林革
創(chuàng)立相對論的偉大物理學家愛因斯坦對數(shù)學很有研究,常把解數(shù)學題作為一種消遣.
[時鐘問題]
有一次,愛因斯坦病了,作家莫??路蛩够鶃砜赐?,閑聊起自己無意中在鐘面上的發(fā)現(xiàn):在時鐘上的某一時刻,時針和分針是可以互相調換位置的. 比如:12點時時針和分針重疊,對調兩針位置,表示的時間仍是12點; 類似地,2點21分時對調兩針位置,表示的時間是4點12分. 當然,并不是任何時刻時針和分針都可以對調,比如9點時兩針對調就不行,它不可能表示12點45分,因為在12點45分時時針不可能指向12. 由此引發(fā)的問題是:鐘面上時針和分針在什么位置時,兩針同時對調,使得新位置仍能指示某一實際上可能的時刻?此時,莫??路蛩够谋疽狻罢讶蝗艚摇?,原來他特意帶來一道數(shù)學題給愛因斯坦解悶,難怪開頭突然扯起時鐘問題.
愛因斯坦立刻來了興致,他坐起身拿來紙筆,稍加思索就得出了正確結果. 他用的時間并不比作家敘述這個問題的時間長多少,其反應之快、效率之高讓莫希柯斯基目瞪口呆. 想知道愛因斯坦是如何解答的嗎?且聽我細細道來:
設鐘面上理想時刻(時針與分針可以對調)為x點y分,因為鐘面上的圓周被等分為60小格,時針一小時轉過鐘面上的5小格,分針一小時轉過鐘面一圈(即60小格),所以時針所指的刻度數(shù)(即小格數(shù))為5x + [560·y]=5x + [y12],分針所指的刻度數(shù)為y;將時針和分針的位置對調后,所表示的時間設為s點t分,則時針所指的刻度數(shù)為5s + [t12],它與原來分針所指刻度數(shù)y相同,而分針所指的刻度數(shù)t就是原來時針所指的刻度數(shù)5x + [y12],于是列方程組[y=5s+t12,t=5x+y12,]解得[y=60(x+12s)143,t=60(s+12x)143.](以y,t作為未知數(shù))必須注意到,其中x,s表示的是鐘點數(shù),所以0 ≤ x ≤ 11,0 ≤ s ≤ 11. 若x,s分別取從0到11間的12個不同的整數(shù),12 × 12 = 144(個),可得144個不同數(shù)對(y,t),這些不同數(shù)對分別對應分針、時針所處位置. 當x = s = 0時,y = t = 0;當x = s = l1時,y = t = 60. 這兩種特殊情形都是說明兩針重合指向12,只能算作一種. 因此,實際上所求的位置可以有143種.
看完愛因斯坦的解答,有些人或許會有與莫希柯夫斯基一樣的疑問:為什么要以y,t作為未知數(shù),即用x,s表示y,t,而不用y,t表示x,s呢?事實上,愛因斯坦起初也這樣嘗試過,求出了[x=12t-y60,s=12y-t60.]但他立刻否定了這種情況,這是因為y,t表示分鐘數(shù),既能取0~60的整數(shù),也能取0~60的分數(shù),可能出現(xiàn)的情形有無數(shù)種,難以限定范圍,所以棄用. 而x,s表示的是鐘點數(shù),0~11共有12個不同的整數(shù),數(shù)量有限,討論方便,可以很快得出正確結果.
[速算問題]
有一次,愛因斯坦與幾位朋友一起閑聊時,有人隨口提出一道數(shù)學計算題,引起了愛因斯坦的興趣和關注.
2987 × 2913,這是一道四位數(shù)的乘法題,按常規(guī)思路列式計算需好一會兒功夫,而愛因斯坦卻一不用紙二不用筆,略加思索就報出了正確答案8 701 131. 聽了愛因斯坦的速算解釋,朋友們驚嘆不已. 原來,愛因斯坦注意到兩個因數(shù)的末兩位87與13之和剛好是100,立刻聯(lián)想到一種名為“頭同尾合十”的特定速算方法.
所謂“頭同尾合十”是指:兩個因數(shù)的十位數(shù)字相同,個位數(shù)字相加剛好為10. 比如:74 × 76,29 × 21,45 × 45等.
對應的速算方法是:先用兩個因數(shù)的個位數(shù)字相乘,得到一個兩位數(shù)的積(如果是一位數(shù),就在前面加0);然后用相同的十位數(shù)字乘比它大1的數(shù),把得到的結果放在上一個積的前面,組成的數(shù)就是兩個因數(shù)的乘積.
速算74 × 76,先算4 × 6 = 24,再算7 × (7 + 1) = 56,則74 × 76 = 5 624.
速算29 × 21,先算9 × 1 = 09,再算2 × (2 + 1) = 6,則29 × 21 = 609.
速算45 × 45,先算5 × 5 = 25,再算4 × (4 + 1) = 20,則45 × 45 = 2 025.
其中的數(shù)學原理不難解釋:假設兩位數(shù)分別是[ab]和[ad],b + d = 10,則[ab×ad] = (10a + b)(10a + d) = 100a2 + 10ad + 10ab + bd = 100a2 + 10a(b + d) + bd = 100a2 + 100a + bd = a(a + 1) × 100 + bd,上述速算方法只不過是這個結果的直觀操作而已.
不難理解,這種速算方法也可推廣到多位數(shù). 也就是說,如果因數(shù)是[abcd]和[abmn],[cd] + [mn] = 100,那么[abcd] × [abmn] = [ab] × ([ab] + 1) × 10 000 + [cd] × [mn].
愛因斯坦正是利用上述延伸方法進行速算:先計算29 × (29 + 1) = 29 × 30 = 870,87 × 13 = (100 - 13) × 13 = 1 300 - 132 = 1 131,然后把1 131附在870之后,結果便是8 701 131. 其中的計算過程采用心算,對于愛因斯坦來說顯然是小菜一碟.
怎么樣?大師不愧為大師,其思維的全面性和靈活性在這兩題的解答過程中可見一斑.
(作者單位:揚州職業(yè)大學)