徐建新 陳麗真

[摘? 要] 文章以“隱性圓”的微專題教學為例，通過深度轉化、 深度探究、深度延伸，引導學生歸納出各種“隱性圓”的類型，培養(yǎng)學生轉化與化歸、數(shù)形結合、特殊到一般等思想，旨在以教師的深度教學促進學生的深度學習.

[關鍵詞] 深度教學;隱性圓;轉化;探究;延伸

“微專題教學”是指以某一具體的知識點或數(shù)學思想和方法為主題，圍繞與該知識點或方法關聯(lián)緊密的一些具體問題設計教學. 微專題學習目標單一、實用有效，因選題精、針對性強等特點，成為高三教學，尤其是二輪復習較常采用的教學方式.本人認為微專題教學在系統(tǒng)歸納知識方法的同時，還要在“深度”上下功夫，旨在引導學生自主建構知識體系，更深刻地理解和把握數(shù)學知識.

本文以課本的例習題、高考題等為載體，通過挖掘、拓展等方式，歸納“隱性圓”的幾種常見類型，使學生經(jīng)歷數(shù)形轉化、從特殊到一般、課外探究等過程，增強學生自主學習、深度學習的意識，達到活化學生數(shù)學思維和發(fā)展學科核心素養(yǎng)的目的.

[?]在細致審題中深度轉化

數(shù)學問題中的條件往往由文字語言、符號語言、圖形語言等進行綜合表征，大都是直接呈現(xiàn)，但也蘊含一些隱含條件，教學時要引導學生細致審題. 審題，是對具體問題進行分析，提取貯存在大腦中的知識，尋求解題思路和方法. 審題要對信息經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)→記錄→轉譯→整合”的過程，其中“轉譯”就是要求能對條件進行合理地轉化，甚至是對某些不是直接呈現(xiàn)的條件或需要挖掘才能發(fā)現(xiàn)的潛在信息進行深度轉化. 轉化是極其重要的數(shù)學思想.通過不斷地轉化，把不熟悉、復雜的問題轉化為熟悉、簡單，甚至模式化的問題，它不但使問題化難為易，而且能提高學生的思維品質，提高學生分析問題與解決問題的能力.

例1：（2020屆福建省漳州市三月質量檢查理科15題）已知圓O：x2+y2=1，圓N：（x-a+2）2+（y-a）2=1. 若圓N上存在點Q，過點Q作圓O的兩條切線，切點為A，B，使得∠AQB=60°，則實數(shù)a的取值范圍是_______.

分析：如圖1，如何應用條件“∠AQB=60°”是學生思維的障礙點.

由AQ，BQ與圓O相切，可知△OAQ≌△OBQ. 連接OQ，由∠OAQ=90°，∠AQO=30°，OA=1，得OQ=2，即點Q的軌跡方程為圓T：x2+y2=4. 要使圓N上存在符合條件的點Q，則圓N和圓T有公共點，需滿足1≤≤3，解得a的取值范圍是

1-，

1+.

本題挖掘題目隱含的幾何信息，對條件做兩次轉化：第一次，利用三角形全等，將∠AQB=60°轉化為Rt△OAQ中∠AQO=30°. 由直角三角形的性質，得到OQ=2，點Q的軌跡為圓;第二次，將“存在性”問題轉化為學生熟悉的兩圓有公共點問題，順利地找到實數(shù)a應滿足的不等式條件.

由該例題，歸納“隱性圓”的第一種類型.

類型一：圓的定義：到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓.

例2：（2018年高考上海卷12題）已知實數(shù)x，x，y，y滿足：x+y=1，x+y=1，xx+yy=，則+的最大值為__________.

分析：由代數(shù)式x+y=1，聯(lián)想到圓的方程. 因此，設點A（x，y），點B（x，y），則點A，B在單位圓上.“+”表示點A，B到直線l：x+y-1=0的距離之和，是線段AB的中點D到直線l的距離的2倍，如圖2. 因AB是動弦，需解決動點D的軌跡問題. 回到題目條件“xx+yy=”，該代數(shù)式是否也有幾何意義？若有，表示什么？聯(lián)想到向量數(shù)量積公式，有·=xx+yy，即

·

cos∠AOB=，得∠AOB=. 由此，在等邊三角形AOB中，OD=. 所以，點D的軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓. 如圖3，當OD與直線l垂直時，點D到直線l的距離最大，為.所以，+的最大值是+.

數(shù)學問題的條件有時是代數(shù)表達式，有時是幾何條件，往往需要借助數(shù)形結合實現(xiàn)二者的相互轉化. 在本題中，首先，抓住數(shù)量關系中隱藏的“圖形”，由代數(shù)式聯(lián)想到幾何意義，將條件轉化為“單位圓上兩點A，B滿足∠AOB=”;其次，將求解目標轉化為“點A，B到直線l的距離之和”，并利用梯形的性質，將兩條線段的長度之和轉化為“梯形中位線的2倍”. 通過轉化將抽象的問題直觀化，借助圖形的幾何性質探索代數(shù)式的最值問題，使問題明朗化.在轉化過程中，動點D到直線的距離又是一個難點. 由等邊三角形得到點D到原點的距離為定值，滿足圓的定義，得到點D的軌跡是圓，最終將問題轉化為“圓上的動點到定直線的距離的最值”問題. 通過以上層層深度轉化，使原問題輕松獲解.

[?]在特殊到一般的推廣中深度探究

我們知道：在圓中，直徑所對的角為直角;反之，當定點A，B所對的∠APB為直角時，點P的軌跡是圓.

探究1：將“∠APB為直角”用向量表示，得到第二種類型.

類型二：兩定點A，B，動點P滿足·=0，則動點P的軌跡是圓.

設

AB

=2a（a>0），以AB所在直線為x軸，AB中點為原點，建立直角坐標系.設P（x，y），由·=0，化簡得x2-a2+y2=0①，即x2+y2=a2. 在這個過程中，教師可引導學生進一步探究：①式的右邊“0”改成其他常數(shù)，也可能是圓.即若·=λ，同理可得x2+y2=a2+λ，只需a2+λ>0，點P的軌跡也是圓.

推廣1：兩定點A，B，動點P滿足·=λ（λ為常數(shù)），且λ+AB2>0，則動點P的軌跡是圓.

例3：已知△ABC中，

=10，·=-16，D為邊BC的中點，則

等于

（? ）

A. 6? B. 5? C. 4? D. 3

分析：根據(jù)推廣1，由·=-16，猜想點A的軌跡是圓. 如圖4，以BC所在直線為x軸，D為原點，建立直角坐標系.設A（x，y），由·=-16，化簡得x2+y2=9，即點A的軌跡是以D為圓心、半徑為3的圓. 所以選D.

注：在推廣1中，“λ+AB2”即是該圓半徑的平方. 在本例中，可直接由此求得圓的半徑為3.

探究2：將“∠APB為直角”用數(shù)量關系表示為“PA2+PB2=AB2”，即由學生熟悉的勾股定理，得到第三種類型.

類型三：兩定點A，B，動點P滿足PA2+PB2=AB2，則動點P的軌跡是以AB為直徑的圓.

設

AB

=2a（a>0），以AB所在直線為x軸，AB中點為原點，建立直角坐標系.設P（x，y），由PA2+PB2=AB2，得（x+a）2+y2+（x-a）2+y2=（2a）2 ②. 化簡得x2+y2=a2. 同樣地，②式的右邊（2a）2改為其他常數(shù)，也可能是圓. 即若PA2+PB2=λ，可得（x+a）2+y2+（x-a）2+y2=λ，化簡得x2+y2=-a2.

推廣2：兩定點A，B，動點P滿足PA2+PB2=λ（λ為常數(shù)），且2λ>AB2，則動點P的軌跡是圓.

從初中圓的一條幾何性質出發(fā)，通過改變條件的表現(xiàn)形式，改裝成高中的符號語言，在用“坐標法”研究軌跡方程的過程中，把握圓方程的本質，深度探究，將結論從特殊到一般進行推廣.教師在簡單的基礎知識復習中，追本溯源，展現(xiàn)知識生成過程，通過改編、推廣或加強命題，基于學生的學段和學情，螺旋式上升地設計教學，使教學具有深度.

[?]在課外拓展中深度延伸

例4：（2004年人教A版必修2，第124頁B組練習題3）已知點M與兩定點O（0，0），A（3，0）的距離比為，求點M的軌跡方程.

分析：設點M（x，y），由=，得（x+1）2+y2=4.

通過該題，將特殊問題一般化，得到第四種類型.

拓展1（類型四）：兩定點A，B，動點P滿足=λ（λ>0，且λ≠1），則動點P的軌跡是圓，稱為阿波羅尼斯圓.

例5：（2020年龍巖市高中畢業(yè)班質量檢查理科16題）現(xiàn)有△ABC，AC=4，sinC=2sinA，則當△ABC的面積最大時，AC邊上的高為__________.

分析：由正弦定理，sinC=2sinA?BA=2BC. A，C為定點，因此，點B的軌跡是阿波羅尼斯圓. 如圖5，建立直角坐標系.A（-2， 0），C（2， 0），B（x，y） ，由BA=2BC，可求得點B的軌跡為圓E，方程為

x-2+y2=. 當BE⊥x軸時，△ABC的面積最大，AC邊上的高為該圓的半徑.

教師還可以要求優(yōu)秀學生課外閱讀、了解阿波羅尼斯圓的性質.

拓展2：如圖6，設M，N分別為線段AB按定比λ分割的內分點和外分點（即==λ），則MN為阿波羅尼斯圓的直徑，且MN=AB.

在例5中，由BA=2BC，得定比λ=2. 由拓展2，可知該阿波羅尼斯圓的直徑是.△ABC的面積最大時，AC邊上的高為圓的半徑.

以教材為背景，對教材展開充分的思考和研究，將一些與課內學習的知識相關聯(lián)的但無法在課堂上解決的問題“拋”出，在課外拓展中深度延伸，力爭獲得教材背后所蘊含的知識外延. 課外拓展能促進知識的深化和遷移，為優(yōu)生數(shù)學思維和能力的提升提供空間.

微專題更注重知識間的內在聯(lián)系，通過更深層的邏輯關系建立更深刻、更系統(tǒng)的知識體系. “微專題教學”在追求精準教學的同時，應關注深度教學.教師利用微專題，確定準確的教學目標，深化教學設計，對知識、結論進一步發(fā)掘和拓展;重視教學過程中不斷地驅動學生的思考，促使學生主動探究，以此強化學生對已掌握的知識進行更深層次的應用.在微專題中開展深度教學，能有效促進學生從憑經(jīng)驗的淺層學習到有思考的深度學習，實現(xiàn)“因微而深”的教學效果，更能培養(yǎng)學生的高階思維;反之，基于學生深度學習基礎上的深度教學更能提高學生的探究能力，將核心素養(yǎng)落實到實處.? 二者的融合使得教學相長，相得益彰.