何佳丹

一、緣起：基于教材習(xí)題，深入解讀素材

人教版六年級下冊在學(xué)習(xí)完圓柱體積以后，教材上有這樣一道練習(xí)題（圖1）。這是一道難度較大的練習(xí)，具有很強的思維性與探索性。一題變一課，筆者嘗試通過這一學(xué)習(xí)材料，設(shè)計一節(jié)拓展課，引導(dǎo)學(xué)生展開深度學(xué)習(xí)，分析長方形與卷成的圓柱體積大小之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律并理解其背后的原因。如此，既拓展數(shù)學(xué)的知識面，開闊學(xué)生的眼界;又積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗，發(fā)展學(xué)生的思維。

15. 下面4個圖形的面積都是36 dm2。用這些圖形分別卷成圓柱，哪個圓柱的體積最??？哪個圓柱的體積最大？你有什么發(fā)現(xiàn)？（單位：dm）

二、思考：基于學(xué)生本位——合理設(shè)計教學(xué)

（一）把脈現(xiàn)實學(xué)情

在六下“圓柱與圓錐”單元的學(xué)習(xí)中，學(xué)生了解了圓柱的基本結(jié)構(gòu)，知道平面圖形可以通過平移、卷、旋轉(zhuǎn)等動態(tài)變化得到圓柱，理解并掌握了圓柱表面積、體積公式，能解決簡單的圓柱體積問題。

習(xí)題（圖1）內(nèi)容多，思維含量大，情況較為復(fù)雜，4種長方形一共能卷成7種圓柱。筆者對66個學(xué)生第一次獨立完成練習(xí)的情況進(jìn)行了調(diào)研，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生會選擇通過計算比較圓柱的體積來解決這個問題，再通過數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)規(guī)律。但圓柱數(shù)量多，計算量大，費時且容易混淆。即使在各個課時中已經(jīng)較好地掌握了對應(yīng)的知識內(nèi)容，但當(dāng)多個知識交叉綜合運用時，學(xué)生卻不一定能夠?qū)⑦@些零散的知識結(jié)構(gòu)在自己的頭腦中勾連成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)網(wǎng)。從學(xué)生的解題情況中可以窺見，不少學(xué)生對長方形和圓柱的認(rèn)知狀態(tài)是單一的、靜態(tài)的、割裂的，缺乏動態(tài)、整體聯(lián)結(jié)的建構(gòu)。有的學(xué)生對圖形運動變化前后的各部分聯(lián)系的認(rèn)知是模糊的，誤以為長方形的長和寬就是卷成圓柱后的半徑和高;有的學(xué)生能夠辨析清楚長方形的長、寬分別作為圓柱的底面周長和高，卻在計算時不能正確應(yīng)用體積公式。此外，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)存在缺口，部分學(xué)生沒有意識到同一個長方形能卷成兩種圓柱（正方形除外）。

（二）精準(zhǔn)定位目標(biāo)

對于長方形卷成圓柱這道題學(xué)生究竟該學(xué)些什么？這題僅僅會做會算就夠了嗎？教學(xué)更應(yīng)關(guān)注的是學(xué)生是否真的內(nèi)化了解決問題的過程，知識與知識之間能否有效串聯(lián)？對于表象背后的本質(zhì)，學(xué)生內(nèi)心充滿疑惑，怎樣才能讓學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)并深刻理解內(nèi)在規(guī)律呢？基于以上思考，筆者設(shè)置拓展課教學(xué)目標(biāo)：（1）經(jīng)歷想象、猜想、驗證、發(fā)現(xiàn)等過程，探究面積相同的多個長方形中，怎樣卷成的圓柱體積最大和最小。（2）在操作探究、動手實踐、體驗活動中參與知識的生成、發(fā)展過程，主動地發(fā)現(xiàn)知識，體會、了解數(shù)學(xué)知識的來龍去脈。（3）在解決問題“誰的體積最大”的過程中，通過不同角度的思考和探究，感受策略多樣化，發(fā)展主動解決問題的能力，積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗，拓寬思維場域。

三、踐行：活用習(xí)題，有序推進(jìn)

筆者將這道復(fù)雜的習(xí)題進(jìn)行解構(gòu)和重組，借助問題串，分兩個階段循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生對“誰的體積大”這一問題進(jìn)行深度探究。

階段一：問題驅(qū)動，層層深入。

1. 猜想驗證，喚醒認(rèn)知。

把一張長方形紙（12 cm×3 cm）卷成圓柱，可以怎么卷？怎樣卷得到的圓柱體積更大？請你猜一猜，并驗證自己的猜想。

2. 觸類旁通，遷移運用。

再給一張正方形紙（6 cm×6 cm），也把它卷成圓柱，比較得到的圓柱體積和剛才兩個圓柱體積大小，誰的體積最大？誰的體積最小呢？

3. 溯本求源，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)。

再增加兩個長方形（18 cm×2 cm和9 cm×4 cm），這四個圖形中怎樣卷得到的圓柱體積最大？怎樣卷體積最小呢？你有什么發(fā)現(xiàn)？你知道背后的原因嗎？

策略1：具體計算比較。（略）

策略2：字母公式推理。

將長方形的長（a）卷起來作為底面周長，圓柱的體積V=πr2h=。同理，將長方形的寬（b）卷起來作為底面周長，圓柱的體積V=πr2h=。根據(jù)長方形的面積相同，可知ab相同，因為a>b，所以，即以最長的邊為底面周長卷起來的圓柱體積最大，以最短的邊為底面周長卷成的圓柱體積最小。

先從一個圖形入手，引導(dǎo)學(xué)生厘清長方形與卷成的圓柱各部分之間的聯(lián)系。學(xué)生通過獨立思考，經(jīng)歷觀察、猜想、驗證，初步感知同一個長方形以不同邊為底面周長卷成的圓柱體積的大小是不同的。繼續(xù)增加一個和長方形面積相同的正方形紙卷成圓柱。學(xué)生嘗試自己推理這個圓柱的體積情況，遷移應(yīng)用上一環(huán)節(jié)的知識和學(xué)習(xí)經(jīng)驗，判斷出圓柱體積的范圍，并通過計算準(zhǔn)確比較三個圓柱的體積大小。最后再增加兩個長方形，完整呈現(xiàn)習(xí)題，通過分組合作、組內(nèi)探討、全班交流，逐步補充和完善結(jié)論。學(xué)習(xí)中出現(xiàn)了具體計算和字母公式推理兩種策略，教師引導(dǎo)學(xué)生對兩種策略進(jìn)行溝通整理，感受到兩種策略的不同價值取向。即通過計算可以解決問題并發(fā)現(xiàn)規(guī)律：面積相同的多個長方形，以最長的邊做底面周長卷起來的圓柱體積最大，以最短的邊卷起來的圓柱體積最小;通過字母公式的推導(dǎo)還能進(jìn)一步理解規(guī)律背后的原因。交流中學(xué)生的思維也正在逐漸進(jìn)階，從具體數(shù)據(jù)表象走向抽象推理，由表及里，從“是什么”走向“為什么”，深刻把握規(guī)律表象背后的知識本質(zhì)。

階段二：知識鏈接，腦洞大開。

其實這和圓柱的另一個體積公式V= S×r有關(guān)呢！你會推導(dǎo)嗎？你能利用這個公式，解釋剛才從長方形卷成圓柱中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

階段二，再往外想一想，借助微課，了解圓柱的另一個體積公式：V=S×r，為學(xué)生理解規(guī)律提供了新的思考路徑：當(dāng)這些圓柱的側(cè)面積相同時，體積和半徑成正比例關(guān)系，半徑越大，對應(yīng)的圓柱體積也越大。由此打破學(xué)生已有的對圓柱體積公式的思維定勢，刷新學(xué)生對圓柱體積公式的再理解，進(jìn)一步豐富學(xué)生對圓柱體積的認(rèn)知框架。

（作者單位：浙江省杭州市朝暉實驗小學(xué) 本專輯責(zé)任編輯：王彬）