何佳丹
一、緣起:基于教材習(xí)題,深入解讀素材
人教版六年級下冊在學(xué)習(xí)完圓柱體積以后,教材上有這樣一道練習(xí)題(圖1)。這是一道難度較大的練習(xí),具有很強(qiáng)的思維性與探索性。一題變一課,筆者嘗試通過這一學(xué)習(xí)材料,設(shè)計(jì)一節(jié)拓展課,引導(dǎo)學(xué)生展開深度學(xué)習(xí),分析長方形與卷成的圓柱體積大小之間的聯(lián)系,發(fā)現(xiàn)規(guī)律并理解其背后的原因。如此,既拓展數(shù)學(xué)的知識面,開闊學(xué)生的眼界;又積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn),發(fā)展學(xué)生的思維。
15. 下面4個(gè)圖形的面積都是36 dm2。用這些圖形分別卷成圓柱,哪個(gè)圓柱的體積最???哪個(gè)圓柱的體積最大?你有什么發(fā)現(xiàn)?(單位:dm)
二、思考:基于學(xué)生本位——合理設(shè)計(jì)教學(xué)
(一)把脈現(xiàn)實(shí)學(xué)情
在六下“圓柱與圓錐”單元的學(xué)習(xí)中,學(xué)生了解了圓柱的基本結(jié)構(gòu),知道平面圖形可以通過平移、卷、旋轉(zhuǎn)等動(dòng)態(tài)變化得到圓柱,理解并掌握了圓柱表面積、體積公式,能解決簡單的圓柱體積問題。
習(xí)題(圖1)內(nèi)容多,思維含量大,情況較為復(fù)雜,4種長方形一共能卷成7種圓柱。筆者對66個(gè)學(xué)生第一次獨(dú)立完成練習(xí)的情況進(jìn)行了調(diào)研,發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生會(huì)選擇通過計(jì)算比較圓柱的體積來解決這個(gè)問題,再通過數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)規(guī)律。但圓柱數(shù)量多,計(jì)算量大,費(fèi)時(shí)且容易混淆。即使在各個(gè)課時(shí)中已經(jīng)較好地掌握了對應(yīng)的知識內(nèi)容,但當(dāng)多個(gè)知識交叉綜合運(yùn)用時(shí),學(xué)生卻不一定能夠?qū)⑦@些零散的知識結(jié)構(gòu)在自己的頭腦中勾連成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)網(wǎng)。從學(xué)生的解題情況中可以窺見,不少學(xué)生對長方形和圓柱的認(rèn)知狀態(tài)是單一的、靜態(tài)的、割裂的,缺乏動(dòng)態(tài)、整體聯(lián)結(jié)的建構(gòu)。有的學(xué)生對圖形運(yùn)動(dòng)變化前后的各部分聯(lián)系的認(rèn)知是模糊的,誤以為長方形的長和寬就是卷成圓柱后的半徑和高;有的學(xué)生能夠辨析清楚長方形的長、寬分別作為圓柱的底面周長和高,卻在計(jì)算時(shí)不能正確應(yīng)用體積公式。此外,學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)存在缺口,部分學(xué)生沒有意識到同一個(gè)長方形能卷成兩種圓柱(正方形除外)。
(二)精準(zhǔn)定位目標(biāo)
對于長方形卷成圓柱這道題學(xué)生究竟該學(xué)些什么?這題僅僅會(huì)做會(huì)算就夠了嗎?教學(xué)更應(yīng)關(guān)注的是學(xué)生是否真的內(nèi)化了解決問題的過程,知識與知識之間能否有效串聯(lián)?對于表象背后的本質(zhì),學(xué)生內(nèi)心充滿疑惑,怎樣才能讓學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)并深刻理解內(nèi)在規(guī)律呢?基于以上思考,筆者設(shè)置拓展課教學(xué)目標(biāo):(1)經(jīng)歷想象、猜想、驗(yàn)證、發(fā)現(xiàn)等過程,探究面積相同的多個(gè)長方形中,怎樣卷成的圓柱體積最大和最小。(2)在操作探究、動(dòng)手實(shí)踐、體驗(yàn)活動(dòng)中參與知識的生成、發(fā)展過程,主動(dòng)地發(fā)現(xiàn)知識,體會(huì)、了解數(shù)學(xué)知識的來龍去脈。(3)在解決問題“誰的體積最大”的過程中,通過不同角度的思考和探究,感受策略多樣化,發(fā)展主動(dòng)解決問題的能力,積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),拓寬思維場域。
三、踐行:活用習(xí)題,有序推進(jìn)
筆者將這道復(fù)雜的習(xí)題進(jìn)行解構(gòu)和重組,借助問題串,分兩個(gè)階段循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生對“誰的體積大”這一問題進(jìn)行深度探究。
階段一:問題驅(qū)動(dòng),層層深入。
1. 猜想驗(yàn)證,喚醒認(rèn)知。
把一張長方形紙(12 cm×3 cm)卷成圓柱,可以怎么卷?怎樣卷得到的圓柱體積更大?請你猜一猜,并驗(yàn)證自己的猜想。
2. 觸類旁通,遷移運(yùn)用。
再給一張正方形紙(6 cm×6 cm),也把它卷成圓柱,比較得到的圓柱體積和剛才兩個(gè)圓柱體積大小,誰的體積最大?誰的體積最小呢?
3. 溯本求源,發(fā)現(xiàn)本質(zhì)。
再增加兩個(gè)長方形(18 cm×2 cm和9 cm×4 cm),這四個(gè)圖形中怎樣卷得到的圓柱體積最大?怎樣卷體積最小呢?你有什么發(fā)現(xiàn)?你知道背后的原因嗎?
策略1:具體計(jì)算比較。(略)
策略2:字母公式推理。
將長方形的長(a)卷起來作為底面周長,圓柱的體積V=πr2h=。同理,將長方形的寬(b)卷起來作為底面周長,圓柱的體積V=πr2h=。根據(jù)長方形的面積相同,可知ab相同,因?yàn)閍>b,所以,即以最長的邊為底面周長卷起來的圓柱體積最大,以最短的邊為底面周長卷成的圓柱體積最小。
先從一個(gè)圖形入手,引導(dǎo)學(xué)生厘清長方形與卷成的圓柱各部分之間的聯(lián)系。學(xué)生通過獨(dú)立思考,經(jīng)歷觀察、猜想、驗(yàn)證,初步感知同一個(gè)長方形以不同邊為底面周長卷成的圓柱體積的大小是不同的。繼續(xù)增加一個(gè)和長方形面積相同的正方形紙卷成圓柱。學(xué)生嘗試自己推理這個(gè)圓柱的體積情況,遷移應(yīng)用上一環(huán)節(jié)的知識和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),判斷出圓柱體積的范圍,并通過計(jì)算準(zhǔn)確比較三個(gè)圓柱的體積大小。最后再增加兩個(gè)長方形,完整呈現(xiàn)習(xí)題,通過分組合作、組內(nèi)探討、全班交流,逐步補(bǔ)充和完善結(jié)論。學(xué)習(xí)中出現(xiàn)了具體計(jì)算和字母公式推理兩種策略,教師引導(dǎo)學(xué)生對兩種策略進(jìn)行溝通整理,感受到兩種策略的不同價(jià)值取向。即通過計(jì)算可以解決問題并發(fā)現(xiàn)規(guī)律:面積相同的多個(gè)長方形,以最長的邊做底面周長卷起來的圓柱體積最大,以最短的邊卷起來的圓柱體積最小;通過字母公式的推導(dǎo)還能進(jìn)一步理解規(guī)律背后的原因。交流中學(xué)生的思維也正在逐漸進(jìn)階,從具體數(shù)據(jù)表象走向抽象推理,由表及里,從“是什么”走向“為什么”,深刻把握規(guī)律表象背后的知識本質(zhì)。
階段二:知識鏈接,腦洞大開。
其實(shí)這和圓柱的另一個(gè)體積公式V= S×r有關(guān)呢!你會(huì)推導(dǎo)嗎?你能利用這個(gè)公式,解釋剛才從長方形卷成圓柱中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎?
階段二,再往外想一想,借助微課,了解圓柱的另一個(gè)體積公式:V=S×r,為學(xué)生理解規(guī)律提供了新的思考路徑:當(dāng)這些圓柱的側(cè)面積相同時(shí),體積和半徑成正比例關(guān)系,半徑越大,對應(yīng)的圓柱體積也越大。由此打破學(xué)生已有的對圓柱體積公式的思維定勢,刷新學(xué)生對圓柱體積公式的再理解,進(jìn)一步豐富學(xué)生對圓柱體積的認(rèn)知框架。
(作者單位:浙江省杭州市朝暉實(shí)驗(yàn)小學(xué) 本專輯責(zé)任編輯:王彬)