何佳丹

一、緣起：基于教材習(xí)題，深入解讀素材

人教版六年級下冊在學(xué)習(xí)完圓柱體積以后，教材上有這樣一道練習(xí)題（圖1）。這是一道難度較大的練習(xí)，具有很強(qiáng)的思維性與探索性。一題變一課，筆者嘗試通過這一學(xué)習(xí)材料，設(shè)計(jì)一節(jié)拓展課，引導(dǎo)學(xué)生展開深度學(xué)習(xí)，分析長方形與卷成的圓柱體積大小之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律并理解其背后的原因。如此，既拓展數(shù)學(xué)的知識面，開闊學(xué)生的眼界;又積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生的思維。

15. 下面4個(gè)圖形的面積都是36 dm2。用這些圖形分別卷成圓柱，哪個(gè)圓柱的體積最??？哪個(gè)圓柱的體積最大？你有什么發(fā)現(xiàn)？（單位：dm）

二、思考：基于學(xué)生本位——合理設(shè)計(jì)教學(xué)

（一）把脈現(xiàn)實(shí)學(xué)情

在六下“圓柱與圓錐”單元的學(xué)習(xí)中，學(xué)生了解了圓柱的基本結(jié)構(gòu)，知道平面圖形可以通過平移、卷、旋轉(zhuǎn)等動(dòng)態(tài)變化得到圓柱，理解并掌握了圓柱表面積、體積公式，能解決簡單的圓柱體積問題。

習(xí)題（圖1）內(nèi)容多，思維含量大，情況較為復(fù)雜，4種長方形一共能卷成7種圓柱。筆者對66個(gè)學(xué)生第一次獨(dú)立完成練習(xí)的情況進(jìn)行了調(diào)研，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生會(huì)選擇通過計(jì)算比較圓柱的體積來解決這個(gè)問題，再通過數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)規(guī)律。但圓柱數(shù)量多，計(jì)算量大，費(fèi)時(shí)且容易混淆。即使在各個(gè)課時(shí)中已經(jīng)較好地掌握了對應(yīng)的知識內(nèi)容，但當(dāng)多個(gè)知識交叉綜合運(yùn)用時(shí)，學(xué)生卻不一定能夠?qū)⑦@些零散的知識結(jié)構(gòu)在自己的頭腦中勾連成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)網(wǎng)。從學(xué)生的解題情況中可以窺見，不少學(xué)生對長方形和圓柱的認(rèn)知狀態(tài)是單一的、靜態(tài)的、割裂的，缺乏動(dòng)態(tài)、整體聯(lián)結(jié)的建構(gòu)。有的學(xué)生對圖形運(yùn)動(dòng)變化前后的各部分聯(lián)系的認(rèn)知是模糊的，誤以為長方形的長和寬就是卷成圓柱后的半徑和高;有的學(xué)生能夠辨析清楚長方形的長、寬分別作為圓柱的底面周長和高，卻在計(jì)算時(shí)不能正確應(yīng)用體積公式。此外，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)存在缺口，部分學(xué)生沒有意識到同一個(gè)長方形能卷成兩種圓柱（正方形除外）。

（二）精準(zhǔn)定位目標(biāo)

對于長方形卷成圓柱這道題學(xué)生究竟該學(xué)些什么？這題僅僅會(huì)做會(huì)算就夠了嗎？教學(xué)更應(yīng)關(guān)注的是學(xué)生是否真的內(nèi)化了解決問題的過程，知識與知識之間能否有效串聯(lián)？對于表象背后的本質(zhì)，學(xué)生內(nèi)心充滿疑惑，怎樣才能讓學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)并深刻理解內(nèi)在規(guī)律呢？基于以上思考，筆者設(shè)置拓展課教學(xué)目標(biāo)：（1）經(jīng)歷想象、猜想、驗(yàn)證、發(fā)現(xiàn)等過程，探究面積相同的多個(gè)長方形中，怎樣卷成的圓柱體積最大和最小。（2）在操作探究、動(dòng)手實(shí)踐、體驗(yàn)活動(dòng)中參與知識的生成、發(fā)展過程，主動(dòng)地發(fā)現(xiàn)知識，體會(huì)、了解數(shù)學(xué)知識的來龍去脈。（3）在解決問題“誰的體積最大”的過程中，通過不同角度的思考和探究，感受策略多樣化，發(fā)展主動(dòng)解決問題的能力，積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，拓寬思維場域。

三、踐行：活用習(xí)題，有序推進(jìn)

筆者將這道復(fù)雜的習(xí)題進(jìn)行解構(gòu)和重組，借助問題串，分兩個(gè)階段循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生對“誰的體積大”這一問題進(jìn)行深度探究。

階段一：問題驅(qū)動(dòng)，層層深入。

1. 猜想驗(yàn)證，喚醒認(rèn)知。

把一張長方形紙（12 cm×3 cm）卷成圓柱，可以怎么卷？怎樣卷得到的圓柱體積更大？請你猜一猜，并驗(yàn)證自己的猜想。

2. 觸類旁通，遷移運(yùn)用。

再給一張正方形紙（6 cm×6 cm），也把它卷成圓柱，比較得到的圓柱體積和剛才兩個(gè)圓柱體積大小，誰的體積最大？誰的體積最小呢？

3. 溯本求源，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)。

再增加兩個(gè)長方形（18 cm×2 cm和9 cm×4 cm），這四個(gè)圖形中怎樣卷得到的圓柱體積最大？怎樣卷體積最小呢？你有什么發(fā)現(xiàn)？你知道背后的原因嗎？

策略1：具體計(jì)算比較。（略）

策略2：字母公式推理。

將長方形的長（a）卷起來作為底面周長，圓柱的體積V=πr2h=。同理，將長方形的寬（b）卷起來作為底面周長，圓柱的體積V=πr2h=。根據(jù)長方形的面積相同，可知ab相同，因?yàn)閍>b，所以，即以最長的邊為底面周長卷起來的圓柱體積最大，以最短的邊為底面周長卷成的圓柱體積最小。

先從一個(gè)圖形入手，引導(dǎo)學(xué)生厘清長方形與卷成的圓柱各部分之間的聯(lián)系。學(xué)生通過獨(dú)立思考，經(jīng)歷觀察、猜想、驗(yàn)證，初步感知同一個(gè)長方形以不同邊為底面周長卷成的圓柱體積的大小是不同的。繼續(xù)增加一個(gè)和長方形面積相同的正方形紙卷成圓柱。學(xué)生嘗試自己推理這個(gè)圓柱的體積情況，遷移應(yīng)用上一環(huán)節(jié)的知識和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，判斷出圓柱體積的范圍，并通過計(jì)算準(zhǔn)確比較三個(gè)圓柱的體積大小。最后再增加兩個(gè)長方形，完整呈現(xiàn)習(xí)題，通過分組合作、組內(nèi)探討、全班交流，逐步補(bǔ)充和完善結(jié)論。學(xué)習(xí)中出現(xiàn)了具體計(jì)算和字母公式推理兩種策略，教師引導(dǎo)學(xué)生對兩種策略進(jìn)行溝通整理，感受到兩種策略的不同價(jià)值取向。即通過計(jì)算可以解決問題并發(fā)現(xiàn)規(guī)律：面積相同的多個(gè)長方形，以最長的邊做底面周長卷起來的圓柱體積最大，以最短的邊卷起來的圓柱體積最小;通過字母公式的推導(dǎo)還能進(jìn)一步理解規(guī)律背后的原因。交流中學(xué)生的思維也正在逐漸進(jìn)階，從具體數(shù)據(jù)表象走向抽象推理，由表及里，從“是什么”走向“為什么”，深刻把握規(guī)律表象背后的知識本質(zhì)。

階段二：知識鏈接，腦洞大開。

其實(shí)這和圓柱的另一個(gè)體積公式V= S×r有關(guān)呢！你會(huì)推導(dǎo)嗎？你能利用這個(gè)公式，解釋剛才從長方形卷成圓柱中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

階段二，再往外想一想，借助微課，了解圓柱的另一個(gè)體積公式：V=S×r，為學(xué)生理解規(guī)律提供了新的思考路徑：當(dāng)這些圓柱的側(cè)面積相同時(shí)，體積和半徑成正比例關(guān)系，半徑越大，對應(yīng)的圓柱體積也越大。由此打破學(xué)生已有的對圓柱體積公式的思維定勢，刷新學(xué)生對圓柱體積公式的再理解，進(jìn)一步豐富學(xué)生對圓柱體積的認(rèn)知框架。

（作者單位：浙江省杭州市朝暉實(shí)驗(yàn)小學(xué) 本專輯責(zé)任編輯：王彬）