(xiàn)PN恒過(guò)定點(diǎn).

（2）分別以AB，CD為直徑的兩圓公共弦中點(diǎn)軌跡也過(guò)定點(diǎn)[2].

性質(zhì)3：：過(guò)的一個(gè)焦點(diǎn)F引n條弦使相鄰兩弦間的夾角都為，則.

四、探究后的思考

在平日里的教學(xué)過(guò)程中通過(guò)這樣的探究活動(dòng)，探索隱藏在題目背后的奧秘，將研究問(wèn)題引向深入，挖掘題目的真正內(nèi)涵，才能夠找到解決這一類(lèi)問(wèn)題的規(guī)律，才能領(lǐng)會(huì)到試題命制的深刻背景。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析、類(lèi)比、猜想、證明，學(xué)生就能體驗(yàn)數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程，這樣就可以深化學(xué)生的思維。讓學(xué)生體驗(yàn)通過(guò)改變?cè)囶}條件的探究過(guò)程，能夠加深對(duì)問(wèn)題的思考、理解和針對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的透析。達(dá)到加深對(duì)知識(shí)的理解，才能跳出茫茫題海，提高學(xué)習(xí)效率;才能全面提高學(xué)生的綜合能力，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)

[1]六校聯(lián)考：衡水中學(xué)，山西大學(xué)附屬中學(xué)，西工大附中，鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校，巴蜀中學(xué)，成都七中六校于2020年1月4日至1月5日進(jìn)行聯(lián)考.

[2]尹惠民.試探以圓錐曲線(xiàn)的垂直弦為直徑的圓[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2016（2），26-27.